بخشی از مقاله
منابع:
1- ديناميك جلد اول- تاليف جي. ال. مريام/ ال. جي. كريگ. ترجمه دكتر سعيد محجوب مقدس
2- كتاب دوره‌ي مفهومي فيزيك، تاليف محمد مهدي شيخ جباري
فهرست مطالب
عنوان صفحه
1) مقدمه اي بر ديناميك 1
1/1) تاريخچه و كاربردهاي جديد 1
2/1) مفاهيم اساسي 3
3/1) قوانين نيوتن 5
4/1) جاذبه 10
5/1) نيروي كشش فنر 10
6/1) نيروي كشش نخ 11
7/1) نيروي عكس العمل سطح 11
8/1) نيروي اصطكاك 12
9/1) ابعاد (ديمانسيونها) 13
2) به كار بردن معادلات نيوتن براي حل مسائل 15
1/2) مسائلي كه در آنها چند نيرو به جسم وارد مي‌شود 15
معادلات نيوتن 16
معادلات نيوتن 18
حل معادلات 18
2/2) قيود حركت و درجات آزادي 19
معادلات نيوتن 21
3/2) معادله‌ي نيوتن براي ناظر غيرلخته نيروي مجازي 22
علم ديناميك شاخه‌اي از مكانيك است كه در مورد حركت اجسام در اثر اعمال نيرو بحث مي‌كند. معمولاً در مهندسي، ديناميك پس از استاتيك مورد مطالعه قرار مي گيرد و موضوع آن تاثير نيروها بر اجسام ساكن است. ديناميك داراي دو بخش مجزا مي باشد: سينماتيك، كه عبارت از مطالعه حركت بدون در نظر گرفتن عامل آن يعني نيرو است و سينتيك، علمي است كه نيروهاي وارد بر جسم را به حركت ناشي از آنها ارتباط مي دهد. دانشجوي مهندسي در مي يابد كه درك كامل ديناميك، او را به يكي از مفيد ترين و قوي ترين ابزرهاي تحليل در مهندسي تجهيز مي كند.
موضوع علم ديناميك در مقايسه با استاتيك از نظر تاريخي، نسبتا جديد است. شروع درك ديناميك با استفاده از اصول استدلالي به گاليله (1642- 1564) نسبت داده مي شود كه در مورد سقوط آزاد اجسام، حركت روي سطح شيبدار و حركت پاندول مشاهدات دقيقي را انجام داد. وي در زمينه ارائه روشي علمي براي تحقيقات ودر مسائل فيزيكي مسئوليت بزرگي را متحمل شده است.گاليله به جهت نپذيرفتن اعتقادات زمان خود كه مبتني بر فلسفه ارسطويي بود، مثلاً اين عقيده كه اجسام سنگين‌تر سريعتر از اجسام سبك تر سقوط مي كنند پيوسته مورد انتقاد شديد قرار داشت. فقدان روشهاي دقيق براي اندازه گيري زمان از موانع جدي گاليله بود و پيشرفتهاي مهم بعدي در ديناميك در انتظار اختراع ساعت پاندولي توسط هويگنس در سال 1657 بود.
نيوتن (1727- 1642) بر اساس تحقيقات گاليله توانست فرمولهاي دقيقي را براي قوانين حركت ارائه كند و در نتيجه، ديناميك را در جايگاه استواري قرار دهد. كار مشهور نيوتن در اولين ويرايش كتابش با عنوان اصول منتشر شد، كه معمولاً از آن به عنوان يكي از بزرگترين مقالات علمي ثبت شده ياد مي‌شود. نيوتن علاوه بر بيان قوانين حاكم بر حركت ذرات اولين كسي بود كه قانون جاذبه عمومي را به طور صحيح فوموله كرد. با اينكه توصيف رياضي او دقيق بود، او حس مي‌كرد كه انتقال خارجي نيروي جاذبه بدون پشتيباني يك واسطه كار بيهوده اي است. دانشمنداني كه پس از دوره نيوتن مشاركت‌هاي مهمي در توسعه علم مكانيك داشتند عبارتند از: اولر، دالامبر، لاگرانژ، لاپلاس،پوآنسو، كوريوليس، انيشتين و ديگران
از نظر كاربردهاي مهندسي ديناميك علم جديدتري است. فقط از زماني كه ماشينها و سازه هايي با سرعت زياد و شتاب هاي قابل توجه به كار افتاده اند محاسبات بر اساس اصول ديناميك در مقايسه با اصول استاتيك ضروري تر شد. امروزه رشد سريع تكنولوژي افزايش كاربردهاي اصول مكانيك به ويژه ديناميك را طلب مي‌كند. اين اصول مبناي تحليل و طراحي سازه هاي متحرك، سازه هاي ثابت با بار ضربه اي، رباتها، سيستمهاي كنترل اتوماتيك، راكتها، موشكها، فضاپيماها، وسايل حمل و نقل زميني و هوايي، بالستيك الكترونيكي در دستگاههاي الكتريكي، و انواع ماشينها نظير توربينها، پمپها، موتورهاي پيستوني، بالابرها، ماشينهاي ابزار و غيره مي‌باشد. دانشجوياني كه به يك و يا چند مورد از فعاليتهاي مذكور علاقه مند هستند، نياز مستمر به كارگيري اصول و مباني ديناميك را در خواهند يافت.
فضا ناحيه هندسي اشغال شده توسط جسم مي باشد. موقعيت در فضا بوسيله اندازه‌گيري‌هاي خطي و زاويه اي نسبت به سيستم مرجع هندسي تعيين مي شود. چارچوب اساسي سيستم مرجع در قوانين مكانيك نيوتن عبارت است از سيستم اينرسي اصلي يا دستگاه مرجع نجومي، كه سيستم مختصاتي مجازي با محورهاي متعامد مي‌باشد و فرض مي شود كه هيچگونه انتقال يا دوراني در فضا نداشته باشد. اندازه‌گيري‌ها نشان مي دهند كه اعتبار قوانين مكانيك نيوتني در اين سيستم مختصات تا هنگامي است كه سرعتها در مقايسه سرعت نور كه برابر km/s 000،300 يا mi/s 000،186 مي باشد قابل صرفنظر كردن باشند. به اندازه گيري هايي كه نسبت به اين دستگاه صورت مي گيرند مطلق گفته مي شود و اين سيستم مرجع در فضا «ثابت» در نظر گرفته مي شود. دستگاه مرجع الصاقي به سطح زمين داراي حركت پيچيده اي در سيستم مرجع اصلي است و بنابراين بايد بر مبناي اندازه گيريهاي انجام شده در دستگاه مرجع روي زمين، تصحيحاتي در معادلات اساسي مكانيك صورت گيرد. مثلاً حركت مطلق زمين در محاسبه مسير راكتها و پروازهاي فضايي پارامتر مهمي محسوب مي‌شود. در بيشتر مسائل مهندسي مربوط ب ماشينها و سازه هايي كه بطور ثابت در سطح زمين مستقر شده اند، تصحيحات فوق الذكر كوچك بوده و مي توان از آن صرفنظر كرد. در چنين مسائلي قوانين مكانيك را مي توان مستقيما در اندازه گيريهاي انجام شده نسبت به زمين بكار برد، كه در عمل چنين اندازه گيريهاي مطلق تلقي مي شوند.
زمان عبارت است از سنجش وقايع متوالي كه در مكانيك نيوتني به عنوان كميت مطلق در نظر گرفته مي شود.
جرم عبارت از سنجش كمي اينرسي يا مقاومت در مقابل تغيير حركت يك جسم است. همچنين جرم را مي توان كميت مادي موجود در يك جسم در نظر گرفت كه سبب جاذبه مي شود.
نيرو بردار عمل يك جسم بر جسم ديگر است. خواص نيروها در كتاب استاتيك به طور كامل مورد بحث قرار گرفته است.
ذره جسمي است با ابعاد ناچيز. همچنين هنگامي كه ابعاد جسمي در توصيف حركت آن يا عمل نيروهاي وارد بر آن بي تاثير باشند با آن مي توان بصورت يك ذره برخورد كرد. مثلاً براي توصيف مسير پرواز هواپيما مي توان آن را بصورت يك ذره در نظر گرفت.
جسم صلب جسمي است كه تغيير شكل آن در مقايسه با ابعاد كلي و يا تغيير مكان جسم به عنوان يك كل ناچيز باشد. به عنوان مثال از فرض صلبيت مي توان حركت خمشي كوچك لبه بال هواپيماي در حال پرواز در يك هواي آشفته را در توصيف حركت كلي هواپيما در سراسر مسير پروازش كاملا بي تاثير دانست. به همين جهت اين فرض كه هواپيما يك صلب است هيچگونه مشكلي ايجاد نمي كند. از طرفي، اگر منظور مسئله يافتن تنشهاي داخلي موجود در بال در اثر تغيير بارهاي ديناميكي باشد، در آن صورت بايد مشخصات تغيير شكل سازه در نظر گرفته شود، و به همين دليل هواپيما را نمي توان بصورت جسم صلب در نظر گرفت.
بردار و اسكالر كميتهايي هستند كه در كتاب استاتيك مورد بحث بسيار قرار گرفته اند و اكنون بايد فرق آنها را به روشني مشخص كرد. كميتهاي اسكالر با حروف نازك و كميتهاي برداري با حروف سياه نشان داده مي شوند. در نتيجه v اندزه اسكالري بردار v است. بنابراين استفاده از علائم خاص بسيار مهم است، مثلاً خط تيره زيرين در v كه در نوشتن تمام بردارها مي توان آن را جايگزين حروف چاپي سياه كرد. براي دوبردار غير موازي، بايد به خاطر داشت كه V1+V2 و V1+V2 داراي دو مفهوم كاملا متفاوت مي‌باشند.
در ديناميك مشتقات بردار و اسكالر نسبت به زمان اغلب مورد استفاده قرار مي گيرد. اكثرا براي تسريع در نوشتن، جهت بيان مشتق نسبت به زمان يك كميت، از يك نقطه در بالا استفاده مي شود. بنابراين، به معناي و به مفهوم d2x/dt2 مي باشد.
قانون اول: تا هنگامي كه نيروي نامتوازني به يك ذره اثر نكند يا ساكن مي ماند و يا به حركت مستقيم الخط با سرعت ثابت ادامه مي دهد.
قانون دوم: شتاب يك ذره متناسب با برآيند نيروهاي وارد بر آن بوده و در جهت اين نيرو مي باشد.
قانون سوم: نيروهاي عمل و عكس العمل ميان اجسام عمل كننده با تاثير متقابل، از نظر اندازه، مساوي و در جهت مخالف يكديگر بوده و هم راستا هستند.
درستي اين قوانين با اندازه گيريهاي فيزيكي فراوان به اثبات رسيده است. در قانون اول و دوم براي اندازه گيريهايي كه در دستگاه مرجع مطلق انجام گرفته صادق است، اما هنگامي كه همانند دستگاه الصاقي به سطح زمين، حركت نسبت به دستگاه مرجعي صورت مي گيرد كه خود داراي شتاب است، بايد تصحيحاتي انجام شود.
قانون دوم نيوتن مبناي اكثر تحليلهاي ديناميكي را تشكيل مي دهد. اين قانون براي ذره‌اي به جرم m كه تحت تاثير نيروي برآيند F قرار گرفته، چنين بيان مي شود:
F = ma
كه در آن a شتاب برآينده اندازه گيري شده در دستگاه مرجع بدون شتاب مي باشد. قانون اول نيوتن نتيجه قانون دوم است زيرا هنگامي كه نيرو صفر باشد هيچگونه شتابي وجود ندارد و ذره يا در حال سكون است و يا با سرعت ثابت حركت مي نمايد. قانون سوم نيوتن بيانگر اصل عمل و عكس العمل است كه ما مي بايست در مسائل استاتيك با آن كاملا آشنا باشيم.
قانون جاذبه نيوتن كه بر جاذبه متقابل بين دو جسم حاكم است بصورت زير مي باشد:
كه در آن:
F = نيروي جاذبه متقابل بين دو ذره
G = ثابت جهاني موسوم به ثابت جاذبه
m1, m2 = جرم دو ذره
r = فاصله بين مراكز ذرات
مقدار عددي ثابت جاذبه از روي آزمايش برابر G= 6/673 (10-11) m3/ (kg.s2) بدست آمده است. تنها نيروي جاذبه‌اي كه بزرگي آن قابل توجه است نيروي ناشي از جاذبه زمين مي‌باشد. مثلاً دو كره آهني به قطر mm 100 ، با نيروي جاذبه N 1/37 به سمت زمين جذب مي شوند، كه وزن ناميده مي شود، اما هنگامي كه كاملا به هم نزديك باشند نيروي جاذبه متقابل بين آنها برابر تا N 0000000951/0 مي شود.
چون جاذبه ثقلي يا وزن جسم از جنس نيرو بنابراين بايد هميشه بر حسب واحدهاي نيرو يعني نيوتن (N) در سيستم SI و پوند نيرو ( lb) در سيستم آمريكايي بيان شوند. متاسفانه در كارهاي روزمره واحد جرم يعني كيلوگرم بطور گسترده‌اي براي اندازه‌‌گيري وزن بكار مي رود. هنگامي كه «وزن» بر حسب كيلوگرم بيان مي شود، معناي فني آن جرم خواهد بود.
نيروي جاذبه‌اي كه از طرف زمين به جسم وارد مي شود بستگي به موقعيت جسم نسبت به زمين دارد. اگر زمين يك كره كامل با همان حجم مي بود در آن صورت جسمي به جرم دقيقا 1kg با نيروي برابر با N 825/9 در ارتفاع 1kg ، با نيروي N 523/9 در ارتفاع km 100 ، با نيروي N 340/7 در ارتفاع km 1000، و با نيروي N 456/2 در ارتفاعي برابر با شعاع متوسط زمين (km 6371 ) به سمت زمين جذب مي شد. كاملا واضح است كه براي راكتها و فضاپيماهائي كه در ارتفاع بالا حركت مي كنند، تغييرات جاذبه از اهميت ويژه اي برخوردار مي شود.
هر شيئي كه از نزديك سطح زمين سقوط كند همان شتاب g را خواهد داشت . اين مطلب را مي توان با تركيب معادله 1/1 و 2/1 و حذف جرم شئي در حال سقوط يافت. نتيجه تركيب اين معادلات چنين است
كه me جرم زمين و R شعاع آن مي باشد. جرم me و شعاع متوسط R زمين از طريق آزمايش به ترتيب برابر 6/371 (106) m, 5/976 (1024) kg بدست آمده اند. پس از جايگزيني اين مقادير به همراه مقدار G در رابطه مربوط به g، مقدار متوسطي برابر با g=9/825 m/s2 بدست مي آيد.
در تعيين شتاب جاذبه از روي قانون آن،از محورهايي استفاده مي شود كه در مركز زمين قرار داشته و بدون دوران مي باشند. در اين صورت با «ثابت» بودن محورها، اين مقدار برابر با مقدار مطلق g خواهد بود. با توجه به اين واقعيت كه زمين در حال چرخش است، شتاب سقوط آزاد يك جسم كه از سطح زمين اندازه گيري مي شود قدري كمتر از مقدار مطلق آن است. اندازه گيري مقادير دقيق شتاب جاذبه نسبت به زمين بر اساس اين واقعيت صورت مي گيرد كه زمين شبه كره دواري است كه در قطبها فشرده و نيز مسطح است. اين مقادير را مي توان با دقتي بالا از فرمول بين المللي جاذبه كه در سال 1980 ارائه شده بدست آورد كه چنين است:
g= 9/780327 (1+0/005279 sin2y + 0/000023 sin4 y + …)
كه در آن yعرض جغرافيايي و g بر حسب متر بر مجذور ثانيه بيان شده است. اين فرمول بر اساس يك مدل بيضي وار از زمين ارائه شده و همچنين اثر دوران آن را در بر دارد. در تعيين شتاب مطلق ناشي از جاذبه براي زمين غير دوار، مي توان عبارت 3/382(102) cos2 y m/s2 را به فرمول فوق افزود و آن را با تقريب خوبي محاسبه كرد، كه به اين ترتيب اثر دوران زمين از بين مي رود. در شكل 1/1 تغييرات مقادير مطلق و نسبي g با عرض جغرافيايي در شرايط آزاد دريا با هم نشان داده شده اند.
مقدار استاندارد بين المللي براي شتاب جاذبه نسبت به زمين دوار در سطح آزاد دريا و عرض جغرافيايي 450 برابر با m/s2 80665/9 و يا ft/sec 1740/32 پذيرفته شده است. اين مقدار اندكي با آنچه كه از فرمول بين المللي جاذبه در 450 y= بدست مي آيد متفاوت است. اين اختلاف كوچك به اين دليل است كه زمين مطابق فرضي كه در فرمول بين‌المللي جاذبه انجام شده كاملا بيضي وار نيست.
