بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
طراحی کنترلر PID برای سیستم پاندول معکوس با استفاده از الگوریتم ملکه زنبور عسل
خلاصه
در این مقاله یک کنترلر PID را با استفاده از الگوریتم ملکه زنبورعسل طراحی میکنیم که در این طراحی سعی شده است که پاسخ حالت گذرا با استفاده از مینیمم کردن ماکزیمم فراجهش ، و زمان نشست و زمان صعود و انتگرال قدر مطلق خطای پاسخ پله به حداقل برسند. برای این منظور یک تابع هزینه با ترکیب مشخصات بالا در نظر گرفته شده است و این تابع در الگوریتم یاد شده مینیمم میگردد . پارامترهای کنترلر ژن های کروموزوم ها را در جمعیت تشکیل می دهند . در این مقاله ، تابع تبدیل سیستم پاندول معکوس لحاظ شده و الگوریتم پارامتر های یاد شده را که از نتیجه سیستم کنترل شده دریافت و تابع هزینه رو محاسبه می کند و بر اساس این تابع هزینه پارامتر های کنترلر بهینه رو تعیین می کند.
کلمات کلیدی: کنترلر PID ، الگوریتم ملکه زنبور عسل ، پاندول معکوس .
.1مقدمه
کنترلر PID به دلیل ساده بودن و کارایی بالای آن به طور وسیع مورد استفاده قرار می گیرد . برای طراحی کنترلر PID سه پارامتر باید تعیین مقدار شوند. این سه پارامتر عبارتنداز : بهره تناسبی : Kp ، بهره مشتقی : Kd ، و بهره انتگرالی . Ki روش سنتی طراحی با استفاده از روش سعی و خطا است. از معایب این روش ، پیچیدگی و زمان بر بودن آن می باشد. روش های جدید برای طراحی کنترلر PID، روش های تکاملی هستند که بعضی از َآنها عبارتند از : الگوریتم ژنتیکی پیوسته ، الگوریتم ژنتیکی باینری، الگوریتم مورچه گسسته و پیوسته ، الگوریتم پرندگان گسسته و پیوسته ،الگوریتم استعماری و الگوریتم ملکه زنبور عسل .
در این تحقیق ، ما مسئله طراحی کنترلرPID را تبدیل به یک مسئله بهینه سازی نموده و از الگوریتم ملکه زنبورعسل برای مینیمم سازی یک تابع هدف استفاده کرده ایم که همزمان هر چهار پارامتر های یاد شده را مینیمم می کند.کنترلر PID ابتدا با استفاده از الگوریتم ملکه زنبورعسل طراحی میشودسپس از این کنترلر جهت کنترل سیستم پاندول معکوس استفاده خواهد شد . در سیستم شبیه سازی شده پاندول معکوس یک کنترلر PID با پارامتر های عمومی کنترلر میشود سپس با داده های الگوریتم کنترل می شود سپس نتیجه مقایسه خواهد شد .
این مقاله شامل بخش های زیر است : بخش دوم معرفی الگوریتم ملکه زنبورعسل در بخش سوم به معرفی پاندول معکوس و تابع تبدیل سیستم می پردازیم بخش چهارم معرفی کنترلر PID و طراحی آن به کمک الگوریتم مورد بحث قرار می گیرد ، در و در بخش پنجم به کنترل پاندول معکوس به کمک کنترلر طراحی شده را بیان می کنیم .
.2معرفی الگوریتم ملکه زنبور عسل
الگوریتم های تکاملی (EA) به عنوان الگوریتم بهینه سازی که توانایی پیدا کردن راه حل های نزدیک به بهینه برای مسائل عددی و real -valued test ها (که در عمل راه حل های بهینه با زمان محاسباتی معقول برای آنها وجود ندارد) شناخته شده اند.[1,2] هوش دسته جمعی یک شاخه جدید الگوریتم های تکاملی بوده و ملهم از رفتار دسته جمعی کولونی حشرات اجتماعی یا حیوانات اجتماعی هوش دسته جمعی نامیده می شود.الگوریتم ژنیتیکی پیوسته قدیمی ترین نوع الگوریتم های تکاملی میباشند که به طور وسیع برای حل مسائل بهینه سازی مورد استفاده قرار گرفته شده است. این الگوریتم برای اولین بار توسط جان هولند در سال 1975 میلادی مطرح شد. اما الگوریتم زنبور عسل بسیار جدید بوده و برای اولین بار در سال 2001 میلادی مطرح شده است.قابلیت استفاده ازاین الگوریتم در حل مسائل خاص ، کاربرد های آن را بسیار متنوع نموده است که از آن جمله به بهینه سازی توابع چند متغیره[3] و بهینه سازی توابع با قیود غیر خطی[4] و خوشه بندی[5] و آموزش شبکه عصبی LVQ [6] استفاده شده است.
الگوریتم زنبورعسل به دو نوع تقسیم میشود : – 1 الگوریتم کولونی زنبور عسل – 2 الگوریتم ملکه زنبور عسل ، در این مقاله از نوع الگوریتم ملکه زنبور عسل استفاده خواهیم کرد . الگوریتم ملکه زنبورعسل مفاهیم مشترک با الگوریتم مشهور و شناخته شده ژنتیک دارد از جمله : ژن ، کروموزم ، اپراتور ، اپراتور جهش .[7] در الگوریتم ژنتیک معمولی افراد بر اساس تابع هزینه مرتب و بدترین آنها دور ریخته می شد . سپس افرا باقی مانده جهت تولید فرزند استفاده می شدند. ولی در الگوریتم ملکه زنبور عسل فقط ملکه با تعدادی از افراد که پدر هستند با استفاده از اپرتور Crossover فرزندان مختلف را تولید می کند.[8]این عملیات باعث میشود تعداد ازدواج ها بسیار کمتر شود و در نتیجه سرعت الگوریتم ملکه زنبور عسل نسبت به الگوریتم ژنتیک بسیار بالا باشد. اما سرعت زیاد همگرایی باعث بوجود آمدن پدیده همگرایی زودرس میشود. در پدیده همگرایی زودرس الگوریتم به جای پیدا کردن جواب اپتیمم، به یک مینیمم محلی همگرا خواهد شد واین یک معایب است . برای حل این مشکل دو نرخ جهش نرمال و نرخ جهش قوی را در نظر می گیرم که احتمال نرخ جهش نرمال کوچکتر است از احتمال نرخ جهش قوی است. (جهش نرمال با احتمال ,Pm جهش قوی با احتمال (P’m وجود این دو نرخ جهش باعث بیشتر شدن تنوع در فرزندان شده و از همگرایی زودرس جلوگیری میکند. نسبت این دو احتمال برابر پارامتر ζ تعریف می شود.
کد الگوریتم ملکه زنبور عسل به صورت زیر است : [9]
.3معرفی پاندول معکوس و تابع تبدیل سیستم
پاندول معکوس عبارت است از یک آونگ معکوسی که بر روی یک گاری نصب شده که فضای حرکتی گاری در جهت محور X و فضای حرکتی آونگ در جهت θ می باشد . حال باید گاری به گونه ای حرکت کند که آونگ به صورت معکوس ، ثابت نگه داشته باشد.
برای بدست آوردن تابع تبدیل سیستم ، پاندول و گاری را به صورت جداگانه مورد بررسی قرار می دهیم[10]
M جرم گاری 0 ,5 کیلوگرم ، m جرم آونگ 0,2 کیلوگرم، نیروی اصطکاک گاری 0,1 ، طول L از مرکز آونگ و جرم آونگ 0,3 مولار، I اینرسی آونگ 0,006 کیلوگرم * متر 2 ^ ، F نیروی اعمال شده به گاری و x مکان گاری ، ما فرض کنیم که سیستم از حالت تعادل شروع به حرکت می کند، نیروی ضربه 1 N آونگ باید در عرض 5 ثانیه به حالت عمودی خود بازگردد ، زاویه آونگ بیش از 0,05 عمودی رادیان نباید باشد ،حال تابع تبدیل سیستم را بدست می آوریم :
ابتدا اولین معادلات حرکت برای گاری و پاندول برای نیرو های افقی وارد حساب می کنیم: نیروی F رو در گاری برابر است با :
نیروی های وارده در پاندول معکوس :
با جایگزاری دو رابطه بالا داریم :
دومین رابطه معادلات حرکت برای گاری و پاندول برای نیروهای عمودی وارد را حساب می کنیم :
جمع نیروهای وارده بر مرکز پاندول :
از دو معادله قبلی معادله زیر حاصل میشود
از (1) و (2) داریم :
تابع تبدیل :
