بخشی از مقاله

*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***

تحلیل رفتار دینامیکی تیر تیموشنکو تحت اثر عبور همزمان چند جرم از روی آن به کمک تکنیک المان مجزا (DET)


چکیده

در این مقاله تغییر شکل دینامیکی تیر تیموشنکو بر اثر عبور همزمان چند سیستم جرم و فنر از روی آن به کمک روشی موسوم به تکنیک المان مجزا که در آن تیر تیموشنکو با سیستمی از میلههای صلب و مفاصل انعطافپذیر جایگزین می شود بررسی شده است. در ادامه با حل یک مثال عددی، تأثیر عوامل مختلف بر روی پاسخ دینامیکی تیر بررسی می شود و بعضی از نتایج به دست آمده از آن با نتایج حاصل از عبور یک جرم از روی تیر مقایسه میگردد که از آن جمله میتوان به عدم مشاهده تشدید در سرعت بحرانی تیر حامل یک جرم برای وقتی اشاره کرد که دو جرم همزمان از روی آن عبور می کنند.

واﮊههای کلیدی: تیر تیموشنکو – جرم متحرک ‐ فنر – المان مجزا.

مقدمه

بیش از یک قرن است که تحلیل سیستمهای الاستیک پیوسته توجه محققین بسیاری را در زمینه های مختلف علمی، از مهندسی سازه گرفته تا مهندسی مکانیک و هوافضا به خود جلب کرده است]۱.[ اما از نظر تاریخی، این مسأله برای اولین بار در طراحی پلهای راهآهن و پس از آن در سایر صنایع وابسته به مهندسی حمل و نقل مطرح شده است]۲.[ بنابراین مسأله عبور جرم در حال حرکت یکی از مسائل بنیادین در زمینه دینامیک سازه است.

تحقیقات اولیه در این زمینه توسط ] Stokes۱[ و ] Ayre۳[ انجام شده است و کتابی توسط ] Fryba۴[ به چاﭖ رسیده است که در آن عبور جرمهای در حال حرکت از روی تیر تحت بارگذاریهای مختلف مورد بررسی قرار گرفته است. Yang و همکاران ]۵[ روش سودمندی را برای تحلیل عبور وسائط نقلیه از روی تیرهای ساده و پیوسته ارائه کردهاند. Lin و ] Tretheway۶[ نیز عبور جرم در حال حرکت را به همراه فنر و دمپر از روی تیر بررسی کردهاند که در آن استهلاک و فنریت در امتداد تغییر مکان تیر در نظر گرفته شده بودند.

Akin و ] Mofid۷ و ۸[ روشی را موسوم به تکنیک المان مجزا

(Discrete Element Technique) جهت بررسی ارتعاشات تیر اویلر‐ برنولی تحت اثر عبور جرم نقطه ای از روی آن توسعه دادند. اسماعیلزاده و قرشی ]۹[ ارتعاشات تیر تیموشنکو بر اثر عبور جرم گسترده از روی آن را به کمک روش تفاصل محدود بررسی کردهاند. یاوری و همکاران ]۰۱[ پاسخ دینامیکی تیر تیموشنکو بر اثر عبور جرم نقطهای بر روی آن را با استفاده از تکنیک المان مجزا به دست آوردهاند و ضیائی و همکاران ]۱۱[ این روش را


برای عبور جرم گسترده از روی تیر توسعه دادند. ] Wu۲۱[، تحلیل ارتعاشی قاب تحت اثر جرم گسترده در حال حرکت را با تعریف انواع المانهای جرم متحرک انجام داد.

در همه مقالات فوق در هر لحظه تنها عبور یک جرم از روی تیر در نظر گرفته میشود. بدین دلیل در این مقاله تکنیک المان مجزا ]۸، ۰۱، ۱۱[

برای حالتی که در آن واحد بیش از یک جرم از روی تیر عبور میکند فرموله شده و بعضی از نتایج بهدست آمده از آن با نتایج حاصل از عبور یک جرم از روی تیر مقایسه گردیده است.

معادلات حرکت

فرض کنیم اولین جرم در لحظه t  0 و با سرعت ثابت از سمت چپ

وارد تیر میشود. جابجاییها از موقعیت استاتیکی تیر سنجیده و کلیه شرایط اولیه صفر فرض میگردند. تغییر مکانها کوچک در نظر گرفته میشوند و بنابراین فرض خطی بودن مسأله منطقی است. در شکل (۱)
مدلی از مسأله مشاهده میشود که موقعیت سیستم را در لحظه t k

نشان میدهد. در این بخش ابتدا اشاره ای گذرا به حل مسأله عبور جرم نقطهای در مرجع ]۰١[ خواهیم داشت و سپس معادلات حاکم بر عبور همزمان چند جرم همراه با فنر را بهدست میآوریم.

شکل ١‐ مدل مسأله

برای تعیین معادلات حرکت سیستم، خمش و تغییر شکل برشی بهطور جداگانه در نظر گرفته میشوند. همچنین برای شرایط مختلف مرزی مطابق مرجع ]١٠ و ١١[، سه پارامترδ i i 1, 2, 3 را تعریف می کنیم که مقادیر آنها در شکل (۲) مشاهده می شود.

برای استفاده از معادله لاگرانژ در تعیین معادلات دینامیکی سیستم، ابتدا باید انژی جنبشی و پتانسیل را که عبارت از مجموع انرﮊی جنبشی و پتانسیل تیر و جرم و فنرها است بهدست آوریم؛ برای حالت خمش خالص، انرﮊی جنبشی تیر از رابطه زیر به دست میآید (مراجع ]٧[ و ]٨:([
در رابطه بالا n تعداد المانها، m j ∗ جرم هر المان، I j ∗ ممان اینرسی و y j ∗ تغییر مکان قائم مرکز هر المان است. همچنین روابط زیر را خواهیم داشت:
برای تعیین انرﮊی پتانسیل تیر نیز در حالت خمش خالص روابط زیر برقرارند:

در رابطه فوق L طول تیر، h طول هر المان، m جرم واحد طول تیر و EIسختی خمشی تیر است. Mj و Kj نیز بهترتیب ممان خمشی و سختی پیچشی مفصل j ام و θ چرخش نسبی در المانهای متصل به هم هستند.کار انجام شده توسط نیروهای خارجی هم با رابطه زیر داده می شود:

در رابطه فوق p j نیروی تعمیم یافته وارد بر المان j ام است. برای محاسبه کل انرﮊی پتانسیل تیر از رابطه زیر استفاده می کنیم:

انرﮊی مکانیکی تیر نیز که شامل مجموع انرﮊی جنبشی و پتانسیل آن است از رابطه زیر محاسبه می شود:

حال ممان اینرسی مقطع تیر را بهصورت حاصل ضرب سطح مقطع تیر در مربع شعاع ﮊیراسیون آن حول محور z تعریف می کنیم:3
با جایگذاری رابطه (٨) در رابطه (٢) داریم:


در نهایت انرﮊی جنبشی و پتانسیل تیر پس از جایگذاری روابط مربوط بهصورت زیر محاسبه می شوند:

پس از تعیین انرﮊی جنبشی و پتانسیل تیر باید انرﮊی جنبشی و پتانسیل جرم متحرک و فنر مربوط به آن نیز محاسبه شوند. بدین منظور ترمهای ثابت 12 mpv2 را که در آنها mp جرم متحرک و v سرعت آن است و

برای تمامی جرمها یکسان در نظر گرفته می شوند به دلیل بی تأثیر بودن آنها در معادله لاگرانژ در نظر نمی گیریم. در اینصورت انرﮊی جنبشی جرمهای در حال حرکت با رابطه زیر بهدست میآید:

انرﮊی پتانسیل جرم و فنر نیز با استفاده از معادله زیر تعیین می شود:

در روابط فوق k ضریب سختی فنر، wi تغییر مکان قائم جرم i ام، yj تغییر مکان قائم گرهای که جرم i ام روی آن قرار گرفته است و p تعداد جرم


روی تیر در لحظه مورد نظر است. معادله لاگرانژ برای سیستم بالا به صورت زیر نوشته میشود:


در رابطه بالا، I اندیس مربوط به تیر و II مربوط به سیستمهای جرم و فنر است. با جایگذاری روابط ۰۱ تا ۳۱ در معادله ۴۱، روابط دینامیکی حاکم بر سیستم به دست میآیند که می توانیم آنها را به صورت زیر بیان کنیم:

در رابطه فوق، P بردار نیروی تعمیم یافته، W نیروی وزن جرمهای متحرک و Y بردار جابجایی می باشند. Q، A و H نیز ماتریسهای مربعی متقارن هستند. معادله (۵۱) به فرم ماتریسی و برای ثابت زمانی j ام به صورت زیر درمیآید:

بردارها و ماتریسهای معرفی شده در معادله (۶۱) به شرح زیر خواهند بود:

در دومین بخش از ماتریس Q و همچنین در ماتریس A تمام درایههای P سطر و ستون انتهایی صفر هستند؛ ماتریس H نیز در زمان tj برابر با مقدار زیر خواهد بود:

لازم به توضیح است که به عنوان مثال اگر جرم i ام بر روی گره j ام قرار داشته باشد، در ماتریس H j  درایههای j, j  و n  i, n  i 
برابر با k خواهند بود و درایههای j, n  i  و n  i, j  مقداری برابر با –k خواهند داشت. همچنین گذاردن ضریب δ3 در کنار ترمهای مربوط به گره انتهایی الزامی است.
بردار Wj  نیز به شکل زیر خواهد بود:



در رابطه فوق سطرهای مربوط به گرههای حامل جرم برابر با ١ و بقیه درایهها صفر خواهند بود. با توجه به آنچه گفته شد در هر ثابت زمانی مجموعهای از n+p معادله و n+p مجهول خواهیم داشت که n مجهول مربوط به n گره تیر و p مجهول نیز مربوط به p جرم متحرک می باشند.

نکته قابل توجه آن است که با تغییر در تعداد اجرام روی تیر ابعاد کلیه ماتریسهای فوق تغییر خواهد کرد؛ این در حالی است که گذشت زمان نیز مقدار درایه های مربوط به ماتریسهای دارای اندیس j را تغییر میدهد.
حال اگر تأثیر برش را نیز در نظر بگیریم دستگاه معادلات دیگری مشابه با معادله (۵۱) بهدست میآید که در آن ماتریس A  با

A s  جایگزین میشود و سایر بردارها و ماتریسها به همان صورت قبلی باقی می ماند. درین بخش به ذکر نتایج اکتفا شده است و خواننده علاقه مند میتواند برای مشاهده روند کار به مرجع ]١١[ رجوع کند.

با توجه به آنچه گفته شد، تغییر مکان گرهها و جرمهای متحرک برای حالت برش خالص از حل معادله زیر به دست میآید:

تغییر مکان یک گره در زمانهای مختلف و خطوطی که در راستای محور x هستند, شکل تیر را در یک زمان مشخص نشان می دهند.

در رابطه فوق ماتریس A s 


برابر با مقدار زیر خواهد بود:

در متن اصلی مقاله به هم ریختگی وجود ندارد. برای مطالعه بیشتر مقاله آن را خریداری کنید