بخشی از مقاله
در ناحيه مركزي اين تير نيروي برشي وجود ندارد و اين ناحيه تنها تحت لنگر خمشي ثابتي برابر Pa قرار دارد. تيري را كه در دو انتهاي خود تحت تاثير و لنگر خمشي مساوي، مختلف الجهت و هم صفحه قرار دارد، مي‌گويند كه در خمش خالص است.
توجه: پيچش ايجاد تنش برشي و خمش ايجاد شده تنش محوري مي‌كند.
با آزمايش ساده‌اي مي‌توان خمش يك تير سده را مشاهده نمود. براي اين كار يك تكه اسفنج به ابعاد مثلاً 50×100×150 ميليمتر را مطابق شكل بر روي دو تكيه‌گاه قرار دهيد و با دست بر آن فشار وارد كنيد. مشاهده خواهيد كرد كه سوراخ‌هاي اسفنج در بالاي آن بسته و نشان دهنده فشار در بالاي اسفنج در پايين آن و نشان دهنده كشش در پايين اسفنج مي‌باشد. سوراخ‌ها در مجاورت دو تكيه‌گاه بدون تغيير باقي مي‌مانند، زيرا لنگر خمشي در دو انتهاي تير در مقايسه با وسط تير خيلي كوچك هستند.
با توجه به مثال ذكر شده مي‌توان نيروهاي وارد بر مقطع عرض يك تير را كه در خمش خالص قرار دارند، به صورت زير نشان داد.
فرضيات اساسي خمش:
1. صفحات عمود بر محور، بعد از اعمال خمش به صورت صفحه باقي مي‌مانند و تنها حول يك محور دوران مي‌كنند.
2. تغيير شكل‌ها داراي تغييرات خطي نسبت به محور دوران هستند.
رفتار مصالح در كشش و فشار يكسان است.
در يك تير تحت خمش، تغييرات كرنش موجود در تارهاي طولي موازي صفحه خنثي به صورت خطي مي‌باشد و يا به عبارت ديگر، مقدار كرنش تارهاي فوق متناسب با فاصله آنها از محور خنثي مي‌باشد.
در تصوير بزرگ شده اين جزء كوچك، ديده مي‌شود كه طول تارهايي از تير كه در روي سطحي نظير ab قرار دارند، تغييري نمي‌كند، چون جزء مزبور به صورت دلخواه انتخاب شده است. تارهاي عاري از تنش و كرنش به طور پيوسته در تمام طول و پهناي تير وجود دارند. اين تارها در روي صفحه‌اي قرار دارند كه سطح خنثي تيز ناميده مي‌شود. فصل مشترك اين صفحه با يك مقطع عرض قائم بر تير محور خنثي ناميده مي‌شود، از هر دو اصطلاح براي نشان دادند محل تنش يا كرنش صفر در يك عضو تحت خمش استفاده مي‌شود.
اثبات اينكه محور اصلي ختثي بايد از مركز هنري سطح مقطع تير عبور كند:
چون شعاع انحنا p و ضريب ارتجاعي E مقادير ثابتي هستند، از اين معادله نتيجه مي‌شود كه براي تيري كه در خمش خالص رابطه زير برقرار است.
كه در آن y فاصله مركز هندسي سطح A از محور مبناء مي‌باشد. بنابراين yA=0 از آنجايي كه A صفر نيست، y بايد مساوي صفر شود. بنابراين فاصله مركز هندسي سطح مقطع محور خنثي بايد صفر باشد.
دومين شرط تعادل، تعادل در لنگرهاي خنثي حول محور Z مي‌باشد. لذا داريم:
انحناء محور طولي تير مستقيماً با لنگر خمشي M و معكوساً با كميت EI موسوم به طبيعت خنثي تير مناسب مي‌باشد.
M: لنگر خمشي
C: دورترين فاصله تا تار خنثي
I: ممان اينرسي حول محور خنثي
روابط فوق در صورتي صادق هستند كه محورهاي x, y محورهاي اصلي اصلي مقطع باشند.
مثال: ممان خمشي مجاز تير با مقطع مربع چند برابر ممان مجاز مقطع دايره‌اي از جنبش مشابه و سطح مقطع يكسان است؟
مثال:
تعيين كنيد حداكثر تنش عمودي ناشي از خمش را در تير ساده زير وقتي كه P=6000kg و سطح مقطع عرض آن مطابق شكل زير باشد:
مثال:
يك لوله فولادي به قطر خارجي d1=4cm و قطر d2=3cm به صورت تير ساده براي پوشاندن دهانه يك متري بكار رفته است. حداكثر بار مجازي كه اين لوله در وسط دهانه‌اي مي‌تواند تحمل 120 كيلوگرم مي‌باشد. اگر چهار عدد از اين لوله‌ها به صورت موازي به يكديگر كاملاً متصل گردند و براي پوشش همان دهانه بكار روند، حداكثر باري كه چهار لوله مي‌توانند در وسط دهانه‌شان تحمل كنند، چقدر است؟
براي چهار لوله مزبور مي‌توانيم بنويسيم:
خمش مقطع دوجنسي:
مقاطعي را كه از دو جنس متفاوت تشكيل شده‌اند، مي‌توان به صورت يك شكل معادل يك جنسي درنظر گرفت. بدين صورت كه عرض يكي از دو قسمت را به نسبت مدول‌هاي الاستيسيته افزايش مي‌دهيم. در اين حالت تنش بدست آمده قسمت قبل تبديل يافته را بايد به نسبت مدول‌هاي الاستيسيته افزايش دهيم.
مثال:
مقطع عرضي تير كوچكي كه از هفت لايه تخته چندلايي ساخته شده در شكل زير نشان داده شده است. رگه‌هايي از لايه‌ها يك در ميان در موازي طول تير است. تير مزبور به طول 2/1 متر و داراي دو تكيه‌گاه ساده مي‌باشد و بار متمركز p در وسط دهانه آن وارد مي‌شود. ضريب ارتجاعي در جهت موازي رگه‌ها برابر E1=106kg/cm2 و جهت عمود بر رگه‌ها برابر E2=2.5*105kg/cm2 است. تنش‌هاي مجاز مربوطه σ1=84kg/cm2, σ2=21kg/cm2 است. مقدار مجاز بار p را تعيين كنيد.
تنش σ1 در اين مساله تنش تعيين كننده است و لنگر خمشي حداكثري كه مقطع مزبور مي‌تواند تحمل كند، مساوي است با:
مثال:
مقطع تير بتن سطح شكل زير تحت تاثير لنگر خمشي مثبت 2/69 كيلونيوتن قرار دارد. اگر فولاد مقطع دو ميلگرد به قطر 28 ميليمتر و نسبت ضريب ارتجاعي فولاد و بتن 15 باشد و n=15، مطلوب است تنش حداكثر در بتن و فولاد.
توجه:
اگر در جواب بدست بيايد، عدد مثبت قابل قبول مي‌باشد و اگر بيشتر از d باشد، عدد بدست آمده تا قابل قبول نيست.
مســـائـــل
مثال)
مطلوب است تعيين ممان اينرسي نيمرخهاي نشان داده شده در شكل نسبت به محور افقي مار بر مركز هندسي سطح (محور مركزي افقي).
حل: از پايين
مثال)
مطلوب است تعيين ممان اينرسي نيمرخهاي نشان داده شده در شكل نسبت به محور افقي مار بر مركز هندسي سطح (محور مركزي افقي).
حل: به دليل تقارن مقطع از پايين
مثال)
مطلوب است تعيين ممان اينرسي نيمرخهاي نشان داده شده در شكل نسبت به محور افقي مار بر مركز هندسي سطح (محور مركزي افقي).
حل: به علت تقارن مقطع
از پايين
مشخصات نبشي عبارتند از:
مثال)
بر مقاطع و نيمرخهاي نشان داده شده در شكل، لنگر خمشي مثبتي معادل 54000 نيوتن متر در حول محور خنثي اثر مي‌كند. مطلوب است تعيين تنش‌هاي خمشي در نقاط نشان داده شده كه توسط يك نقطه پررنگ مشخص شده‌اند.
حل:
مثال)
بر مقاطع و نيمرخهاي نشان داده شده در شكل، لنگر خمشي مثبتي معادل 54000 نيوتن متر در حول محور خنثي اثر مي‌كند. مطلوب است تعيين تنش‌هاي خمشي در نقاط نشان داده شده كه توسط يك نقطه پررنگ مشخص شده‌اند.
