دانلود مقاله روش ژاکوبی برای حل مسائل غیر خطی

بخشی از مقاله

روش ژاكوبي در واقع تعميمي از روش سيمپلكس براي حل مسائل خطي مي‌باشد يا به عبارت ديگر روش ژاكوبي در حالتي خاص همان روش سيمپلكس مي‌باشد.

- تئوري روش مشتق مقيد(ژاكوبي)
فرض مي‎شود كه توابع g, f دو بار پيوستة مشتق پذير باشند (از ردة C2). ايدة روش ژاكوبي يافتن گوي بسته اي است كه در تمام نقاط آن مشتق هاي جزئي مرتبه اول موجود و شرط g(x)=0 برآورده گردد. همان طور كه مي دانيم نقاط بحراني نقاطي اند كه مشتقات جزئي تابع در آن‌ها صفر گردد.
براي شناسايي نقاط بحراني از شرايط كافي به شرح زير استفاده مي كنيم:
شرايط كافي براي نقطة بحراني جهت اكسترمم بودن آن است كه ماتريس هسيان محاسبه شده در نقطه
1) هنگامي كه مي نيمم است مثبت باشد .
2) هنگامي كه ماكزيمم است منفي باشد .

براي روشن كردن اين مفهوم تابع f(x1 , x2) را در نظر مي گيريم. هدف مي نيمم كردن تابع با توجه به محدوديت g1(x1 , x2) = x2 - b=0 مي‎باشد. (b ثابت است.) منحني ايجاد شده توسط سه نقطة C , B , A مقاديري از f را نمايش مي‎دهد كه محدوديت اعمال شده همواره برآورده مي گردد. روش ژاكوبي، گراديان f(x1 , x2) را در هر نقطه اي از منحني ABC تعريف مي‌كند. هر نقطه اي كه مشتق آن برابر صفر گردد نشان دهنده يك نقطه بحراني براي اين مسئله مقيد مي‎باشد كه در شكل زير نقطة B ، نقطه موردنظر مي‎باشد.

با استفاده از ق تيلور براي نقاط در همسايگي قابل قبول x داريم:


هنگامي كه خواهيم داشت:


و از آنجا كه g(x)=0 در نتيجه بنابراين خواهيم داشت:

حال يك دستگاه با (n+1) مجهول و (m+1) معادله خواهيم داشت كه مجهولاتمان درايه‌هاي مي باشند با مشخص شدن پيدا مي‎شود. و اين بدان معناست كه در واقع m معادله با n مجهول داريم. اگر m>n آن گاه حداقل (m-n) معادله زائد مي باشند. پس از حذف آنها، سيستم به تعداد كارايي از معادلات مستقل مانند كاهش خواهد يافت. براي حالتي كه m=n باشد جواب مي‎باشد و اين نشان دهنده آن است كه X همسايگي قابل قبول ندارد و فضاي حل تنها از يك نقطه تشكيل يافته است. در اينجا اين حالت موردنظر نيست و ما به بررسي حالت m < n مي‎پردازيم.

X = ( Y, Z) Y= (y1 , ….ym) & Z= (z1 ,z2 …, zn-m)
متغيرهاي مستقل و وابستة بردار X مي باشند . حال بردار گراديان f و g را با توجه به بردارهاي Z , Y بازنويسي مي كنيم:

تعريف مي كنيم: كه ماتريس “ژاكوبين” و ماتريس “كنترل” ناميده مي‎شود.
ماتريس J يك ماتريس نامنفرد مي‎باشد چرا كه بنا به تعريف m معادلة موجود مستقل مي‌باشند و اجزاي بردار Y مي‎توانند به گونه اي از X انتخاب گردند كه J معكوس پذير گردد.
با استفاده از تعاريف بالا معادلات مطرح شده را مجدداً بازنويسي مي كنيم:
(*)

اين مجموعه از معادلات از تغيير در (كه Z بردار مستقل ما مي‎باشد) اثر مي پذيرد.
جايگذاري مقدار به دست آمده در رابطة (*) عبارت زير را به دست مي‎دهد:

از اين معادله، مشتق مقيد با توجه به بردار مستقل Z به دست مي‎آيد:

كه نمايش دهندة گراديان محدود (مقيد) بردار f وابسته به Z مي‎باشد. بنابراين بايد در نقاط بحراني برابر صفر باشد.
شرايط كافي مشابه قسمت قبل مي‎باشد. در اين حالت با اين وجود ماتريس هسيان مطابق با بردار مستقل Z خواهد بود.