مقاله در مورد مشتق

بخشی از مقاله

مقدمه:

شیب خط مماس در روش لایپ نیتز (خط )
مشتق یکی از دو مفهوم اصلی حسابان است که مقدار تغییرات لحظه‌ای تابع را نشان می‌دهد.
تعریف:
مشتق تابعی مانند f، تابع 'f است که مقدارش در x با معادله‌ی زیر تعریف می‌شود:

به شرطی که این حد موجود باشد.
بر طبق این تعریف مشتق مقدار تغییرات مقدار تابع است زمانی که تغییرات به صفر میل می‌کند.
نحوه‌ی نمایش:
مشتق اول یک تابع تک متغیره را می‌توان به صورت‌های زیر نشان داد:
• f'(x)
• f(1)
•
که این نحوه‌ی نمایش را نمایش دیفرانسیلی مشتق می‌نامند.
تاریخچه:
مشتق از مسائل مهم ریاضی است که موضّع آن نیوتن و لایبنیتز بودند و حد مقدمه آن است. نیوتن سرعت لحظه‌ای را به کمک قوانین حدگیری و لایبنیتز شیب خط مماس بر منحنی‌ها را با استفاده از قوانین حدگیری محاسبه کرد و هر یک در حالت کلی به مشتق رسید.

مشتقات مراتب بالاتر:
مشتقات مراتب بالاتر یک تابع از تعریف اصلی مشتق بدست می‌آیند. با مشتق گیری دوباره از مشتق یک تابع به مشتق دوم آن می‌رسیم و به همین ترتیب دیگر مشتق‌های مراتب بالاتر نیز تعریف می‌شوند.
نحوه‌ی نمایش
مشتقات مراتب بالاتر (مشتق مرتبه دوم، سوم و چهارم) تابع f را می‌توان به دو صورت زیر نمایش داد:
• f'' و f''' و f''''
• f(2) و f(3) و f(4)
تابع مشتق‌پذیر در یک نقطه:
اگر مشتق تابع f در نقطه‌ای مانند x موجود و معین باشد، گفته می‌شود که تابع f در نقطه‌ی x مشتق‌پذیر است.

تابع مشتق‌پذیر:
اگر تابعی در هر نقطه از دامنه‌اش مشتق‌پذیر باشد، تابع مشتق‌پذیر نامیده می‌شود.
شرایط مشتق‌پذیری:
برای اینکه تابعی در یک نقطه مانند x مشتق‌پذیر باشد، باید در یک همسایگی آن تعریف شده باشد و نیز در آن نقطه پیوسته باشد. یا به عبارتی تابع در آن نقطه هموار باشد.
مشتق یکی از مهمترین مفاهیم ریاضی است. بوسیله مشتق میتوان برخی از مفاهیم فیزیکی (مانند سرعت و شتاب)با تعاریف ریاضی بیان نمود.
ااگر منحنی یک تابع را در فضای دو بعدی در نظر بگیریم بوسیله مشتق میتوانیم شیب خط مماس بر منحنی را در هر نقطه دلخواه بدست آوریم.همچنین با استفاده از مشتق میتوان خواص هندسی منحنی یک تابع مانند تقعر و تحدب را مشخص کرد.
البته باید به این نکته توجه کرد که هر تابعی در هر نقطه نمیتواند مشتق داشته باشد و به طور کلی مشتق پذیری یک تابع در یک نقطه شرایط خاصی میطلبد.
مشتق گیری و مشتق پذیری :
در گذشته های نه چندان دور، مشتق یک تابع را به صورت زیر نشان می دادند:

که در این فرمول نشان دهنده میزان تغییرات یک کمیت است. ولی در حال حاضر برای محاسبه مشتق توابع،بیشتر از فرمول زیر استفاده میکنند:

معمولا از نمادهای زیر برای نشان دادن مشتق تابع f نسبت به متغیر x، استفاده میکنند:

یک تابع را در نقطه ای مانند x مشتق پذیر گویند اگردر آن نقطه مشتق موجود باشد. و برای مشتق پذیری تابع در یک بازه لازم است تابع در هر نقطه دلخواه از بازه مشتق پذیر باشد.اگر تابع در نقطه ای مانند c پیوسته نباشد آنگاه در c نمیتواند مشتق پذیر باشد.البته لازم به ذکر است که پیوستگی در یک نقطه وجود مشتق را تضمین نمیکند.مشتق یک تابع مشتق پذیر میتواند خود نیز مشتق پذیر باشد،که به مشتق آن مشتق دوم تابع گویند.مشتق مراتب بالاتر نیز به همین ترتیب تعریف میشوند.

بررسی مشتق از نظر هندسی :
از نظر هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه دلخواه ،شیب خط مماس بر منحنی در آن نقطه است.البته پیدا کردن مستقیم شیب خط مماس در یک نقطه کار دشواری است.زیرا فقط مختصات یک نقطه از خط مماس را داریم.(برای پیدا کردن شیب یک خط از مختصات دو نقطه بر روی خط استفاده میکنیم)برای حل این مشکل از یک خط متقاطع استفاده کرده و این خط را به خط مماس نزدیک میکنیم.برای درک بهتر موضوع به شکل مقابل توجه نمایید.در این شکل خط متقاطع با رنگ بنفش و خط مماس با رنگ سبز مشخص شده است و عددی که در تصویر تغییر میکند نشان دهنده شیب خط متقاطع میباشد. حال از دیدگاه ریاضی این روش را بیان میکنیم:
از دیدگاه ریاضی بدست آوردن مشتق با حدگیری از شیب خط قاطع که به خط مماس نزدیک

شده است بدست می آید.پیدا کردن شیب نزدیکترین خط متقاطع به خط مماس با استفاده از کوچکترین h در فرمول زیر حاصل میشود:

در این فرمول h به عنوان کوچکترین تغییر متغیر x تعریف میشودو میتواند مقدار مثبت یا منفی اختیار کند. در این فرمول شیب خط با استفاده از نقاط و حاصل میشود.واضح است که در این روش فقط یک نقطه روی خط برای ما معلوم است و نیازی برای بدست آوردن نقطه دوم روی خط وجود ندارد.همچنین در این روش مشتق x ،حاصل حد زیر است:

ارتباط مشتق با علم فیزیک :
مشتق نقش مهمی در تعریف برخی ار کمیتهای فیزیک حرکت دارد.ما با داشتن موقعیت اجسام بر حسب زمان میتوانیم سرعت و شتاب آنها را محاسبه کنیم.اگر ما از معادله مکان جسم بر حسب زمان مشتق بگیریم معادله سرعت بدست میآید و اگر از معادله سرعت مشتق گیری نماییم(مشتق دوم معادله مکان)معادله شتاب حاصل میشود.

نقاط بحرانی :
نقاطی از تابع که به ازای آنها مشتق تابع تعریف نشده و یا برابر صفر باشد را نقاط بحرانی مینامند.اگر مشتق دوم در یک نقطه بحرانی مثبت باشد،آن نقطه مینیمم نسبی است.و اگر منفی باشدماکزیمم نسبی است،و اگر برابر صفر باشد ممکن است ماکزیمم و مینیمم نسبی نباشد.مشتق گرفتن و بدست آوردن نقاط بحرانی،اغلب ساده ترین راه برای پیدا کردن مینیمم و ماکزیمم نسبی است.(در بهینه سازی نیز این روش بسیار مفید است.به طور کلی مینیمم و ماکزیمم نسبی فقط میتوانند جزئ نقاط بحرانی باشند.
تجزیه و تحلیل نمودارها :
مشتق ابزار مناسبی برای آزمودن نمودار تابع است. نقاطی از دامنه تابع که به ازای آنها مشتق اول برابر صفر شود میتوانند نقاط اکسترمم نسبی تابع باشند.البته باید توجه کرد که تمام نقاط بحرانی نقاط اکسترمم نسبی نیستند.برای مثال تابع یک نقطه بحرانی در x=0 دارد، ولی میتوان از نمودار تابع متوجه این نکته شد که تابع در این نقطه دارای ماکزیمم یا مینیمم نسبی نیست.
آزمون مشتق اول و آزمون مشتق دوم ، روش هایی را برای تشخیص نقاط ماکزیمم و مینیمم نسبی فراهم میکند.لازم به ذکر است در فضاهای چند بعدی نقاط اکسترمم را با استفاده از مشتقات جزئی بدست میآورند.
تابعیت ضمنی :
بیشتر معادلات ، معادلاتی دارند که y را بطور صریح بر حسب x بیان می‌کند. اما غالبا به معادلاتی بر می‌‌‌‌‌‌خوریم که y را بطور صریح بر حسب x به دست نمی‌دهند. در عین حال ، هر یک از این معادلات رابطه‌‌ای بین y و x تعریف می‌کنند. وقتی عدد معینی از دامنه مناسبی به جای x قرار گیرد، معادله حاصل یک یا چند مقدار برای y بدست می‌دهد. می‌توان جفتهای y و x حاصل را در صفحه مشخص و نمودار معادله را رسم کرد. نمودار معادله دلخواهی چون f(x,y) = 0 برحسب x و y ممکن است نمودار تابعی مانند y = f(x نباشد، زیرا شاید برخی از خطوط قائم آن را بیش از یک بار قطع کنند. با وجود این بخشهای مختلفی از خم f(x,y) = 0 می‌توانند نمودار تابعی از x باشن

د.

نمودار x2+y2-1 = 0 دایره‌‌‌ x2+y2 = 1 است کل این دایره نمودار هیچ تابعی از x نیست به ازای هر x واقع در بازه (1و1-) ، دو مقدار y بدست می‌آیند:

y = √1-x2 و y = - √1-x2</SUP< div>
با وجود این نیم دایره‌های بالایی و پایینی نمودار توابع f(x) = √1-x2 و g(x) = √1-x2 هستند. هرگاه x بین 1 و -1 باشد، جفتهای (x,√1-x2) و (x,-√1-2) در معادله x2 + y2 = 1 صدق می‌کنند. همانطور که مشاهده می‌شود توابع g و f به ازای x بین 1 و -1 مشتق پذیر نیز هستند، چون نمودارهای آنها در x=±1 مماس قائم دارند، این توابع در این نقاط مشتق پذیر نیستند.
یک سوال راهگشا برای درک مشتقگیری ضمنی
چه موقع می‌توان انتظار داشت که توابع مختلف (y=f(x که با رابطه f(x,y)=0 تعریف می‌شوند مشتقپذیر باشند؟

• پاسخ: هنگامی که نمودار رابطه به اندازه کافی هموار باشد تا در هر نقطه آن خطی مماس وجود داشته باشد، از جمله این موارد وقتی است که فرمول F ترکیبی جبری از توانهای y,x باشد. برای محاسبه مشتق توابعی که بطور ضمنی تعریف می‌شوند، Y را به عنوان تابعی هر چند ناشناخته ، مشتق پذیر از x در نظر می‌گیریم و از دو طرف معادله نسبت به x مشتق می‌گیریم. این روش را مشتق گیری ضمنی می‌نامند. کاربردها
• مشتقگیری ضمنی ، مشتق از مراتب بالا را هم بدست می‌دهد.
• کاربرد برای پیدا کردن خط مماس: همانگونه که قبلا دیدیم مشتقگیری ضمنی معمولا dy/dx را بر حسب هم x و هم y بیان می‌کند. در این گونه موارد برای محاسبه شیب خم در نقطه معلومی چون (x1,y1) ، باید در عبارت نهایی dy/dx مقادیرx1وy1را قرار دهیم.
• کاربرد در پیدا کردن خطهای قائم بر خم: در قانونی که چگونگی تغییر جهت نوری را که از سطح یک عدسی می‌گذرد توصیف می‌کند، زاویه‌های مهم زوایایی هستند که نور در نقطه ورود با خط عمود بر سطح می‌‌سازد. این خط را خط قائم در نقط ورود می‌نامند. در حساب دیفرانسیل و انتگرال ، بنا به تعریف خط قائم بر یک خم مشتقپذیر در نقطه‌ای چون P صرفنظر از اینکه خم ، نمایش سطح چه چیزی باشد، خط عمود بر مماس بر خم در P است. .. وقتی بدانیم که تابعی در هر نقطه از بازه‌ای مشتق دارد، بنابر قضایای مشتق خواهیم دانست که تابع در سراسر آن بازه پیوسته است و نمودارش در آن بازه قطع شدگی ندارد. مثلا نمودارهای توابع مشتقپذیر y=Sin x همانند نمودار چند جمله‌ایها ، هر چه ادامه بیابند قطع نمی‌شوند. نمودارهای y = tan x و y = 1/x2 صرفا در نقاطی که توابع مربوط تعریف نشده هستند قطع می‌شوند. بر بازه‌ای که این نقاط را شامل نباشند توابع مزبور مشتق پذیرند؛ و بنابراین پیوسته‌اند و نمودارهایشان قطع شدگی ندارد. اگر بدانیم مشتق تابعی کجا مثبت و کجا منفی و کجا صفر می‌باشد، آنگاه می‌توانیم درباره شکل نمودار آن تابع اطلاعاتی بدست آوریم. با دانستن این مطلب می‌توان مشخص کرد که نمودار در کجا بالا می‌رود ، پایین می‌آید یا مماس افقی دارد.

تایعی چون (y = f(x را سراسر یک بازه I صعودی می‌گویند. هرگاه با افزایش y , x هم زیاد شود ؛ و در سراسر I نزولی گویند هرگاه با افزایش x و y کاهش یابد. وقتی x در I از چپ به راست حرکت می‌کند نمودار یک تابع صعودی ، خیز بر می‌دارد و نمودار یک تابع نزولی افت می‌کند. صعود یک تابع با مشتقهای مثبت همراه است و نزول تابع با مشتقهای منفی. بنابراین اگر ´f در هر نقطه از یک بازه I مثبت لاشد آنگاه f بر I صعود می کند. و اگر ´f در هر نقطه I منفی باشد، آنگاه f بر I نزول می‌کند. این واقعیتها را به عنوان آزمون مشتق اول برای صعودی و نزولی بودن می‌پذیریم. آزمون مشتق اول به زبان هندسی حاکمی است که توابع مشتقپذیر بر بازه‌هایی صعود می‌کنند که نمودارشان شیب مثبت داشته باشند و بر بازه‌هایی نزول می کنند که نمودارشان شیب منفی داشته باشند
موارد استعمال مشتق :
مشتق کاربردهای بسیار وسیعی دارد که در زیر نمونه‌های مهمی را ذکر می‌کنیم.

پیدا کردن شیب خط :
پیدا کردن خطی که دریک نقطه بر یک منحنی مماس یا عمود است. برای معادله خط (y=f(x ، شیب خط قاطع برابر است با: m ، m=tanθ را شیب یا ضریب زاویه‌ای می‌گویند. خطی که بر مماس بر منحنی عمود شیب خط قائمباشد، خط قائم بر منحنی می‌نامیم. بنابراین اگر m≠0 شیب خط مماس و m بر منحنی باشد، آنگاه داریم: = -1m.m