بخشی از مقاله
خلاصه
در این تحقیق مسئله نشت دو بعدی با استفاده از روش عددی بدون شبکه دیفرانسیل کوادریچر1 بر اساس توابع پایه شعاعی - DQ-RBF - 2 شبیه سازی شده است. در این کار مشتقات با استفاده از روش کلیDQ-RBF 3 به صورت مجموع وزنی و خطی مقادیر تابع در کل نقاط موجود در دامنه تقریب زده می شود. برای محاسبه ضرائب وزن از تابع پایه شعاعی Multiquadric - MQ - استفاده شده است. اثر پارامتر شکل بر روی دقت نتایج حاصل بطور عددی نشان داده شده است. در نهایت برای ارزیابی روش DQ-RBF، جوابهای حاصل با کد اجزاء محدود مقایسه شده است، و نتایج مناسبی بدست آمده است.
1. مقدمه
روش های عددی ابزاری دقیق برای حل معادلات دیفرانسیلی حاکم بر پدیده های فیزیکی می باشد. پدیده های نشت در محیط متخلخل در حالت دائم و ایزوتروپیک توسط معادله دیفرانسیل لاپلاس تعیین می گردد. پدیده نشت یکی از مسائل مهم برای طراحی سدها می باشد و عدم کنترل نشت آب در پی سدها باعث شسته شدن و حرکت ذرات ریز خاک و در نتیجه ایجاد ناپایداری در سد می شود.
تا کنون روش های عددی متفاوتی جهت حل مسئله نشت توسط محققین مورد استفاده قرار گرفته است. به عنوان نمونه می توان به روش احجام محدود4 با مش متحرک، روش های اجزاء محدود5 و المان مرزی6 اشاره نمود
روش های ارائه شده در بالا علی رغم عمومیت و قدرت زیادی که دارند، نیازمند تکنیک های مش بندی هستند. این روشها مخصوصا برای هندسه های پیچیده نیاز به مهارت زیاد و معمولا نیازمند ابزارهای مش بندی خودکار می باشند، و منجر به ایجاد هزینه های محاسباتی بالا می شوند. یک روش جایگزین، استفاده از روش های بدون شبکه می باشد. هر چند که این روش ها نیز دارای مشکلاتی از جمله یافتن پارامتر شکل مناسب و حساسیت به توزیع گره ها می باشند. اما این روش ها در کنار روش های مبتنی بر شبکه برای حل مسائل عددی مطرح می باشند.
روش DQ کلاسیک در سال 1970 توسط Bellman پایه گذاری شد. این روش بر مبنای مفهوم انتگرال کوادریچر قرار گرفته است. روش DQ در زمینه های متفاوتی از جمله جریان های غیر دائم در کانال های روباز و تعیین پروفیل سطح آب توسط محققین مورد استفاده قرار گرفته است
در سال های اخیر تلاش هایی برای حل جریان در محیط های متخلخل با استفاده از روش DQ کلاسیک صورت گرفته است
در روش DQ کلاسیک مشتقات جزئی در هر نقطه، برای یک راستا مشخص، از مجموع وزنی و خطی مقادیر تابع در کل نقاط موجود در دامنه در آن راستا خاص، بدست میآید. لذا روش DQ کلاسیک نمی تواند به طور مستقیم برای هندسه نامنطم بکار برود. و در صورت مواجهه شدن با هندسه پیچیده باید از روش تبدیل مختصات استفاده نمود.
در این تحقیق برای از بین بردن محدودیت های موجود در روش DQ کلاسیک از روش بدون شبکه DQ-RBF استفاده شده است. در این روش برای محاسبه ضرائب وزن از توابع پایه شعاعی که توابع چند بعدی هستند استفاده می شود. ماهیت چند بعدی بودن توابع پایه شعاعی باعث می شود که بتوان روش DQ-RBF را، بر خلاف روش DQ کلاسیک که از توابع تقریب یک بعدی جهت محاسبه ضرائب وزن استفاده می کند، برای توزیع نقاط بی سازمان درون دامنه و/یا دامنه های نامنطم به طور مستقیم بکار برد. در روش DQ-RBF کلی، مشتقات جزئی در هر نقطه برابر با مجموع وزنی وخطی مقادیر تابع در کل نقاط دامنه می باشد و بستگی به جهت مختصاتی خاصی ندارد. Shu و همکاران در تحقیقی کاربرد این روش را در حل معادلات دیفرانسیل جزئی ارائه نمودند.
در این مقاله مسئله نشت از پی سد با استفاده از روش بدون شبکهDQ-RBF برای دامنه های منظم و نامنظم، با توزیع نقاط غیر سازمان یافته مورد بررسی قرار گرفته است و اثر پارامتر شکل بر روی دقت نتایج و همچنین اثر نحوه توزیع نقاط در یک دامنه مشخص بر روی پارامتر شکل به طور عددی نشان داده شده است. در نهایت روش DQ بر پایه تابع پایه شعاعی - DQ-MQ - MQ با استفاده از جواب های حاصل از روش اجزاء محدود، مورد ارزیابی قرار گرفت.
2. معادله دیفرانسیلی حاکم بر مسئله نشت و شرایط مرزی
معادله دیفرانسیلی حاکم بر پدیده نشت در یک محیط متخلخل با استفاده از تئوری انتقال رینولدز برای یک حجم کنترلی از خاک بدست می آید. برای محیط های دو بعدی، همگن و ایزوتروپیک معادله حاکمه به صورت زیر ارائه می شود:
که در آن h ارتفاع هیدرولیکی، k ضریب نفوزپذیری و Ss ضریب ذخیره - یا Sy آبدهی ویژه - می باشد. در حالت آنالیز نشت پایدار پارامترها فقط با مکان تغییر می کنند لذا معادله - 1 - به فرم زیر در می آید:
از آن جایی که معادله - 2 - از نوع معادلات دیفرانسیلی بیضوی1 می باشد، شرایط مرزی در تمام مرزها باید مشخص باشد. شرط مرزی اعمال شده در بالا دست و پایین دست از نوع شرط مرزی دریچله - Drichlet - می باشد، به این صورت که ارتفاع هیدرولیکی در بالادست و پایین دست مشخص می باشد. در مرزهای صلب شرط مرزی نیومن - Neumann - به صورت زیر تعریف می شود:
که در آن n بردار واحد عمود بر مرز و بردار سرعت می باشد، . بنابراین معادله بالا را می توان به این صورت نوشت:
3. اصول و روش ها
در این قسمت نحوه تقریب زدن مشتقات جزئی با استفاده از روش عددی DQ کلی شرح داده می شود و سپس توضیح مختصری در مورد انواع توابع پایه شعاعی و همچنین نحوه محاسبه ضرائب وزن با استفاده از توابع پایه شعاعی شرج داده خواهد شد.
.1-3 روش DQ-RBF
روش DQ یک روش عددی گسسته سازی جهت تقریب مشتقات می باشد. پس از گسسته سازی دامنه، با استفاده از روش DQ کلی مشتق nام تابع f - x - در هر نقطه از دامنه - xi,yi - ، برابر با مجموع وزنی و خطی مقادیر تابع در کل نقاط موجود در دامنه می باشد، که توسط دو معادله زیر بیان می شود:
که در آن N تعداد کل نقاط موجود در دامنه می باشد. و با گسسته سازی دامنه و اعمال روش کلی DQ-RBF برای حل ضرائب وزن در جهت x و y می باشد. معادله - 2 - ، معادله زیر حاصل می شود:
که در آن Nd تعداد نقاط داخلی می باشد. در این تحقیق مشتقات موجود در معادله شرط مرزی Neumann، معادله - 4 - ، نیز توسط روش کلی DQ-RBF تقریب زده می شوند، لذا معادله ای که برای نقاط موجود در مرزهای صلب استفاده می شود به صورت زیر نوشته می شود:
به طوری که Nb تعداد نقاطی است که در مرزهای صلب قرار گرفتند. با نوشتن معادله مربوطه برای هر نقطه با توجه به محل قرارگیری آن داخل دامنه و یا بر روی مرز، می توان یک دستگاه معادلات خطی جهت بدست آوردن پارامتر h در تمام گره ها، حل نمود. یکی از مسائل مهم و اساسی در روش DQ محاسبه ضرائب وزن می باشد، که نحوه محاسبه آن ها در ادامه شرح داده می شود.
.2-3 محاسبه ضرائب وزن
در این تحقیق ضرائب وزن، به جای استفاده از توابع تقریب یک بعدی مانند آنچه که در روش DQ کلاسیک صورت می گیرد، با استفاده از ماهیت توابع پایه شعاعی محاسبه می شود. در زیر نمونه های از توابع پایه شعاعی معمول آورده شده است:
که در آن و c پارامتر شکل می باشد و .c>0 بر اساس مطالعات Frank بر روی تعدادی از تابع پایه شعاعی، تابع MQ عملکرد بهتری از خود نشان می دهد؛ لذا در این تحقیق از تابع پایه شعاعی MQ جهت محاسبه ضرائب وزن استفاده شده است
جهت محاسبه ضرائب وزن با مشتق گیری از معادله - 9 - برای مشتق مرتبه اول و دوم - - ['\ نسبت به x خواهیم داشت
