بخشی از مقاله
خلاصه
مقاله حاضر با ارائه یک رویکرد مبتنی بر گسسته سازی حجم محدود، امکان ساخت موجساز پاروئی را در فضای مجازی طرح نموده است. الگوریتم مبتنی بر شبکه های روی هم - شامل یک شبکه زمینه ثابت در تمامی دامنه محاسباتی و یک شبکه متحرک در اطراف صفحه موجساز - می باشد. در حل میدان سرعت و فشار از یک روش گام جزئی و در شبیه سازی سطح آزاد از یک روش حجمی استفاده شده است. پس از نوشتن کُد بر اساس الگوریتم، موجی با حرکت زاویه ای صفحه موجساز حول یک لولا، ساخته شده و مشخصات آن ثبت گردیده است. قابلیت الگوریتم در پژوهش و مهندسی، با توجه به مطالعه حاضر - تطابق مناسب نتایج عددی و آزمایشگاهی - و سابقه تحقیق، بسیار روشن است.
کلمات کلیدی: حجم محدود، شبکه های روی هم، سطح آزاد
1.مقدمه
مطالعه امواج آب، در زمینه هیدرودینامیک دریا بسیار اهمیت داشته و تلاش های فراوانی به منظور بررسی امواج - مستقل از سازه های دریایی - و همچنین، در اندرکنش با سازه های ساحلی و فراساحلی انجام شده است. یافتن مکانیک شکست موج، نیروهای وارد بر سازه از طرف موج و نیز، حرکات سازه شناور در مقابل موج، همواره از جمله موضوعات تحقیقات دریایی بوده است.حوضچه موج - در ابعاد آزمایشگاهی و یا کاربردی - یکی از ابزارهای بررسی این نوع پدیده های هیدرودینامیکی، بوده است. حوضچه، معمولاً مجرای بلند و باریکی است که موجساز مکانیکی -معمولاً پیستونی، پاروئی و یا گوه ای - در یک انتهای آن و ساحل مصنوعی، در انتهای دیگر - برای جلوگیری از بازگشت موج - جای می گیرند.
از طرف دیگر، امروزه مطالعات جدی به منظور توسعه روش های عددی در جریان است، تا بتوان به پیش بینی دقیق داده های تجربی دست یافت. در این میان، دینامیک سیالات محاسباتی وسیله مناسبی را جهت جایگزینی حوضچه موج تجربی با حوضچه موج عددی - به واسطه انعطاف پذیری بالا و هزینه پایین - فراهم آورده است .[1] روش های اولیه در این زمینه، با فرضیات ساده کننده همراه بوده و به تدریج، با پیشرفت توان محاسباتی، امکان حل معادلات متوسط گیری شده در زمان نیز، در این راستا فراهم آمده است 2]و .[3به منظور طراحی حوضچه موج عددی در الگوریتم حجم محدود حاضر، جریان دوفازی با استفاده از روش گام جزئی - Fractional Step - Method در ارائه میدان سرعت و فشار و حل عددی معادله انتقال نسبت حجمی - Volume Fraction Transport Equation - در ارائه سطح آزاد، بدست آمده است.
در خصوص اعمال اثر حرکات موجساز پاروئی نیز، از روش شبکه های روی هم - Overlapping Mesh System - بهره گرفته شده است. این روش، از یک شبکه ثابت در تمامی دامنه محاسباتی با نام شبکه زمینه و یک شبکه متحرک حول جسم - در اینجا موجساز - با نام شبکه روافتاده، استفاده می نماید. بر این اساس، روش یاد شده امکان مدلسازی انواع دیگر موجساز را نیز فراهم می آورد .[4]همانگونه که بیان گردید، الگوریتمحاضر را می توان از نظر توسعه نرم افزاری به دو بخش کاملاً مجزای حلگر جریان دوفازی و اعمال اثر حرکات جسم صلب در دامنه محاسباتی، تقسیم نمود. بر همین اساس، معادلات اساسی حاکم در بخش بعد معرفی گردیده و نحوه گسسته سازی آنها تا حل جریان دوفازی تشریح گردیده است. در ادامه، الگوریتم حل بر مبنای استفاده از روش شبکه های روی هم، مرور گردیده است. در انتهای و به کمک کُد توسعه یافته، موجساز پاروئی مدلسازی شده و نتایج حاصل از آن با داده های آزمایشگاهی موجود مقایسه گردیده است.
2. معادلات اساسی حاکم
تمامی معادلات و بردارها، در دستگاه مختصات کارتزین اینرسی بیان شده اند. به منظور ارائه میدان جریان دوفازی سیالات لزج و غیر قابل تراکم، معادله انتقال نسبت حجمی دو فاز - - ، علاوه بر معادلات ناویر- استوکس و پیوستگی، برای یک حجم کنترل - سلولصلبِ - ثابت یا متحرک ، نوشته شده اند. سرعت سلول های متحرک - سلول های متعلق به شبکه روافتاده - مشخص بوده - از حرکات موجساز بدست آمده - و در سلول های ثابت - سلول های متعلق به شبکه زمینه - نیز، این سرعت صفر است. با انتگرال گیری بر روی سلول، معادلات یاده شده به ترتیب به صورت زیر در می آیند:
که در این روابط، V حجم سلول وuc u uRel سرعت سیال نسبت به سرعت سلول است. بعلاوه، xk ، uk و gk به ترتیب مؤلفه کارتزین k ام مکان، سرعت و شتاب جاذبه می باشندهمچنین،. یک فاز مؤثرِ حاکم بر تمامی سلول های دامنه محاسباتی، به جای دو فازِ موجود - مثل آب و هوا - در معادلات در نظر گرفته شده و خواص فیزیکی آن، به صورت ترکیبی از خواص دو فاز، به صورت زیر محاسبه می شوند:
این فاز مؤثر، در برخی سلول ها معادل فاز یک 1 - - ، در برخی دیگر از سلول ها معادل فاز دو - 0 - و در سلول هایی که فصل مشترک دو فاز - سطح آزاد - در آنها قرار می گیرد 1 - 0 - ، معادل ترکیبی از دو فاز است.برای گسسته سازی مکانی جمله غیردائم معادله انتقال نسبت حجمی - معادله - - 1 - از ساده ترین تقریب ممکن استفاده گردیده و مقدار نسبت حجمی در مرکز سلول، به عنوان نماینده مقدار کمیت در سلول در نظر گرفته شده است. در گسسته سازی زمانی این جمله نیز، میانیابی مرتبه دوم سه مرحله ای - Second-Order Three Time Levels Method - بکار برده شده است .[5] تقریب نسبت حجمی روی سطح ظاهر شده در گسسته سازی جمله جابجایی معادله - 1 - ، نیازمند توجه خاصی می باشداستفاده. از میانیابی های ساده در این رابطه، معمولاً مقادیر غیر فیزیکی بوجود آورده و باعث تغییر شکل های غیر واقعی و پخش عددی سطح آزاد می شوند.
با توجه به بررسی های انجام شده [6]، تحقیق حاضر از میانیابی کیکسم - Compressive Interface Capturing Scheme for Arbitrary Meshes - CICSAM - - استفاده نموده است. این میانیابی با جابجایی بین دو طرح سی بی سی [7] - Convection Boundedness Criteria - CBC - - و یو کیو [8] - ULTIMATE QUICKEST - UQ - - ، ترکیبی از آن دو را برای محاسبه نسبت حجمی روی سطح ارائه می دهد. در گسسته سازی زمانی این جمله نیز از میانیابی مرتبه دوم کرنک - نیکلسون - Crank-Nicholson - استفاده گردیده است .[5] در واقع، تحقیقات پیشین نشان داده است که بکارگیری میانیابی ضمنی مرتبه اول در این رابطه، منجر به پخش عددی در جهت جریان و میانیابی صریح مرتبه اول، منجر به پخش عددی عمود بر جریان می شوند .[9]
معادلات - 2 - و - 3 - در قالب حل میدان سرعت و فشار و بر اساس روش گام جزئی کیم و چوی - Kim and Choi - حل شده اند، با این تفاوت که در گسسته سازی زمانی جملات جابجایی و پخش، به جای طرح آدامز - بشفرت - Adams-Bashforth - از طرح کرنک - نیکلسون استفاده گردیده است. به علاوه، در خطی سازی جمله جابجایی نیز به جای روش نیوتنی از تکرار پیکارد - Picard Iteration - استفاده شده است. این روش گام جزئی، در مرجع [10] به صورت فلوچارت ارائه شده است.به منظور گسسته سازی مکانی جمله غیر دائم معادله انتقال اندازه حرکت خطی، مشابه معادل آن در معادله انتقال نسبت حجمی برخورد شده است. جمله جابجایی نیز، با استفاده از میانیابی گاما - Gamma Interpolation - تقریب زده شده است .[11]
در رابطه با گسسته سازی جمله فشار - با توجه به حضور سطح آزاد و به ویژه اختلاف جرم حجمی بالای دو فاز سیال مورد بررسی مثل آب و هوا - از میانیابی جدید دو تکه استفاده شده است، که جزئیات بیشتر در این رابطه، در مرجع [3] وجود دارد. جمله پخش، با استفاده از میانیابی اور- ریلکسد - Over-Relaxed - Interpolation محاسبه شده است .[11] در نهایت، با جمله گرانش نیز مشابه جمله غیردائم برخورد شده است.تمامی گسسته سازی های مکانی، بر روی سلول چهار وجهی پیاده شده و در ذخیره اطلاعات نیز، از چیدمان هم مکان - Colocated - Arrangement استفاده گردیده است. در این شرایط، تمامی کمیت های اصلی جریان در مرکز سلول محاسبه شده و تنها شار جابجایی بر روی سطوح سلول محاسبه و ذخیره می گردد. به علاوه، در محاسبه شار جابجایی روی سطح نیز، باید از روش رای و چو - Rhie and Chow - استفاده نمود .[12]
3.الگوریتم حل
در استفاده از روش شبکه های روی هم در ساده ترین حالت - حضور تنها یک جسم متحرک در دامنه محاسباتی مثل موجساز - ، یک شبکه ثابت کارتزین غیر یکنواخت در تمامی دامنه محاسباتی و یک شبکه متحرک و متصل به موجساز در حول آن، در آغاز حل تولید شده و تا انتها وجود خواهند داشت. درواقع، با جابجایی شبکه روافتاده که حرکات جسم متحرک - موجساز - را دنبال می نماید، دامنه محاسباتی در هر گام زمانی تغییر نموده و میدان حل بروز می شود.برقراری ارتباط مناسب بین شبکه روافتاده و شبکه زمینه، مهم ترین مسأله پیش رو در استفاده از روش شبکه های روی هم می باشد. برای برقراری این ارتباط، نخستین گام تعیین هویت سلول های موجود در شبکه ها می باشد. هر سلول در روش شبکه های رو هم یکی از نقش های زیر را خواهد داشت:
·نقش گسسته سازی : - Discretisation - معادلات حاکم بر روی این سلول ها به صورت معمولی گسسته می شود.
·نقش میانیابی : - Interpolation - معادله حاکم بر سلول میانیابی یک شبکه، با میانیابی از سلول های مجاور آن در شبکه دیگر استخراج شده و تعداد سلول های درگیر، بستگی به دقت میانیابی دارد. سلول های میانیابی در واقع یک لایه را برای هر شبکه ایجاد نموده و نقش انتقال اطلاعات بین شبکه ای را - به صورت بقائی و یا غیر بقائی - - Non/Conservative - بر عهده دارند. میانیابی های بقائی سعی در حفظ بقاء کمیت در حال انتقال بین شبکه ها داشته و با پیچیدگی های فراوانی همراه می باشند. در تحقیق حاضر از میانیابی ساده غیر بقائی مرتبه دوم برای استخراج کمیت درمرکز سلول میانیابی - - I با استفاده از مرکز سلول میزبان - H - - Host Cell - و چهار همسایه آن در فضای دو بعدی استفاده گردیده و نتایج بدست آمده بیانگر کارایی آن می باشد
که در این روابط، r بردار متصل کننده مبدأ دستگاه مختصات به سلول ها، V H حجم سلول میزبان و A f مساحت سطوح سلول میزبان است.فعالیت زمان گیر پیش رو در استخراج معادله مناسب برای سلول های میانیابی یک شبکه، یافتن سلولی از شبکه دیگر است که مرکز سلول میانیابی در آن قرار دارد. این سلول، میزبان - Host - نام داشته و الگوریتم های مختلفی به منظور یافتن آن وجود دارد. تحقیق حاضر از روش اولیه، ساده و زمان بر بررسی تمام سلول ها - Brute-Force Algorithm - برای تعیین موقعیت اولیه سلول های میزبان استفاده نموده و در ادامه، روش پیشرفته و سریع همسایه به همسایه [13] - Neighbor to Neighbor - را بکار برده است. بدین ترتیب، در رویه یافتن سلول های میزبان برای سلول های میانیابی در عین سرعت، از مشکلات احتمالی روش همسایه به همسایه نیز کاسته شده است.
• نقش غیرفعال : - Inactive - معادله ای برای این سلول ها وجود نداشته و مقدار آنها نقشی در حل دستگاه معادلات نخواهد داشت. این سلول ها در واقع بخشی از سلول های شبکه زمینه هستند که شبکه روافتاده و سازه بر آنها منطبق شده است. در این نواحی، معادلات بر روی شبکه روافتاده حل شده و نیازی به سلول های شبکه زمینه در این ناحیه وجود ندارد. فعالیتی که به منظور یافتن سلول های غیرفعال انجام می شود، برش حفره - Hole Cutting - نامیده می شود، زیرا با حذف سلول های یاد شده در شبکه زمینه، در واقع یک حفره در آن ایجاد می شود .[3]پس از تعیین هویت سلول های موجود در دو شبکه مسأله حل شده و با توجه به حرکت شبکه روافتاده - که به سازه متصل است - بر روی شبکه زمینه، هویت برخی از سلول ها در طول زمان حل تغییر نموده و نیاز به تکرار برش حفره وجود دارد.
در ادامه و با ساختن معادله برای تمامی سلول ها، نوبت به سرهم کردن معادلات سلول های دو شبکه و ساخت یک دستگاه معادلات جبری در برگیرنده تمامی سلول های محاسباتی می رسد. بدین ترتیب، امکان حل همزمان معادلات دو شبکه بوجود می آید. رویکرد دیگر در این زمینه، حل متوالی بر روی دو شبکه تا رسیدن به همگرایی است که با مشکلات متعددی همراه است .[5] ساخت دستگاه معادلات واحد، با شماره گذاری مجدد شبکه روافتاده - با توجه به تعداد سلول های شبکه زمینه - به سادگی انجام می شود. ذکر این نکته لازم است که در برخورد با معادلات حاکم بر سلول های میانیابی، می توان به صورت صریح و یا ضمنی عمل نمود. در تحقیق حاضر، معادلات یاد شده به صورت ضمنی در روند حل وارد شده اند.با توجه به موارد بیان شده، الگوریتم کلی حل مسأله در شکل 1 نمایش داده شده است.
