بخشی از مقاله
خلاصه
یکی از جنبه های اساسی در طراحی شمع ها، ارزیابی عملکرد بار- نشست شمع می باشد. از این رو روشهای تئوری و تجربی متعددی ارائه شده است که هر یک بر اساس فرضیات خاصی، نشست شمع ها را تخمین می زند. در این مقاله از روش عددی دیفرانسیل کوادریچر برای تحلیل تک شمع تحت بار محوری استفاده شده است. اساس این روش تبدیل عبارات مشتق در هر نقطه، بر حسب مقادیر جابجایی نقاط دامنه می باشد.
ارتباط بین خاک و شمع به صورت یک سری فنر در مسئله لحاظ شده است. ابتدا فرم دیفرانسیل کوادریچر معادله دیفرانسیل حاکمه و شرایط مرزی نوشته شده است و سپس برنامهای کامپیوتری برای تحلیل مسئله تهیه شده است. در ادامه به بررسی عملکرد بار- نشست شمع مدفون در خاک های همگن با رفتار خطی و غیر خطی و همچنین خاک ناهمگن پرداخته شده و نتایج به دست آمده از این روش، با نتایج حاصل از حلها و روشهای عددی دیگر مقایسه شده است.
نتایج حاصل از مقایسه های انجام شده نشان میدهند که روش دیفرانسیل کوادریچر با سرعت و دقت بسیار خوبی میتواند نشست شمع را در خاکهای همگن و غیر همگن تحلیل نماید.
1. مقدمه
برای انتقال بارهای وارده از طرف سازه به زمین از پی ها استفاده می شود. نوع و مشخصات پی ها به نوع سازه و شرایط زمین بستگی دارد. زمانی که لایههای سطحی خاک مقاومت کافی را نداشته باشند یا جهت جبران کمبود مقاومت به اصطکاک خاک نیاز باشد، از پی های عمیق - شمع ها - استفاده می شود. همچنین در مواردی که قصد احداث سازه های بلند مرتبه را داشته باشیم، یا بخواهیم بار ناشی از سازه های خاصی نظیر سیلوها و پایه های پل ها را به زمین منتقل کنیم، استفاده از شمع ها الزامی است. مزایای استفاده از شمع ها سبب شده که امروزه استفاده از آن ها به عنوان اجزای سازه ای کاربرد فراوانی در مهندسی عمران داشته باشد.
در طراحی پی ها علاوه بر در نظر گرفتن مسئله انتقال بار، مسئله نشست نیز باید مورد توجه قرار گیرد. بنابر این ارزیابی عملکرد بار- نشست شمع ها، یکی از جنبه های اصلی در طراحی پی های به شمار می رود. از این رو روش های متعددی جهت تخمین و محاسبهی نشست شمع ها ارائه شده است. یک دسته از روش های پر کاربرد در این زمینه روش های عددی می باشد. با توجه به کاربرد فراوان روش های عددی در حل معادلات دیفرانسیل پاره ای در شاخه های مختلف علوم مهندسی، استفاده از این روش ها به یکی از موضوعات مورد توجه محققین تبدیل شده است.
از جمله روش های عددی شناخته شده ای که کاربرد آن ها به خوبی توسعه یافته است می توان به روش های تفاضل محدود و اجزاء محدود اشاره کرد. در این روش ها برای دست یابی به نتایج دقیق تر لازم است تا تعداد نقاط شبکه را افزایش دهیم، که این امر موجب افزایش حجم محاسبات و در نتیجه کند شدن برنامه می شود و استفاده از رایانه ها با ظرفیت بالا را ایجاب می نماید. از این رو پژوهش ها برای یافتن روشی که علاوه بر دقت بالا دارای سرعت مناسب نیز باشد، همواره مطرح بوده است.
از جمله ی این فعالیت ها می توان به تحقیقات مصطفی و والابان [1] 1996، پولو و کلمنته [2] 1998، لی و ژائو [3] 1999، چنگ و یه [4] 1999، ژانگ و اسمال [5] 2000، لیانگ و همکاران [6] 2003، بارتلومی و امل چاک [7] 2003، چن و یانگ [8] 2006، باسو و همکاران [9] 2008، اسمال و لیو [10] 2008، آی و هان [11] 2009، سئو و همکاران [12] 2009 و پویا نژاد و همکاران 2009 [13] اشاره کرد.
در تحقیق حاضر معادلات حاکم بر نشست شمع تحت بار محوری در خاک های همگن با رفتار خطی و غیر خطی و خاک غیرهمگن به روش دیفرانسیل کوادریچر که یک روش عددی دقیق با حجم محاسباتی کم می باشد، حل شده و با نتایج بدست آمده توسط سایر محققین مقایسه شده است.
2. معادلات حاکم بر مسئله
معادله حاکم بر نشست شمع قائم، تحت بار محوری استاتیکی یک معادله دیفرانسیل از مرتبه دوم می باشد که در رابطه - 1 - آورده شده است. در این رابطه r0، Ep وAp به ترتیب شعاع، مدول الاستیسیته و سطح مقطع شمع، w نشست شمع در عمق z و λi سختی برشی خاک با جدار شمع در لایه ی iام می باشد.همچنین شرایط مرزی مسئله برای سر شمع و نوک شمع به صورت معادله دیفرانسیل هایی از مرتبه اول بیان می شود که به ترتیب در روابط - 2 - و - 3 - آورده شده است که در این روابط Pt بار وارد شده به سر شمع و سختی خاک برای نوک شمع می باشد.
3. حل معادلات حاکم
روش مورد استفاده در این تحقیق، روش دیفرانسیل کوادریچر1 می باشد. این روش در سال 1971 توسط بلمن و کاستی [14] ابداع شد. پایه و اساس این روش، بیان مشتق یک تابع نسبت به یک راستای مختصات به صورت یک جمع خطی وزنی از مقادیر تابع در تمام نقاط شبکه می باشد. دو عامل مهم و تاثیر گذار در دقت این روش وجود دارد. یکی ضرایب وزنی و دیگری انتخاب نقاط شبکه می باشد. با توجه به دقت بالای روابط شو و ریچارد [15]، از این روابط برای محاسبه ی ضرایب وزنی استفاده شده است. برای این منظور رابطه - 4 - برای محاسبه ی درایه های غیر قطری ماتریس ضرایب و رابطه ی - 5 - برای درایه های غیر قطری مورد استفاده قرار گرفته است که در این روابط C ماتریس ضرایب می باشد.
عامل دوم تاثیر گذار بر دقت این روش، انتخاب نحوه ی توزیع نقاط شبکه می باشد. نشان داده شده که توزیع غیر یکنواخت نقاط، دقت بیشتری را به دنبال خواهد داشت. رابطه ی مورد استفاده در این تحقیق توزیع کسینوسی بدست آمده از ریشه های رابطه ی ارائه شده توسط چبیشف و گاوس [16] می باشد که در رابطه - 6 - آورده شده است که در این رابطه N تعداد نقاط شبکه می باشد.
سپس به روش دیفرانسیل کوادریچر معادلات حاکم بر مسئله حل شده است. به این صورت که مشتقات تابع w - z - با استفاده از روابط زیر تخمین زده می شود:
نتیجه ی آن روابط - 9 - ، - 10 - و - 11 - می باشد که به ترتیب بیانگر معادله حاکم بر نشست شمع برای سر شمع، نوک شمع و سایر نقاط آن می باشد.
سپس معادلات به ازای N مشخص بسط داده می شود. در نتیجه یک N معادله و N مجهول ایجاد می گردد. این معادلات حاوی یک ماتریس ضرایب - ماتریس - A و یک بردار معلومات - بردار - F خواهد بود. حال با استفاده از رابطه ی - 12 - می توان مجهولات مسئله - نشست نقاط - را محاسبه نمود.
برای استخراج نتایج بدست آمده از روش مورد مطالعه، از برنامه نوشته شده در محیط برنامه نویسی MATLAB استفاده شده است. در این برنامه برای خاک با رفتار الاستیک، مقدار و ثابت می باشد و با جایگذاری این مقادیر در معادلات مربوطه نتایج نهایی بدست خواهد آمد. اما این روند برای خاک با رفتار غیر خطی متفاوت می باشد. وقتی رفتار خاک غیرخطی باشد، در ابتدا یک بار با فرض الاستیک کامل بودن خاک مسئله را حل کرده و نتایج اولیه نشست بدست می آید. سپس مقادیر بدست آمده با مقادیر نشست نهایی هر مرحله از رفتار مقایسه شده و و جدید در هر نقطه حساب می شودمجدداً. مسئله با مقادیر جدید و حل شده و این روند سعی و خطا تا زمانی که اختلاف نشست بدست آمده با نشست بدست آمده از مرحله قبل به اندازه کافی ناچیز شود، ادامه پیدا می کند.
4. مطالعه موردی و مقایسه نتایج
در این تحقیق به منظور بررسی دقت عملکرد روش دیفرانسیل کوادریچر در مورد مسئله نشست شمع قائم تحت بار محوری به مقایسه ی نتایج حاصل از این روش با روش کار شده روی خاک همگن با رفتار خطی و غیر خطی توسط گیو و راندولف و همچنین روش کار شده روی خاک لایه ای با رفتار غیر خطی توسط ژنگ و همکاران پرداخته شده است.
.1 .4 خاک همگن با رفتار خطی گیو و راندولف در تحقیق خود ابتدا به بررسی نشست شمع قائم تحت بار محوری استاتیکی برای خاک همگن با رفتار الاستیک خطی پرداختند. آن ها با استفاده از تابع بسل معادله حاکم را حل کرده و روابطی را برای حل دقیق معادلات نشست ارائه کردند
