دانلود مقاله احتمال

word قابل ویرایش
24 صفحه
4700 تومان

فهرست مطالب
عنوان صفحه
تاریخچه ۱
احتمال ۴
احتمال نظری ۵
احتمال تجربی ۵
احتمال ذهنی ۶
محاسبه احتمال ۶
جمع حوادث سازگار ۷
ضرب حوادث مستقل ۷
ضرب حوادث وابسته ۸
اصول اساسی قانون ضرب ۹
جایگشت (تبدیل) ۱۱
ترتیب ۱۳
قاعده ترتیب ۱۴
ترکیب ۱۵
ویژگیهای ترکیب ۱۸
توصیف احتمال یک حادثه ۱۸
خلاصه ۱۹

تاریخچه
هیچ کس نمی داند که اعتقاد به شانس برای نخستین بار در چه زمانی و مکانی مطرح شد. در هر حال این امر در دوران ماقبل تاریخ ریشه دارد. با این حال، اسناد کافی نشان می دهد که انسانهای اولیه برای توجیه حوادث تصادفی به وسایلی متوسط می شده اند. برای مثال در آسیای صغیر در آیین پیشگویی مرسوم بود که پنج قاپ را بیندازند. ترتیب ممکن از قاپها، نام خدایی را به همراه داشت (مارکس و لارسن، ۱۹۹۰). برای مثال چنانچه ترتیب (۴، ۴، ۳، ۱) به دست می آمد (قاپ شش وجه دارد و به هر وجه آن یک شماره اختصاص داده می شد). گفته می شد زئوس منجی آمده است و چنین ترتیبی پنشانی از قوت قلب تلقی می شد و تفسیر آن این بود که آنچه در سر داری،‌ بی مهابا به انجام برسان. یا اگر ترتیب ۴، ۴، ۴، ۶، ۶ ظاهر می شد معنای آن این بود که در خانه ات بمان و به هیچ کجا مرو.

به تدریج پس از گذشت هزاران سال، تاس جانشین قاپ شد. در مقبره های مصر که ۲۰۰۰ سال پیش از میلاد مسیح ساخته شده اند، تاسهای سفالی به دست آمده اند. متداول ترین تاس بازی آن زمان هازاد نام داشت. هازاد توسط سربازانی که از جنگهای صلیبی بازگشتند، به اروپا آورده شد. ورق برای نخستین بار در قرن چهاردهم رواج پیدا کرد.

مورخان در مورد این که اعتقاد به احتمال شروع نامشخصی دارد اتفاق نظر دارند. شاید دلیل این امر ناسازگاری آن با عامل بارز موثر در تحول فرهنگ غرب، یعنی فلسفه یونان و خداشناسی مسیحیان در صدر مسیحیت باشد. یونانیان به عقیده شانس اکتفا می کدرند در صورتی که مسیحیان چنین اعتقادی نداشتند. در قرن شانزده احتمال سر از خاک برداشت. سازماندهی و احیا آن توسط جرولامو کاردان انجام گرفت. علاقه کاردان که ظاهراً تحصیلاتی در رشته پزشکی داشت، به قوانین احتمال، ناشی از میل وافر او به قمار بود. او در صدد دستیابی به یک الگوی ریاضی بود تا با کک آن بتواند حوادث اتفاقی را تشریح کند. آنچه که او سرانجام تدوین کرد تعریف کلاسیک احتمال است.

به این صورت که در صورتی که تعداد نتایج ممکن حادثه ای که همه دارای احتمال یکسان هستند را با n نشان دهیم و چنانچه m نتیجه از n نتیجه ممکن اتفاق بیفتد، احتمال آن حادثه مساوی است. برای مثال در صورتی که تاسی بدون اریبی باشد،‌ ۶ ممکن (۶= n) خواهد شد (نتایج ۵ و ۶) و احتمال ۵ یا بزرگتر از آن مساوی یا خواهد بود.
کاردان ابتدایی ترین اصول احتمال را مطرح کرده بود. الگویی که او کشف کرده بود ممکن است پیش پا افتاده به نظر برسد اما حاکی از گامی عظیم بود. بسیاری از مورخان نقطه آغاز علم احتمال را سال ۱۶۵۴ می دانند. در پاریس قمار باز ثروتمندی به نام شوالیه دمور از چند ریاضی دان برجسته از قبیل بلز پاسکال سوالهایی پرسید که معروفترین آنها درباره نقاط بود.

دو نفر، الف و ب، موافقت می کنند که بدون تقلب مجموعه ای بازی را تا زمانی که یک نفر از آنها شش دست برنده شود، ادامه دهند. هر کدام از این دو نفر بر سر مبلغ یکسانی شرط بندی می کنند با این قصد که برنده کل، تمام مبلغ شرط بندی (بانک) را برنده شود. حال فرض کنید به هر دلیلی این بازیها قبل از موقع پایان پذیرد، مثلا در نقطه یا مرحله ای که فرد الف ۵ دست و فرد ب ۳ دست برنده شده باشد. در این مرحله یا نقطه از بازی، پول شرط بندی شده چطور باید تقسیم شود؟ پاسخ صحیح این است که فرد الف باید کل مبلغ شرط بندی شده را دریافت کند. چرا مبلغ شرط بندی شده باید به این ترتیب تقسیم شود؟

با طرح سوالهای دمور، حس کنجکاوی پاسکال برانگیخته شد و نظر خود را با پیر فرما، کارمند دولت و احتمالاً برجسته ترین ریاضی دان اروپا، در میان گذاشت. فرما با روی گشاده از نظر پاسکال استقبال کرد و از همان موقع بود که نظریه معروف تناظر پاسکال- فرما نه تنها برای حل مسائل نقاط مطرح شد بلکه شالوده ای برای کارهای اساسی تر گردید.خبر آنچه که فرما و پاسکال یافته بود انتشار یافت و دیگران هم به مطالعه این مساله پرداختند. معروفترین آنها دانشمند و ریاضی دان هلندی کریستیان های جنز است که نام او بیشتر به خاطر کارهایش در نورشناسی و نجوم در خاطرها مانده است. توجه های جنز در همان اوایل کارش به مسائل نقاط جلب شد. وی در سال ۱۶۵۷ کتاب محاسبات در بازیهای احتمالی را منتشر ساخت که قریب ۵۰ سال به عنوان کتاب درسی درباره نظریه احتمال تدریس می شد (لارسن و مارکس، ۱۹۹۰). طرفداران های جنز او را بنیانگذار احتمالات می دانند.

احتمال
مفهوم احتمال به صورتهای مختلف در زندگی به کار برده می شود، احتمال به صورت کلی به درست نمایی اتفاق افتادن حادثه تعریف شده است. این درست نمایی غالباً با P نشان داده میشود و عبارت از نسبت اتفاق افتادن حادثه ای که انتظار وقوع آن می رود. ارزش مقداری احتمال بین صفر تا ۱ قرار دارد. ارزش ۱ برای پیشامد حتمی و ارزش صفر برای نشان دادن اینکه شانس یا احتمال وقوع حادثه معینی وجود ندارد، به کار برده می شود. در زندگی حوادث نادری وجود دارند که احتمال وقوع آنها به صورت مطلق حتمی است. به طور کلی، هرگاه تمام حوادث مورد سوال به صورت دقیق و روشن تعریف شوند، احتمال وقوع یک حادثه معین، P ، مساوی است با تعداد شیوه هایی که آن حادثه اتفاق می افتد تقسیم بر تعداد کل حالتها. به عبارت دیگر، P مساوی است با تعداد حالتهای مساعد تقسیم بر مجموع کل حالتها. برای مثال، در صورتی که تاس بدون اریبی را رها کنیم احتمال این که هر یک از شش وجه آن به زمین بنشیند مساوی است و احتمال این که هر یک از شماره های ۲، ۴ یا ۶ به زمین بنشیند مساوی یا ۵/۰ است.

همان طور که گفته شد احتمال وقوع حادثه معینی را با P نشان می دهند. احتمال عدم وقوع همان حادثه را با q نشان می دهند. مجموع P و q همیشه مساوی یک است (p+q=1). برای مثال، در صورتی که سکه بدون اریبی را پرتاب کنیم، اگر احتمال آمدن طرف اول آن یا ۵/۰ است و جمع این دو احتمال مساوی ۱ است (p+q=1). در صورتی که وقوع یک حادثه در احتمال وقوع حادثه دیگر تاثیری نداشته باشد، آنها را مستقل گویند. حوادث مرکب به حوادثی گفته می شوند که از دو یا چند حادثه ساده تشکیل شده باشند، مانند امکان آمدن دو تا ۴ در دو مرتبه انداختن تاس.

احتمال نظری
فرض کنید تاسی را رها کرده‌اید چون این تاس دارای ۶ وجه است و احتمال آمده هر کدام از وجوه آن نیز مساوی است بنابراین احتمال آمده هر یک از وجوه این تاس مساوی است. این احتمال را نظری می‌نامند زیرا بر اساس مفروضه‌های نظری محاسبه می‌شود. برای مثال در صورتی که در یک مسابقه ورزشی برای پیروزی تیمی ۴۰۰۰ ریال به ۱۰۰۰ ریال شرط بندی کنیم، در این شرط بندی نظر ما این است که ۴ به یک به نفع ما خواهد بود، یعنی در نظر ما، تیمی که طرفدار آن هستیم از پنج بازی، امکان چهار موفقیت دارد. بنابراین احتمال اینکه تیم مزبور برنده شود، یا ۸/۰ است. این امکان بیشتر جنبه نظری دارد.

احتمال تجربی
احتمال تجربی بر پایه مفروضه‌های نظری قرار ندارد، بلکه اساس آن تجربه است. متوسط تعداد دفعات برنده شدن تیم فوتبال را می‌توان برحسب احتمال تجربی تفسیر کرد، در صورتی که احتمال برنده شدن در مسابقه‌ای را می‌توان با اساس فراوانی نسبی برد در مسابقه‌های گذشته به وسیله عددی بیان کرد. بنابراین اگر تیم خاصی از n بازی، r مرتبه برنده شود احتمال را فراوانی نسبی بازیهای برده شده می‌نامند. در صورتی که مسابقه‌های زیادتری با همین شرط انجام شود احتمال به دست آمده را تجربی گویند.

احتمال ذهنی
واژه احتمال ذهنی به منظور توصیف به وقوع پیوستن حوادث روزمره که براساس دلایل ذهنی قرار دارد به کاربرده می‌شود. احتمال ذهنی بیشتر به احساس یا عقاید ما بستگی دارد.

محاسبه احتمال
در احتمال محاسبات بر اساس دو قانون جمع و ضرب انجام می‌شود. قانون جمع زمانی به کار برده میشود که یکی از دو حادثه اتفاق بیفتد یعنی حادثه اول یا حادثه دوم. درصورتی که قانون ضرب در شرایطی به کار برده می‌شود که هر دو حادثه با هم اتفاق بیفتند.

در احتمالات حوادث ناسازگار به حوادثی گفته میشود که وقوع یکی از آنها مانع وقوع دیگری باشد. برای مثال وقتی سکه‌ای را یکبار به هوا پرتاب کنیم نشستن یک روی آن مانع از نشستن طرف دیگر آن می‌شود یا بارندگی مانع تابش آفتاب می‌شود. این دو واقعه ناسازگارند. هنگامی که دو واقعه ناسازگار باشند، احتمال این که یکی از این دو واقعه با یکدیگر اتفاق بیفتند، مساوی مجموع احتمالهای هر یک از آنهاست. برای دو حادثه A و B قانون جمع به صورت زیر بیان می شود:
P (A B) = P (A) + (B)

برای مثال هنگامی که تاسی را رها کنیم، احتمال این که ۱ یا ۲ بیاید به صورت زیر محاسبه می‌شود:
(۲)P + (1) ‍P = (2 یا ۱)P

جمع حوادث سازگار
هر گاه دو حادثه سازگار باشند، امکان وقوع آنها به صورت همزمان وجود دارد. برای مثال در صورتی که از یک دسته کارت ۵۲ برگی کارتی را استخراج کنیم و بخواهیم این کارت آس یا پیک باشد، در این صورت امکان استخراج آس پیک وجود دارد. این دو واقعه سازگار هستند. در چنین شرایطی عمل جمع به صورت زیر انجام می‌شود:
= P (A) + P (B) – P (A , B) (B یا A) P
در مورد بحث احتمال این که کارت استخراج شده پیک یا آس باشد به صورت زیر محاسبه می‌شود:
(پیک و آس) P- (پیک) P + (آس) P= (پیک و آس) P

ضرب حوادث مستقل
برای تعیین احتمال مشترک یعنی احتمالی که در آن امکان وقوع دو حادثه همزمان وجود داشته باشد اطلاع از این دو حادثه مستقل یا همبسته‌اند ضروری است. حوادث مستقل به حوادثی گفته می‌شود که وقوع یا عدم هر یک در احتمال وقوع یا عدم وقوع حادثه دیگر تاثیر نداشته باشد. برای مثال فرض کنید دو تاس قرمز و سبز داریم و علاقه‌مندیم احتمال آمدن۲ را در انداختن این جفت تاس تعیین کنیم. احتمال آمدن ۲ برای تاس قرمز است و این احتمال در تاس سبز تاثیری ندارد. چون احتمال آمدن ۲ در تاس قرمز، تاثیری در آمدن ۲ در تاس سبز ندارد، به همین دلیل این دو حادثه ازیکدیگر مستقل هستند.
در صورتی که دو حادثه مستقل از یکدیگر باشند، احتمال این که هر دو تای آنها اتفاق بیفتند مساوی حاصل ضرب احتمال وقوع هر یک از آنها است:
P (A , B) = (A) P (B)
این احتمال در مثال مورد بحث به شرح زیر محاسبه می‌شود:

(۲ در باس سبز و ۲ در تاس قرمز) P
ضرب حوادث وابسته
اگر دو حادثه وابسته باشند، یعنی احتمال وقوع یکی از آنها به احتمال وقوع یا عدم وقوع دیگری بستگی داشته باشد احتمال آن که هر دوی آنها اتفاق بیفتند عبارت است از:
P (A ,B) = P (A) P (B /A)1
برای مثال فرض کنید در ظرفی شش مهره قرمز و چهار مهره سفید وجود دارد. ابتدا مهره اول و سپس مهره دوم را از ظرف مربوطه برمی‌داریم (مهره اول را به جای خود نمی‌گذاریم). در این حالت احتمال این که دومین مهره قرمز یا سفید باشد بر نتیجه اولین مهره تاثیر می‌گذارد. احتمال این که به همین ترتیب نمونه‌ای دو تایی استخراج شود بر نتیجه دو مهره قرمز تاثیر خواهد گذاشت:

(اولین مهره قرمز/ دومین مهره قرمز)P × (استخراج اولین مهره قرمز) P= (دو مهره قرمز)P
برای مثال فرض کنید در ظرفی شش مهره قرمز و چهار مهره سفید وجود دارد. ابتدا مهره اول و سپس مهره دوم را از ظرف مربوطه برمی‌داریم (مهره اول را به جای خود نمی‌گذاریم). در این حالت، احتمال این که دومین مهره قرمز یا سفید باشد بر نتیجه اولین مهره تاثیر می‌گذارد، احتمال این که به همین ترتیب نمونه‌ای دو تایی استخراج شود بر نتیجه دو مهره قرمز تاثیر خواهد گذاشت:
(اولین مهره قرمز/ دومین مهره قرمز) P× (استخراج اولین مهره قرمز)P= (دو مهره قرمز)P

اصول اساسی قانون ضرب
مسائل مربوط به احتمال که مورد بحث پاسکال، کاردان و دیگران قرار گرفت از نظر مفهوم یکسان هستند. همه آنها به نسبت می‌پردازند. اگر یک عمل یا یک بازی به n نتیجه تقریباً‌ یکسان منجر شود و در صورتی که m نتیجه از آنها دارای شرایط معینی باشد، احتمال آن شرایط مساوی است.

پیدا کردن n و m گاهی اوقات آسان و در برخی از شرایط دشوار است. چنانچه حادثه مورد مطالعه همانند انداختن تاس ساده باشد. n و m را می‌توان به صورت مستقیم به وسیله شمارش به دست آورد. اما موقعی وجود دارد که امکان شمارش به صورت مستقیم وجود ندارد یا در صورتی که این امکان وجود داشته باشد شمارش وقت‌گیر و مقرون به صرفه نیست. در چنین شرایطی از شاخه ای از ریاضیات به نام ریاضی ترکیبی استفاده می‌شود.

این رشته از ریاضیات به بررسی، انتخاب، ترتیب، شمارش ترتیب و توالیهای مرتب نشده می‌پردازد. ریاضی ترکیبی به بررسی ساخت نتایج همراه با یک موقعیت می‌پردازد و به ما اجازه می‌دهد تا n و m را به صورت منظم بشماریم. این بحث را با تفکری که هسته اصلی ریاضی ترکیبی است شروع می‌کنیم. این ایده یا تفکر به راههای مختلف شمارش ترتیب و توالی حوادث منجر می‌شود.

دانشجویی را در نظر بگیرید که برای تعطیلات آخر هفته خود برنامه‌ریزی می‌کند. کارهایی که او می‌تواند انجام دهد در جدول زیر ذکر شده است.
کاملا روشن است که در آخر هفته او باید یکی از ۶ رشته فعالیتهای زیر را انجام دهد. او می‌تواند در شب جمعه یکی از سه فعالیت و در شب شنبه یکی از دو فعالیت را انجام دهد. در صورتی این دانشجو بخواهد شب یکشنبه ۵ فعالیت دیگر را انجام دهد، مجموعه فعالیتهای او به ۳۰ فعالیت (۳۰= ۶× ۵) افزایش پیدا می‌کند. زیرا هر یک از فعالیتهای قبلی در ۵ ضرب می‌شود. بسط و توسعه این مثال به K فعالیت اساسی‌ترین قانون موجود در ریاضی ترکیبی یعنی قانون ضرب را نشان می‌دهد.

اگر مرحله ۱ را بتوان به n1 صورت و مرحله ۲ را به n2 صورت … و مرحله k را به n¬k صورت انجام داد.احتمال اینکه تمام مراحل به ترتیب معین ظاهر شوند مساوی است با
به عبارت دیگر در صورتی دویا چند حادثه وابسته باشند و احتمال آنهال به ترتیب p1 تا Pn باشد، احتمال اینکه تمام این حوادث به ترتیب معینی رخ دهند مساوی حاصل ضرب هر یک از احتمالها.

جایگشت (تبدیل)
در قسمت پیش ملاحظه شد که الگوهای ترتیبی کاربرد گسترده‌ای دارند. الگوی ترکیبی دیگری که به طور مستمر از آن استفاده می‌شود یا جایگشت نام دارد. می‌توان افراد یا اشیاء را به طرق مختلف کنار هم قرار داد. برای مثال سه عدد۰، ۱، ۲ را می‌توان به شش طریق کنار هم قرار داد (۰۲۱- ۰۱۲- ۲۱۰- ۱۰۲- ۱۲۰). شش طریق مذکور را تبدیل یا جایگشت سه عدد ۰، ۱، ۲ گویند. چنانچه ملاحظه میِشود هر جا جایگشت با جایگشت دیگر فقط از نظر قرار گرفتن اعضا تفاوت دارد. همانطور که در مثال مطرح شده مشاهده می‌شود تعداد گروههای جایگشت سه عنصر مساوی ۶ است. در صورتی که این تعداد را با P3 نشان دهیم می‌توان آن را به صورت زیر نشان داد:

با کمی دقت می‌توان گروههای سه عنصری را از روی گروههای جایگشت ۲ عنصری نوشت. برای روشن شدن مطلب فرض کنید قصد داریم یکبار جایگشتهای دو عنصر b و a و یک بار جایگشتهای سه عنصر c و b و a را تعیین کنیم. در صورتی که در جایگشت ab یکبار c را در سمت چپ و سپس بین b و a و در پایان در سمت راست b قرار دهیم جایگشتهایی به صورت cab , acb و abc درست خواهد شد. و اگر همین عمل را برای جایگشت ba انجام دهیم سه جایگشت سه تایی دیگر به .وجود خواهد آمد که در نتیجه مجموع کل جایگشتها به ۶ خواهد رسید.

یا به عبارت دیگر
۶ = ۱× ۲* ۳ = P3
تعداد جایگشتهای ممکن برای ۴ حرف C, B, A و D مساوی ۲۴ است. یعنی
۲۴= ۱× ۲× ۳× ۴ = P3 4 = P4
درصورتی که n شیء مجزا داشته باشیم تعداد جایگشتهای آنها مساوی ۱* ۲ *… * (۲- n) (1-n) خواهد شد. به عبارت دیگر تعداد گروههای حاصل از تبدیل یا جایگشت روی یک مجموعه n عنصری که آن را با Pn نمایش می‌دهند عبارت است از :
Pn = nPn – ۱
Pn = n (n-1) (n-2) (n –۳) …۳ ۲
حاصل فوق که آن را با n نمایش می‌دهند فاکتوریل n خوانده می‌شود. N! مساوی است با
حاصل ضرب اعداد ۱ تا n و آن را به صورت زیر نشان می دهند:
Pn=n!
در صورتی که در تبدیل یا جایگشت، عناصر تکراری وجود داشته باشد از فرمول زیر استفاده می شود:
(۱-۹)
در این فرمول N عنصر وجود دارد که nتای آن از یک نوع، m تا از نوع دیگر و به همین ترتیب k تای دیگر از نوع دیگر است.

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
wordقابل ویرایش - قیمت 4700 تومان در 24 صفحه
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد