بخشی از مقاله
اقلیدس
مقدمه
كسي كه هندسه نميداند از اين در داخل نشود،
كتيبة سر در روي آكادمي افلاطون
بيشتر مردم نميدانند كه در حدود يك سده و نيم پيش انقلابي در زمينة هندسه روي داد كه از لحاظ علمي به عمق انقلاب كوپرنيكي در نجوم، و از جنبة نتايج فسلفي به اهميت نگرة تكامل داروين بود. كاكستر ، هندسهدان كانادايي مينويسد: «تأثير كشف هندسة هذلولوي در تصوري كه از حقيقت و واقعيت داريم آنچنان عميق بوده است كه بدشواري ميتوانيم تصور كنيم كه امكان وجود هندسهاي غير از هندسة اقليدسي تا چه اندازه در سال 1820 تكان دهنده جلوه كرده است.» اما همة ما امورزه نام هندسة فضا – زمان نگرة نسبيت اينشتاين را شنيدهايم. «در واقع، هندستة پيوستار فضا – زمان به حدي به هندسة تا اقليدسي وابسته است كه آگاهي از اين هندسهها شرط لازم براي درك كامل جهانشناسي نسبيت است.»
هندسة اقليدسي، همان هندسهاي كه شما در دبيرستان خواندهايد، هندسهاي است كه بيشتر براي تجسم جهان مادي به كار ميبريم. اين هندسه از كتابي به نام اصول به دست ما رسيده كه توسط اقليدس، رياضيدان يوناني، در حدود 300 سال پيش از ميلاد مسيح نگاشته شده است. تصوري كه ما براساس اين هندسه از جهان مادي پيدا كردهايم تا حد زيادي به توسط آيزك نيوتن در اواخر سدة هفدهم ترسيم شده است.
هندسههايي كه اقليدسي نيستند از مطالعة عميقتر موضوع توازي در هندسة اقليدسي پيدا شدهاند. دو نيمخط موازي عمود بر پاره خط PQ را در نمودار زير در نظر بگيريد:
در هندسة اقليدسي فاصلة (عمودي) بين دو نيمخط هنگامي كه به سمت راست حركت ميكنيم همواره مساوي فاصلة P تا Q باقي ميماند؛ ولي در اوايل سدة نوزدهم دو هندسة ديگر پيشنهاد شد. يكي هندسة هذلولوي (از كلمة يوناني هيپربالئين به معني «افزايش يافتن») كه در آن فاصلة ميان نيمخطها افزايش مييابد، ديگري هندسة بيضوي (از كلمة يوناني اليپن «كوتاه شدن») كه در آن اين فاصله رفته رفته كم ميشود و سرانجام نيمخطها همديگر را ميبرند. اين هندسههاي نااقليدسي بعدها به توسط ك.ف. گاوس و گ.ف.ب. ريمان در قالب هندسة كليتري بسط داده شدند (همين هندسة كليتر است كه در نگرة نسبيت عام اينشتاين مورد استفاده قرار گرفته است ).
در اين كتاب ما به هندسههاي هذلولوي و اقليدسي خواهيم پرداخت. هندسة هذلولوي تنها به تغيير يكي از اصول اقليدس نياز دارد، و ميتواند به همان آساني هندسة دبيرستاني فهيمده شود. از سوي ديگر، هندسة بيضوي شامل مفهوم توپولوژيك تازة «سوناپذيري» است، زيرا همة نقاط صفحة بيضوي كه بر روي يك خط نيستند در يك طرف آن خط قرار داردند.
از اين هندسه نميشود به همان سهولت هندسة اقليدسي صبحت كرد، زيرا به بسط قبلي هندسة تصويري نياز دارد. بنابراين بحث در بارة هندسة بيضوي را در يك ضميمة كوتاهي انحام دادهام. (اشتباه نشود! منظو ما اين نيست كه ارزش هندسة بيضوي كمتر از ارزش هندسة‌هذلولوي است.) فهم هندسة ريماني مستلزم درك كامل محاسبات ديفرانسيل و انتگرال، و لذا بيرون از ظرفيت اين كتاب است (در ضميمه «ب» مختصري راجع به آن بحض شده است).
فصل اول با تاريخچة مختصري در باب هندسه در دوران قديم آغاز ميشود، و به بيان اهميت بسط روش بنداشتي توسط يونانيان ادامه مييابد. همچنين پنج اصل موضوع اقليدس معرفي و به تلاش لژاندر براي اثبات اصل موضوع پنجم ختم ميشود. براي پيدا كردن نقص برهان لژاندر (و برهانهاي ديگر)، لازم است كه مباني هندسه دو باره دقيقاً مورد بررسي قرار گيرد.
ولي، پيش از آنكه بتوانيم اساساً هندسهاي بنا كنيم، بايد به بعضي از اصول بنيادي منطق آگاهي داشته باشيم. اين اصول در فصل دوم به گونهاي غير رسمي دوباره بررسي شدهاند. در اين فصل عناصر مشكلة يك برهان دقيق را از نظر ميگذرانيم و بويژه به روش اثبات نامستقيم يا برهان خلف تكيه ميكنيم. فصل دوم به مفهوم بسيار مهم الگو براي يك دستگاه بنداشت ختم ميشود، كه با الگوهاي متناهي از بنداشتهاي وقوع نقاط و خطوط در هندسه نشان داده شدهاند.
فصل سوم با بحثي از برخي نقايص در نحوة ارائة هندسه به توسط اقليدس آغاز شده، و اين نقايص با ارائه كامل بنداشتهاي داويد هيلبرت (با اندكي تغيير) و نتايج اولية آنها برطرف شدهاند. ممكن است هنگام اثبات نتايجي كه خودبخود بديهي به نظر ميرسند بيحوصله شويد. اما، هرگاه بخواهيد با اطمينان در فضاي نااقليدسي كشتي برانيد بايد به اين كار اساسي تن درهيد.
مطالعة نتايج بنداشتهاي هيلبرت، جز اصول نوازي، در فصل چهارم ادامه يافته است.
موضوع اين مطالعة هندسة نتاري ناميده شده است. بعضي از قضيههاي اقليدس (مثل قضية زاوية خارجي) را كه شما با آنها آشنايي داريد، با روشي غي از روشهايي كه به توسط اقليدس به كار رفتهاند اثبات خواهيم كرد. اين تغيير به علت شكافهاي منطقي موجود در استدلالاهاي اقليدس لازم بوده است؛ همچنين برخي قضايا را كه اقليدس نميتوانسته است بر آنها واقف باشد (مانند قضية‌ساكري – لژاندر) ثابت خواهيم كرد.
به اتكاي پايههاي محكمي كه در فصول مقدم بر فصل پنجم گذاشته شدهاند، آمادگي خواهيم داشت كه در فصل پنجم چند تلاش مهم را كه براي اثبات اصل توازي صورت گرفتهاند مورد تجزيه و تحليل قرار دهيم (در تمرينات مجال خواهيد داشت كه نقايصي را در تلاشهاي ديگر پيدا كنيد). بر اثر اين مطالعات، شيوة تفكر اقليدسي شما چنان تكان ميخورد كه در فصل ششم ميتوانيم «دنيا شگرف تازه»اي را كشف كنيم، دنيايي را كه در آن مثلثها مجموع زواياي «نادرست» دارند، مستطيل وجود ندارد، خطوط موازي ممكن است واگرا و يا به طور مجانبي همگرا باشند. در ضمن اين كار داستان هيجانانگيز تاريخي اكتشاف تقريباً همزمان هندسة هذلولوي توسط گاوس، بويوئي و لوباچفسكي، در اوايل سدة نوزدهم، را ورق خواهيم زد.
اين هندسه با اينكه ناآشناست، به همان سازگاري هندسة اقليدسي است. اين نكته را در فصل هفتم هنگام بررسي سه الگوي اقليدسي كه در تجسم هندسة هذلولوي نيز ما را ياري ميكند اثبات خواهيم كرد. الگوهاي پوانكاره اين برتري را دارند كه در آنها زوايا به روش اقليدسي اندازه گرفته ميشوند؛ برتري الگوي بلترامي – كلاين در نمايش خطوط توس پارهخطهاي اقليدسي است. همچنين در فصل هفتم از مطالبي از هندسة اقليدسي بحث خواهيم كرد كه در كتابهاي دبيرستاني ذكري از آنها نشده است.
سرانجام،فصل هشتم به طريقي كلي برخي از استلزامهاي فلسفي هندسههاي نااقليدسي را دربر ميگيرد. عرضة مطالب تعمداً به گونهاي جدلي صورت گرفته است و منظور از مقالههاي انشايي برانگيختن خواننده و تشويق او به تفكر و مطالعة بيشتر است.
بسيار مهم است كه شما همة تمرينات را حل كنيد، زيرا كه نتايج تازه در ضمن تمرينات بسط داده شده و سپس در فصول بعدي مورد استفاده قرار گرفتهاند. با حل همة تمرينات، ممكن است شما هم به جايي برسيد كه از هندسه به اندازة من لذت ببريد.
هندسة اقليدس
اصل توازي… در دوران كهن حل نهايي مسئلهاي بود كه بايستي رياضيات يونان را زماني دراز پيش از اقليدس به خود مشغول داشته باشد.
هانس فرويد نتهال
منشأ هندسه
واژة «ژئومتري» از دو واژه يوناني؛ ژئو، به معني زمين، و متراين، به معني اندازهگيري آمده است؛ هندسه در اصل علم اندازهگيري زمين بوده است. هرودت، مورخ يوناني (سدة پنجم قبل از ميلاد)، پيدايش هندسه را به مساحان مصري نسبت ميدهد. ولي تمدنهاي كهن ديگر (بابلي، هندي، چيني) هم اطلاعات هندسي زياد داشتهاند.
هندسة پيشينيان در واقع گرداوري از روشهاي «قاعدة سرانگشتي» بود كه از راه آزمايش. بررسي شباهتها، حدسها و شهودهاي اتفافي، دست يافتن به آنها ميسر شده بود. خلاصه، هندسه موضوعي تجربي بود كه جوابهاي تقريبي آن معمولاً براي مقاصد عملي كافي بودند.
بابليهاي 2000 تا 1600 سال پيش از ميلاد مسيح محيط دايره را 3 برابر قطرش ميگرفتند. يعني را مساوي 3 اختيار ميكردند. اين همان مقداري است كه ويتروويوس معمار رومي به آن داده بود و در نوشتههاي چيني همان مقدار پيدا شده است. حتي يهوديان باستاني اين مقدار را مقدس ميشمردند و ميپنداشتند كه كتاب مقدس آن ار تثبيت كرده است (كتاب اول پادشاهان، باب هفتم، آية بيست و سوم) و تلاش خاخام نهه ميا براي تبديل به 7/22 به نتيجه نرسيده بود. مصريان سال 1800 پيش از ميلاد، طبق پاپيروس رايند مقداري تقريبي را چنين ميگرفتهاند:
حدسهاي مصريان در پارهاي از موارد درست و در پارهاي ديگر نادرست بودند. يكي از كارهاي برجستة آنان پيدا كردن دستور صحيح براي حجم هرم ناقص مربع القاعده بوده است. از سوي ديگر، چنين ميپنداشتند كه دستوري كه براي مساحت مستطيل صحيح است براي هر چهار ضلعي نامشخص نيز ميتواند صحيح باشد. هندسة مصري به معني يوناني كلمه علم نبود، بلكه صرفاً انباني بود پر از قواعد محاسبه، بيهيچ موجبي يا توجيهي.
بابليان در حساب و جبر خيلي از مصريان پيشرفتهتر بودند. وانگهي، قضية فيثاغورس را – كه در هر مثلث قائم الزاويه مربع طول وتر مساوي با مجموع مربعات طولهاي دو ضلع ديگر است – خيلي پيش از آنكه فيثاغورس به دنيا بيايد ميدانستند. تحقيات اخير اتونويگه باوئر تأثير جبر بابليان بر رياضيات يوناني را كه قبلاً نادانسته بود مكشوف ساخته است.
ولي يونانيان. و پيش از همه طالس ملطي، اصرار ميورزيدند كه احكام هندسي بايد از راه استدلال قياسي ثابت شوند نه از راه آزمايش و خطا. طالس با محاسبات قسمتي درست و قسمتي نادرست كه از رياضيات بابلي و مصري در دست بود آشنايي داشت. وي ضمن كوشش براي تميز نتايج درست از نادرست، نخستين هندسة منطقي را بنياد نهاد. (طالس به سبب پيشگويي خورشيدگرفتگي سال 585 پيش از ميلاد نيز مشهور است). استخراج منظم قضايا از راه اثبات، از مشخصات رياضيات يوناني و كاملا تازه بوده است.
نظام بخشي و تابع اصول سازي كه با طالس آغاز شده بود، مدت دو سده توسط فيثاغورش و شاگردانش ادامه يافت. معاصران فيثاغورش در او به ديدة پيامبري ديني مينگريستند. او به ابديت روح و تناسخ معتقد بود. او از پيروان خود يك «جمعيت برادري» تشكيل داد كه آداب تهذيب و تزكيهاي خاص خود داشت، و پيرو عقايد گياهخواري و اشتراك اموال بود. تمايز فيثاغورسيان از ديگر گروههاي مذهبي در اين بود كه آنان اعتلاي روح و يگانگي با خدا را از راه مطالعة موسيقي و رياضي ميسر ميدانستند. در موسيقي، فيثاغورس نسبتهاي صحيح فواصل هارمونيك را حساب كرد. در رياضيات، خواص مرموز و شگفتانگيز اعداد را تعليم ميداد. كتاب هفتم اصول اقليدس كه كتابي در بارة نگرة اعداد است، در مكتب او آموخته ميشد.
زماني كه فيثاغورسيان طولهاي كنگ، نظير را كشف كردند به سختي يكي خوردند (فصل دوم صفحات 34-35). در آغاز كوشيدند كه اين كشف را پوشيده نگاه دارند. پروكلوس مورخ مينويسد: «هم ميدانيم مردي كه نخستين بار نگرة اعداد كنگ را آشكار ساخت هنگام غرق يك كشتي از ميان رفت، تا چيزي كه بيان نشدندي و تصور ناپذير است براي هميشه پوشيده بماند». از آنجايي كه فيثاغورسيان را عدد نميشمردند، جبر خود را به صورت هندسي درآوردند تا بتوانند و طولهاي كنگ ديگر را به توسط پاره خط (مثلاً را با قطر مربعي به ضلع واحد) نشان دهند.
پيريزي منظم هندسة مسطحه توسط مكتب فيثاغورش را بقراط رياضيدان (با طبيبي به همين نام خلط نشود) در حدود سال 400 پيش از ميلاد مسيح در كتاب اصول سروصورتي داد. با اينكه اين كتاب گم شده است، ميتوانيم با اطمينان خاطر بگوييم كه قسمت اعظم كتابهاي اول تا چهارم اصول اقليدس را، كه يك سده بعد منتشر شده، دربرداشته است. فيثاغورسيان هرگز قادر نبودند نگرة تناسبهايي را كه بر طولهاي كنگ نيز جاري باشد بسط دهند. اين كار بعداً توسط ائودوكسوس، كه نگرهاش در كتاب پنجم اصول اقليدس گنجانيده شده است، انجام گرفت.
سدة چهارم پيش از ميلاد مسيح ناظر شكوفايي آكادمي علوم و فلسفة افلاطون (كه در حدود سال 387 پيش از ميلاد بنياد نهاده شد) بود. افلاطون در كتاب جمهوري مينويسد: «مطالعة رياضيات دستگاهي ذهني را توسعه ميدهد و به كار مياندازد كه ارزش آن از هزار چشم بيشتر است، زيرا كه درك حقيقت فقط از راه رياضي ميسر است».
افلاطون ميآموخت كه جهان انديشه مهمتر از جهان مادي حواس است. زيرا كه اين جهان ساية جهان اولي است. جهان مادي غاري است ناروشن كه بر روي ديوارهاي آن تنها سايههاي جهان واقعي خارج را كه به نور خورشيد روشن شده است، ميبينيم. خطاهاي حواس بايد از راه تمركز فكر اصلاح شوند، كه خود اين تمركز از راه مطالعة رياضيات بهتر ميسر ميشود.
روش سقراطي محاوره اصولا روش اثبات نامستقيم است، كه با آن نشان داده ميشود كه حكم زماني نادرست است كه به تناقضي منجر شود. افلاطون كراراً اثبات كنگ بودن طول قطر مربعي به اضلاع واحد را به عنوان مثالي براي يك روش اثبات نامستقيم (()برهان خلف، فصل دوم، صفحات 23-35) آورده است. نكته اينجاست كه اين كنگ بودن طول هرگز نميتوانسته از راه اندازهگيريهاي عيني، كه هميشه متضمن يك حاشية كوچك تجربي خطاست، كشف شود.
اقليدس شاگر مكتب افلاطون بود. در حدود 300 سال پيش از ميلاد روش قاطع هندسة يوناني و نگرة اعداد را در اصول سيزده جلديش منتشر كرد. با تنظيم اين شكاهار، اقليدس تجربه و كارهاي مهم پيشينيان خود در سدههاي جلوتر را گرد هم آورد: تجارب فيثاغورسيان را در كتابهاي اول تا چهارم و هفتم و نهم؛ نتايج كارهاي آركيتاس را در كتاب هشتم؛ كارهاي ائودوكسوس را در كتابهاي پنجم، ششم، دوازدهم، و كارهاي تئه تتوس را در كتابهاي دهم و سيزدهم
. كتاب اقليدس چنان به طور كامل جانشين كوششهاي پيشين در شناسانيدن هندسه شد كه كمتر نشانهاي از آن كوششها به جا ماند. جاي تأسف است كه بازماندگان اقليدس قادر نبودند حق تأليف كتاب او را گردآوري كنند؛ چون نامبرده مؤلفي است كه اثرش بيش از هركسي در تاريخ بشريت خوانده شده است. روش او در هندسه متجاوز از دو هزار سال بر تعليم اين ماده مسلط بود
. وانگهي، روش بنداشتي كه اقليدس به كاربرد الگويي است براي آنچه كه ما امروز «رياضيات محض » ميناميم. «محض» به معني «انديشة محض» است: هيچ تجربة عيني براي تحقيق درستي احكام لازم نيست – تنها بايد مراقب استدلال در اثبات قضايا بود.
