بخشی از مقاله
تفكيك تئوري الاستيسيته براي بسته‌هاي ذره سخت متراكم شده تئوري تشكيل دهنده غير خطي «مخروط»
چكيده:
بسته‌هاي ذره سخت باعث ايجاد منبع غني از مسائل برجسته تئوري مي‌باشند كه به عنوان نقطه شروع مفيد براي مدل ساختار رسانه دانه‌اي، مايعات، سلول‌هاي زنده، شيشه‌ها و رسانه تصادفي مي‌باشند. اصل بسته‌هاي ذره سخت متراكم شده نسبت به تغيير شكل كلي را نمي‌توان به صورت الاستيته غير خطي نشان دارد اما اين شامل تئوري تشكيل دهنده غير خطي «مخروط» مي‌باشد. اين اصل جداگانه براي جابه‌جايي ذراتي شده كه به توالي فضايي اصلي و داخلي ذرات بستگي دارد و مسير كشش ممكن را نشان داده‌اند كه مرتبط به عدم ساختار ذره همراه با
پتانسيل نرم مي‌باشد. از لحاظ رياضي، مجموعه كشش‌هاي ممكن داراي ساختار مخروطي مي‌باشد يعني تركيبات تاسنور كشش اعمال شده معمولاً از عدم تساوي خطي پيروي مي‌كند. اصل عملكرد غير خطي بواسطه آناليز چندين بسته ويژه بدست آمده است. سرانجام ما اين شرايط را تحت بسته‌اي مورد بررسي قرار داده‌ايم به صورت تراكم ناپذير در حس قديمي نشان داده شده است.
مقدمه:
برنل 1965 مسائل مرتبط به ذرت بسته بندي شده در محفظه يا مجراي يكي از مسائل قديمي و شناخته شده براي انسان را به صورت برجسته نشان داد. بسته‌هاي ذرات سخت به عنوان منبع بسياري از چالش‌هاي مرتبط به مسائل تئوري مي‌باشد كه به عنوان نقطه شروع مفيد به كاربرده
مي‌شوند و باعث بررسي ساختار معكوس بسياري از ساختارها همانند رسانه‌دانه‌اي، مايعات، سلول زنده، پشت رسانه تصادفي شده است. استفاده از بسته‌ها با ذره سخت به عنوان مدلي براي ايجاد ساختار متراكم شده‌اند كه از اين اصل استنتاج شده‌اند كه نيروهاي دافع، در ابتدا مسئول تعيين ساختار شان هستند.
اكثر سوالات دشوار شامل رده بندي و شمارش بسته‌هاي كروي و صفحه‌اي «تصادفي» مي‌باشد. درواقع، اخيراً نشان داده شده كه علامت ارجمنهد «بسته بندي بسته تصادفي» RCP در اصل از لحاظ رياضي بر تعريف شده است و ما بر اين باور هستيم كه بايد با علامت جديد جايگزين شود كه
به عنوان وضعيت MRJ ناميده شده است كه به صورت دقيق انجام مي‌شود.
تعيين وضعيت MRJ بر روي پيشرفت اندازه‌هاي است كه مرتبط به توالي مسائل چالش برانگيز در تئوري ماده چگال مي‌باشد و تعريف دقيق اصلاح «متراكم كردن» است.
ترسيم متراكم از ذرات سخت به عنوان توجه اصلي و بنيادين مي‌باشد. سه تا گروه بندي متمايز از بسته بندي‌هاي قابل تشخيص مي‌باشند و اين به عملكرد آنها با توجه به عدم تداخل توالي هندسي و جابه‌جايي اعمال شده مجازي مي‌باشد. تراكم داخلي، تراكم جمعي و تراكمش شد. اينها گروه بندي‌هايي هستند كه به طور دقيق در بخش 2 تعريف شده‌اند. بسته بندي تقريبي، اين طبقه بندي‌هاي متراكم شده به صورت فهرست درآمده‌اند و اين باعث افزايش شدت شده است و نسبت سختي بسته بندي را نشان مي‌دهد.
هدف از اين مقاله نشان دادن واكنش بسته‌هاي ذره سخت متراكم شده نسبت به تغيير شكل است كه معمولاً توسط الاستيته خطي نشان داده نشده اما شامل فرماليته متناوبي مي‌باشد كه به طور مناسب تعريف شده است.
اگرچه ما صفحه‌هاي سخت گرد را در دوتا بعد به صورت تخصصي درآورديم و كره‌هاي سخت را به صورت سه بعدي ترسيم كرديم، نتيجه گيري كلي اين مقاله به كارگيري ذرات سخت از شكل دلخواه است. ذرات سخت در تعامل با يكديگر مي‌باشد فقط هنگامي كه به يكديگر برخورد مي‌كنند و سپس اين انعكاس نامحدو دفعي، غير قابل نفوذ از حجم فيزيكي مي‌باشد. بنابراين پتانسيل جفت(r)∅ براي صفحات سخت يا اشكال كروي با قطر D به صورت زير مشخص شده است:
φ(r) = {■(+∞ r≤D.@0, r>D,)┤
در اينجا r فاصله جداسازي درون ذره‌اي مي‌باشد. اين اصل تكي از اين پتانسيل است كه منجر به ايجاد نقض كلي از الاستيته خطي در مشخصات عملكرد فشار كشش شده كه مرتبط به
بسته‌هاي ذره سخت متراكم شده مي‌باشد. تئوري تشكيل دهنده غير خطي مرتبط به اين اصل است كه جابه‌جايي غير تداخلي مجاز كروي مرتبط به ساختار هندسي داخلي مي‌باشد. بدوز اين وابستگي بر روي ساختار هندسي داخلي مرتبط به اصل بسته‌هاي ذرات سخت متراكم شده مي‌باشد كه باعث افزايش اين ساختار شده اما باعث فشردگي‌هاي مقاومت پذير نيز شده است
. اين نتايج مسير دهي در قانون تشكيل دهنده غير خطي مرتبط به جابه‌جايي ذرات كوچك مي‌باشد. برعكس، ساختار ذرات با پتانسيل نرم، حتي اگر غير خطي باشد، حاصل قانون كشش فشار براي جابه‌جايي‌هاي كوچك مي‌باشد.
علاوه بر اين بدون پتانسيل خطي در مورد غير خطي مي‌توان مدولي را نشان داد كه به وضعيت و تاريخچه سيستم بستگي دارد.
اين در مورد بسته‌هاي ذره سخت متراكم شده، حقيقت ندارد. از لحاظ رياضي مجموعه كشش‌هاي ممكن به عنوان مخروط چند وجهي مي‌باشند.
ما بر روي وضعيت فيزيكي ذره سخت تأكيد كرده‌ايم كه اين شامل طيف گسترده‌اي از شرايط و پاسخ‌ها مي‌باشد. فقط مجموعه فرعي آن در مقاله فعلي ارائه شده است، ما به طور انحصاري بر روي تعاملات (برهم كنش‌هاي) كره سخت متمركز شده‌ايم كه باعث ايجاد مدل ايده آلي شده‌اند. مدلي كه در بسياري از اسناد ايجاد شده است اين برعكس مطالعات و پژوهش‌هاي انجام شده بر روي مواد دانه‌اي است كه ذرات غير كروي و تغيير شكل يافته، اصطكاك، ديناميك و ديگر اثرات را نشان مي‌دهد. براي بحث و تبادل نظري كه در اينجا انجام شده، خواننده بايد مقاله اخير را توسط راكس 2000 را مورد بحث و تبادل نظر قرار دهد.
در بخش بعدي ما تعاريف اصلي را معرفي كرده‌ايم. در بخش 3 ما شماري از نمونه‌هايي را نشان داديم كه چگونه الاستيته خطي باعث تفكيك بسته‌هاي ذره سخت متراكم شده‌اند و اين باعث
دستيابي به رابطه تشكيل دهنده غير خطي مخروطي شده است ما همچنين اين شرايط را تحت بسته بندي مورد بررسي قرار داديم و اين در معناي قديمي به عنوان تراكم ناپذير ناميده شده است. در بخش 4، ما تئوري تشكيل دهنده غير خطي مخروط را براي بسته‌هاي عادي به كار برديم كه شامل موارد اصلي از بسته‌هاي غير كريستالي شده است و اين بسته‌ها شامل ذرات متمايز مي‌باشد.
2- تعاريف گروه بندي متراكم:
بسته بندي كروي، مجموعه‌اي از كره‌ها در فضاي d بعدي Euclidean مي‌باشد بسته بندي كروي p(rN) از كره N با بردارهاي وضعيت مراكز كروي rN=r1,r2…rN مشخص شده‌اند.
تراكم داخلي: هر ذره در اين ساختار توسط بخش‌هاي مجاور به دام افتاده مي‌شود يعني نمي‌توان آن را برگرداند در حاليكه وضعيت ثابت آن مرتبط به كل ذرات ديگر مي‌باشد.
تراكم جمعي: هر ترسيم تراكم داخلي كه در هيچ كدام از مجموعه فرعي ذرات نمي‌باشد به طور پيوسته جابه‌جا مي‌شود بنابراين بخش آنها حركت مي‌كنند و در تماس با يكديگر و مجموعه يادآوري مي‌باشند.
تراكم شديد: هرگونه ترسيم از تراكم جمعي باعث ايجاد تغيير شكل حجم يكنواخت از مرز ساختار شده است.
واضح و مشخص است كه گروه بندي متراكم در اينجا به صورت فهرست درآمده‌آند و اين باعث
افزايش توالي شدت شده است. در مورد تراكم جدي همراه با شرايط مرزي ديواره (جداره) سخت ما بايد تغيير شكل محفظه جداره (سخت) را نشان دهيم، اگرچه در مورد تراكم هر كرده داراي حداقل تماس d+1 همراه با كره‌هاي مجاور مي‌باشد و همه آنها به صورت نيمكره بعدي نمي‌باشند.
براي شروع آن مفيداست كه بسته‌هاي مرتب شده ساده از صفحات يا كره‌ها را گروه بندي كني
م كه در بالاي طبقه‌بندي متراكم قرار گرفته شده‌اند. مي‌توان بسته‌ايي ايجاد كرد كه صفحات و كره‌ها را در محل شبكه ساده همراه با محفظه جداره سخت مناسب قرار دهيم. اين براي شبكه دو بعدي و سه بعدي همراه با محفظه مستطيلي شكل مناسب مي‌باشد كه در شكل 2 و جدول 1 شبكه‌هاي دو بعدي و سه بعدي نشان داده شده است. جدول 2 داراي شرايط مرزي دوره‌اي يكساني مي‌باشد. شكل 3 نشان مي‌دهد كه چرا شبكه شش ضلعي به طور كلي همراه با شرايط مرزي جداره سخت متراكم نشده است. همچنين تراكم اصلي مرتبط به حجم غير افزايشي تغيير شكل يافته مي‌باشد. توجه كنيد كه اين تعاريف مرتبط به تراكم سازي از هرگونه سر و صدا در سيستم جلوگيري مي‌كند. با اين حال، پروتكول‌هاي تجربي (عملي)و محاسباتي باعث ايجاد بسته‌هاي عادي شده‌اند كه شامل تراكم جزئي از ذرات صدا دار مي‌باشد. با اين حال، اكثر اشكال كروي تحت شبكه متراكم به صورت فشرده درآمده‌اند و اين سختي پذيري بسته بندي ذره را استنباط كرده است. در هر مورد اين ذرات سر و صدا دارا را مي‌توان بدون ايجاد اختلال در يادآوري متراكم شده جمعي و به شدت در دو يا سه بعد معمولاً ناشناخته مي‌باشند و اين باعث دستيابي به بسته‌هاي متراكم شده همراه با جزئيات دلخواه و رياضي شده است اين رده بندي‌هاي متراكم سازي همانند روابط آنها نسبت به ديگر تعاريف به كاربرده شده در اسناد رياضي مي‌باشد.
تفكيك الاستيتيه خطي:
اين نكته مهم مورد تأييد قرار گرفته شده و همانطور كه قبلاً ذكر شده، تعرايف متراكم سازي به صورت حركت محمن مي‌باشند يعني آنها به بارهاي نيرو يا فشارهاي اعمال شده بر روي سيستم مرتبط نمي‌باشد. با اين حال، مي‌توان موردي را انتخاب كرد كه مرتبط به فشارهاي همزمان مسنب به به تغيير شكل از طريق روابط مناسب تشكيل دهنده مي‌باشد.
اين واضح و مشخص است كه ساخترا شبه‌اي شامل شبكه مثلثي شكل دو بعدي و سه بعدي
مي‌باشد. اين باعث ايجاد سوالاتي شده كه مرتبط به وضعيت تراكم سازي دقيق شده به سادگي مرتبط به مقاومت شبكه كروي در دو بعد شده و شبكه ملقب ساده به صورت سه بعدي همراه با جداره سخت مي‌باشد. براي تمام شبكه مربع، تنها كشش متقارن ارزان قيمت مرتبط به برش خالص بدست آمده در طول رديف و ستون ذرات مي باشد. تمام كشش‌هاي برشي همراه با ديگر گرايش‌ها به صورت پايدار باقي مانده‌اند.
براي بسته‌هاي كلي ذرات سخت متراكم شده، با توجه به كشش اعمال شده فشارهاي القاء شده حتي به صورت صفر يا نامحدود، به عبارت برخي از اين كشش‌ها به صورت مجاز مي‌باشد. اين نكته اهميت دارد كه بر روي وضعيت غير خطي حاصل رابطه تشكيل دهنده متمركز شويم كه كاملاً نسبت به موارد غير خطي عادي، متمايز مي‌باشد. سيستم ذرات سخت متراكم شده
«مدول» به گرايش كشش بستگي دارد. در اصل مجموعه كشش‌هاي ممكن به صورت مخروط چند وجهي در فضا يا تركيبات (سازه) كششي مي‌باشد.
اكنون ما روشي را نشان مي‌دهيم كه مرتبط به اصل مخروطي كشش‌هاي ممكن در سيستم متراكم شده ذره سخت مي‌باشد. نمونه مناسب از شبكه دو بعدي تحت شرايط مرزي دوره‌اي كه غير آزمايشي مي‌باشند و همراه با مجموعه متقارن در شبكه لوزي مي‌باشد و d بعد فضايي است. توجه كنيد كه A ماتريس شامل اجزاءd2 مي‌باشد. بخشي از شبكه لوزي است. اين بسته بندي دوره‌اي ويژه است. بسته بندي دوره‌اي حاصل تكثير بسته بندي ايجاد شده محدود p(rN) بر روي شبكه مي‌باشد و A={λ_1,…,λ_d} است در اينجا λ_1 حاصل بردارهاي شبكه مستقل مي‌باشد و d بعد فضايي است. توجه كنيد كه A ، {λ_1,…,λ_d} مي‌باشد در اينجا λ_1 مستقل خطي بردارهاي شبكه مي‌باشد. زاويه α باعث بازيابي شبكه‌هاي مربع و مثلثي شكل شده‌اند.
بسته‌هاي ايجاد شده مرتبط به ذره تكي مي‌باشد كه در اين مورد:
Λ= [■(1&cos(α)@0&sin〖(α)〗 )]
با تمركز بر روي تغيير شكل بر شل حفظ حجم لحظه‌اي: يعني كشش‌هاي متقارن بي اثر صورت
ϵ= [■(x&y@y&-x)]
نقاط شبكه از شبه كلي بواسطه بردار وضعيت صورت r=A توضيح داده شده است در حاليكه سازه‌ها بردار با طول n به صورت صحيح درآمده‌اند. بنابراين اين باعث تحريف جزئي از شبكه ∆A
شده است، سپس تغيير در وضعيت بردار به صورت ∆r=∆Λ مي‌باشد و اين مرتبط به كشش ε=ΔΛ.Λ^(-1) مي‌باشد. ادغام اين نتايج همراه با ماتريس (2) و كشش اعمال شده (3) معادله زير بدست آمده است.
∆Λ= [■(x&xcos(α)+ysin(α)@y&ycos(α)+xsin(α))]
بنابراين تغيير در دوتا بردار شبكه به صورت Δλ_1=(x,y) و Δλ_1=(α cos〖(α)+ysin (α)〗) شده است. اين توالي براي ثابت كروي همراه با جهت‌هاي از تشكيل جانبي لوزي شكل در زاويه α شده كه به صورت Δλ_1.λ_1≥0 و Δλ_2.〖Δλ〗_2≥0 نشان داده شده است. اين روابط باعث ايجاد شرايط نامساوي شده‌اند:
x≥0, y≥(1-2 cos^2〖(α)〗)/sin〖(2α)〗 x
اين تحليل نشان مي‌دهد كه اصل مخروطي كشش‌هاي ممكن براي سلول واحد |α| مي‌باشد. شكل 7 مخروط سازه‌هاي مرتبط به كشش ممكن (احتمالي)را نشان مي‌دهد. ما اين نتايج را مورد تأييد قرار داده‌ايم كه براي سلول‌هاي واحد بزرگ دلخواه مناسب مي‌باشد. توجه كنيد كه شبكه لوزي معمولاً ميان گروه بندي فشرده جمعي و داخلي قرار گرفته شده است.
اكنون مي‌توانيم بارهاي فشار، برابري، تغيير شكل كاهش حجم را به صورت زير نشان دهيم.
ϵ= [■(x&y@y&-(x+δ))]
در اينجا δ ثابت غير منفي است، توجه كنيد كه اين كشش به صورت اثر غير مثبت مي‌باشد و آن معادل –δ است. به اين نكته توجه كنيد كه تعريف مدول‌هاي حجم شامل واحد كشش فشرده مي‌باشد.
ϵ= [■(-1&0@0&-1)]
در صورتيكه كشش فشرده هر واحد به صورت مجاز نباشد، همرفت عادي باعث شده كه اين
سيستم تراكم ناپذير باشد، يعني مدول‌هاي حجم به صورت محدود مي‌باشند. در صورتيكه كشش فشرده واحد مجاز باشد،سپس آن به ساختار مراكم برمي‌گردد. اگرچه براي بسته بندي مثلثي شكل آن باعث ايجاد تركيبات (سازه‌هاي) كششي خارج از قطر شده است. و آن به دنبال تغيير مشابه است. اگر ما خودمان را به تعريف محمولي تراكم ناپذيري محدود كنيم، به عبارتي مدول‌هاي حجم به صورت نامحدود مي‌باشند، سپس ما مي‌توانيم ساختارهاي متراكم كلي را به صورت تراكم ناپذير در نظر بگيريم. اين نتايج همراه با نتيجه تئوري مرتبط به Connelly (1988) مي‌باشد. بررسي وضعيت تئوري او كه مرتبط به بسته بندي با حداكثر تراكم داخلي مي‌باشد كه در آن ذرات نمي‌توانند به صورت يكنواخت بزرگ شوند و اين باعث افزايش تراكم سستم شده است. اين نشان مي‌دهد كه اين محفظه تحت كاهش با حفظ شكل به صورت يكنواخت شده است. بنابراين همراه با بسته بندي متراكم مي‌باشد كه به صورت نامتراكم مي‌باشد.
واضح و مشخص است، تراكم ناپذيري لازم نيست بر روي ترسيم متراكم داخلي به كاربرده شود. براي مثال، بسته بندي همراه با زنجيره خطي كره‌ها كه دقيقاً داراي فاصله‌اي مي‌باشند كه شامل بسته‌هاي داخلي متراكم مي‌باشد و به صورت نامتراكم مي‌باشند، اين حقيقت ندارد كه ترسيم‌هاي متراكم داخلي به صورت نامتراكم مي‌باشند. در واقع، هرگونه تراكم داخلي لازم نمي‌باشد و اين باعث ايجاد خود فشار مناسب شده است.
با اين حال، تمام بسته‌هاي متراكم غير داخلي داراي خود فشار مي‌باشند و بنابراين غير متراكم نمي‌باشد. براي مثال،شكل 9 نمونه‌اي از بسته متراكم داخلي را نشان مي‌دهد كه خود فشار آن محو شده است و از اينرو تراكم پذير مي‌باشد.
4- تئوري غير خطي مخروطي براي بسته‌هاي عادي:
در اين مقاله ما طبيعت مخروطي را براي مجموعه كشش‌هاي ممكن مرتبط به بسته هاي كروي سخت با استفاده از نمونه ساده نشان داده‌ايم اين همانند بسته‌هاي دوره‌اي مثلثي شكل همراه با مبدل اوليه شبكه مي‌باشد. اگرچه نوع يكساني از اين استدلال‌ها براي بسته‌هاي عادي‌تر به
كاربرده مي‌شود. در اصل اين مشتق،شامل مراحل زير مي‌باشد. اول، يك نفر توالي نفوذ پذيري ميان جفت‌هاي ذرات تماس را بر حسب جاجه جايي ذره Dn به عنوان ساختار عدم تساوي خطي مي‌نويسد: سپس كشش ماكروسكوپي آن به عنوان تغيير خطي جابه‌جاييميكروسكوپي مي‌باشد و اين باعث كاهش توالي نفوذ پذيري شده كه فقط مرتبط به تاسنور كششي ميكروسكوپي مي‌باشد و اين باعث كاهش توالي شده است.
ما معمولاً بر روي روش‌هاي تحليلي و عددي متمركز شده‌ايم و اين باعث تعيين مشخصات عملكرد فشار كشش براي كاهش بسته‌هاي دوره‌اي شده كاملاً به صوتر كره كاملاً‌سخت مي‌باشند.
