مقاله در مورد بردارها

بردارها

تساوی در بردار: موازی، هم جهت و هم طولی دو بردار به تساوی آن دو می‌انجامد.
مجموع دو بردار : روش متوازی الضلاع
روش مثلثی
خواص بردارها:
شرکتپذیری:
بردار صفر: انتها و ابتدای بردار بر هم منطبق است. و با o نشان می‌دهیم.
برای هر بردار دلخواه داریم
قرینه برای یک بردار: اگر بردار معلومی

باشد برای برداری با همان اندازه و جهت مخالف آن قرنیه نام دارد و با مشان داده می‌شود.
تفاضل دو بردار: تفاضل دو بردار را بصورت زیر تعریف می‌کنیم:

تذکر: اگر بردار و اسکالر معلوم باشند حاصلضرب است. یعنی برداری با همان جهت ولی برابر طویلتراز اگر و برداری مختلف الجهت با ولی برابر طویلتر از اگر .
برداریکه: هر برداری به طول واحد را یک برداریکه گوئیم. اگر بردار نا صفر باشد یک بردار یکه است.

زاویه بین دو بردار: منظور از زاویه بین دو بردار ناصفر که با نشانداده می‌شود یعنی زاویه‌ای که باید بچرخد تا جهتش با جهت یکی شود.
°
°
°
ضرب اسکالر( ضرب نقطه‌ای یا داخلی)
منظور از حاصلضرب اسکالر دو بردار که با نشان‌داده می‌شود یعنی عدد:
زاویه بین دو بردار را می‌توان از به یا از به سنجید. زیرا و
تذکر: ۱٫
۲٫

۳٫ حاصلضرب صفرا ست اگر تنها اگر همچنین بردار صفر بر هر برداری عمود است.
مثال: مثال : اگر خط جهت دار و بردار معلوم باشد منظور از تصویر اسکالر روی L که به صورت نوشته می‌شود.
یعنی:
بطور کلی با معلوم بودن دو بردار منظور از تصویر اسکالر روی یعنی
‌
قضیه: اگر و آنگاه :

نتیجه:
مثال : اگر بردار آنگاه:
هر برداری در ضرب شود مؤلفه اول بدست می‌آید و اگر در ضرب شود مؤلفه بدست می‌آید:

آنگاه
۲٫

مثال: و را در صورتیکه با هم زاویه ° ۶۰ بسازند. را بیابید.

ضرب برداری( خارجی)
برداری است که بر صفحه دو بردار عمود است.
منظور از حاصلضرب خارجی دو بردار که با نشان داده می‌شود یعنی بردار بطوریکه:
۱- اندازه C برابر است با:
۲- بر صفحه عمود است و در جهت حرکت یک پیچ( راست دست) ک تیغه‌اش از به باندازه می‌چرخد نشان داده
تذکر: هرگاه یا یا آنگاه
مساحت متوازی‌الضلاع ارتفاع قاعده
با توجه به فرمول قبل و شکل بالا نتیجه می‌‌گیریم که مساحت متوازی‌الضلاعی که توسط بردارهای و ساخته می‌شوند با ضرب خارجی برابر است.
و مساحت مثلث ساخته شده توسط دو بردار قبل نصف مقدرا قبلی است .
مساحت مثلث
تذکر: حاصلضرب خارجی با معکوس شدن و ترتیب بردارهای تغییر علامت می‌دهد.

مثال هرگاه . بردارهای متعاعد یک، باشند.

تذکر :۱

۲

۳-ضربهای برداری شرکت‌پذیر نیستند.
قضیه: هرگاه :

آنگاه

مثال: مساحت مثلث به راسهای:
و و را بیابید.

* ضربهای سه تایی از بردارها
حاصلضرب سه تایی را در نظ

بگیرید واضح است که:
‌

که درآن مساوی ارتفاع(h) متوازی سطوح پوشیده بوسیله بردارهای است و چون مساحت قاعده متوازی‌الضلاع است پس متوازی‌الضلاع برابر حجم متوازی‌السطوح است.
قضیه:‌هرگاه‌ ‌و ‌،‌ آنگاه

مثال: ثابت کنید

* صفحه:
یک صفحه بردار ناصفر عمود بر صفحه بطور منحصر بفرد مشخص می‌شود بردار n قائم بر صفحه نامیده میشود.
قضیه: هر صفحه معادله‌ای به شکل دارد که در آن A,B,C همگن صفر نیستند بر عکس هر گاه C,B,A همگی صفر نباشند هر معادله به شکل (۱) معادله یک صفحه را مشخص می‌کند.
معادله صفحه‌ای که از نقطه میکند و بردار قائم آن است عبارتست از
مثال: بازای دو نقطه معلوم:

صفحه مابر عمود بر خط گذرنده از رابیابید:

صفحه P به معادله عبارت است از:

مثال: معادله صفحه‌ای و موازی دو بردار و و را محاسبه کنید.
مثال : معادله صفحه گذرنده از نقاط و و عمود بر صفحه باشد را بدست آورید.

N عمود بر صفحه مورد نظر

* خطوط در
خط ما با یک نقطه معلوم روی L و بردار دلخواه موازی L بطور مختصر به فرد مشخص میشود فرض کنید: نقطه دلخواهی در باشد در اینصورت هر گاه باشد یعنی که t یک اسکالر است.

معادلات پارامترهای خط

معادله متعارف خط L گذرد و با بردار u موازی است.
تذکر:
اگر یکی از مخرجهای c,b,a در معادله متعارف صفر باشد صورت نیز باید صفر باشد مثلاَ اگر ، معادله خط بصورت زیر نوشته می‌شود.

مثال: معادله خط گذرانده از نقطه موازی خط
حل :

مثال:
فصل مشترک دو صفحه
را بدست آورید:

مثال:
معادله خط گذرنده از دو نقطه: ،
حل :
مثال :
ثابت کنید خط: و فصل مشترک صفحات و موازی‌اند:
و
حل :
بردار فصل مشترک

* توابع برداری:
در این فصل با ترکیب حساب دیفرانسیل انتگرال و بردارها مطالعه حرکت اجسام در فضا می‌پردازیم برای این منظور مؤلفه‌های عددی بردار شعاعی از مبدأ تا جسم را توزیع مشتق‌پذیری از زمن فرض کنیم و به این ترتیب بردارهای جسم را توصیف می‌کنند بدست میآوریم:
بردار شعاعی
از مبدآ تا نقطه که مکان زیر را در لحظه t از حرکتش در فضا بدست می‌آوریم.
* مشتق یک تابع برداری:
اگر و و توابعی با مقادیر حقیقی باشند از t باشند و بردار

یک تابع با مقادیر برداری از t باشد بردار مشتق F نسبت به t می‌باشد مانند حالت حرکت در صفح طول بردار بسرعت، مقدار سرعت جسم و جهت بردار سرعت جهت حرکت است.
مثال: بردار مکان یک جس

م متحرک در لحظه t را مشخص می‌کند.
در مقدار سرعت و جهت ر مشخص کنید در چه لحظه‌ای در صورت وجود سرعت و شتاب جسم بر هم عمودند.

جهت سرعت

در لحظه شتاب و سرعت بر هم عمودند.
* قاعده زنجیره‌ای:
اگر مکان ذره‌ای باشد که روی یک مسیر در حرکت است و اگر با قرار دادن تابعی از بجای متغیرها را عوض کنیم مکان ذره تابعی از S می‌شود داریم:

مثال
اگر را بدست آورید:
مثال:

نکته: مشتق بردارهایی که طولشان ثابت است.
اگر تابع مشتقپذیر از باشد که طولش ثابت است. آنگاه ثابت است. از طرفیت مشتقگیری می‌کنیم داریم:

پس برای اینگونه بردارها، بردار سرعت بر خود بردار عمود است.
* تعیین به کمک انتگرالگیری
مثال:
شتاب ذره‌ای د رصفحه عبارتست از:
اگر و مکان ذره را بیابید:

فاصله جهت داربردار مماس واحد
تعریف: طول خم از تا برابر است با :

اگر مطابق شکل یک نقطه مبنا مانند روی خم برگزینیم انتگرال از تا فاصله جهتدار S از تا را بدست میدهد.

مقدار S مثبت است اگر باشد و منحنی است اگر باشد.
بنابراین ( مادامی‌که مخالف صفر باشد و از این پس فرض می‌کنیم چنین
باشد ( مثبت است) و S تابعی صعودی از t است. )
*بردار مماس واحد T
فرض کنیم فاصله جهت دار در روی خمی باشد که انتهای R را رسم می‌کند چون نباید برابر بر صفر باشدS یک به یک است و معکوسی دارد که t را بصورت تابع مشتقپذیری از S بدست می‌آید.

بنابراین بردار واحدی است که متوجه جهت V است. این بردار رابه بردار مماس واحدT می‌نامیم.

مثال:
مطلوبست تعیین بردار T در مورد پیچ:

حل :

* خمیدگی یک خم در صفحه
خمیدگی یک خم از فرمول : وقتی روی یک خم مشتق‌پذیر در صفحه حرکت می‌کنیم بردار مماس واحد ، هر وقت خم، خم می‌شود میچرخد، آهنگ چرخشT را با اندازه‌گیری تغییر زاویه یعنی زاویه‌ای که T با I می‌سازد اندازه می‌گیریم. قدر مطلق که بر حسب رادیان بر واحد طول خم ذکر می‌شود را خمیدگی در آن نقطه نامیم.
مثال: خمیدگی یک خط راست صفر است زیرا روی خط راست ثابت است و بنابراین صفر است.
مثال: نشان‌دهنده‌خمیدگی یک دایره به شعاع برابر است با .
حل :

بردار قائم واحد اصلی در مورد خمهای واقع در صفحه

وقتی باشد تعریف می‌کنیم:

* شتاب و بردار قائم دوم
بردار قائمی است که هم بر T و هم بر N عمود است.

خمیدگی را می‌توان به صورت آهنگ چرخش صفحه قائم وقتی که p(نقطه) بروی صفحه خم حرکت می‌کند . همچنین تاب آهنگ بالا رفتن صفحه
بوسان است وقتی که p روی خم حرکت می‌کند.

*مؤلفه‌های قائم و مماس شتاب

*رویه‌ها
* استوانه‌ها

اول در روی z کشیده بعد در امتداد x ها همان شکل قبل را تکرار می‌کنیم.
* سهمی‌وار بیضوی

ابتدا x=0 سهمی
y=0
z=0 (0,0,0) مبدأ
مقطع بیضوی است

* سهمی‌وار مستدیر
در فرمول بالا مقطع آن دایره است.
* مخروط بیضوی

x=0
y=0
z=0

*توابع چند متغیره:
فرض کنید D مجموعه‌ای باشد از n تایی‌های اعداد حقیقی به صورت یک تابع حقیقی f با دامنه D قاعده‌ای است که به هر n تایی از اعداد که در D باشند عددی حقیقی چون را نسبت دهد.

مثال:
دامنه تابع تعیین کنید:

نقاط داخل و روی سهمی جزء دامنه تابع‌اند.
نقطه‌ای دلخواه را در نظر می‌گیریم ببینیم صدق می‌کند یا خیر.

* حدود پیوستگی برای توابع چند متغیره
اگربتوان مقادیر تابعی چون را با نزدیک کردن نقطه به نقطه تا آنجا که برآن منطبق نشود به اندازه دلخواه به عددی ثابت مانند L نزدیک کرد میگوئیم که حد f است وقتیکه بسمت میل کند و با حد

نشان می‌دهیم.
فرض کنیم یک تابع دو متغیر با حد L در نقطه باشد
همچنین در امتداد منحنی به نزدیک شده.دراینصورت حد جزئی
بدست می‌آید.
و
که شبیه حدود یکطرفه در حالت یک بعدی است.
اما این تعریف از نظر نزدیک شدن به چیزی نمی‌گوید بخصوص می‌تواند در امتداد خط افقی یا خط قائم به p نزدیک شده که این دو حد معمولی :
۱) ۲)

را بدست میدهد.
این حدود باید مساوی (۳) باشد

و اگر حدود ۱و۲ موجو نباشد حد(۳) موجود نیست.
مثال:
حد تابع را در مبدأ بررسی کنید.
حل :

روی مسیر داریم:

با مقادیر مختلف m برای حد تابع مقادیر مختلفی بدست میآید پس تابع در مبدأ حد ندارد.

* تعریف:
بازای تابع دو متغیره حدود

حدود مکرر گوئیم
موجود است

مثال:
حد تابع در مبدأ بررسی کنید:
حل :

باید منحنی را بیابیم که جواب صفر نشود.
در اینجا نتیجه‌ می‌گیریم که در مبدأ حد موجود نمی‌باشد.
*پیوستگی:
تعریف: تابع را در پیوسته گوئیم هرگاه:
۱) تعریف شده باشد
۲) موجود باشد.

۳)

*تعریف حد:

, ,
مثال: نشان دهید تابع:

در هر نقطه‌ای بجز مبدأ پیوسته است.
چون تابعی گویا داریم فوق در صفر پیوسته نیست و در نقطه‌‌های بجز صفر پیوسته است.

در نتیجه با دادن مقادیر مختلف m حد هم موجود نیست.
*مختصات استوانه‌ای:
مختصات استوانه‌ای در فضا را از طریق مختصات قبلی در صفحه(x,y) با محور معمولی z بدست می‌آوریم:

در مختصات استوانه‌ای یک استوانه در امتداد محور z است .
صفحه‌ای است شامل محور z و با محور x ها زاویه می‌سازد.(r,z متغیر است ) فقط ثابت شده است.
سهمی‌وار مستدیر
*مختصات کروی:

p فاصله نقطه از مبدأ است. زاویه‌ای اس که بردار با قسمت مثبت محور z ها می‌سازد. همان ی مختصات قطبی است.

*مشتقات جزئی
مشتق‌های جزئی وقتی بدست می‌آیند که دریک تابع چند متغیره همه متغیر‌ها بجز یکی را ثابت نگه می‌داریم و نسبت به آن متغیر مشتق می‌گیریم.
تعریف:
مشتق نسبت به x در را به صورت یا و یا نشان می‌دهیم و به صورت زیر تعریف می کنیم.

مثال: اگر و و نقطه (۱,۱) ببیابید.
حل :

*توزیع با بیش از دو متغیر
مثال)

*قاعده زنجیره‌ای در مورد توزیع دو متغیر
فرض کنیم که در آن (x,y) خود توابع مشتقپذیری از t هستند آنگاه فرمول زیر را تعریف میکنیم.

مثال:
مشتق تابع را وقتی و باشد را بدست آورید.
حل :‌

*قاعده زنجیره‌ای در مورد توابع سه متغیره

*‌اگر‌تابع‌ توابعی‌بر‌حسب‌r,s‌باشند یعنی
مشتقات جزئی آن نسبت به s,r مشتقات جزئی پیوسته دارند و داریم:

مثال: اگر

*مشتق‌های جزئی با متغیرهای مقید
اگر متغیرهای تابعی چون رابطه‌ای مانند مقید شدند تعبیر هندسی و مقادیر عددی مشتقات جزئی f به این بستگی خواهند داشت که چه متغیرهایی را وابسته و چه متغیرهایی و مستقل انتخاب کنیم .
گاهی اوقات اگر تنوان در عبارت مربوط به w متغیر وابسته دیگر را حذف کنیم از معادلات به همان صورت که هستند مشتق می‌گیریم و سعی می‌کنیم و از معادلات بدست می‌آوریم.
مثال۱)‌اگر‌x,y متغیرهای مستقل باشند‌و و را بدست می‌آوریم
حل :‌

*گرادیان و مشتق جهتی
تعریف
اگر مشتقهای جزئی در نقطه تعریف شوند آنگاه گرادیان f در بردار زیر است ک با محاسبه مشتقهای جزئی در بدست می‌آید.