پاورپوینت مبانی احتمال

بخشی از پاورپوینت

اسلاید 1 :

احتمال مهندسي

فصل دوم: مباني احتمال

اسلاید 2 :

فهرست مطالب
آزمايش تصادفي

قوانين مجموعه‏ها

اصول و قضاياي مجموعه‏ها

فضاي نمونه با نتايج هم شانس

مثال‏هاي مربوط

اسلاید 3 :

آزمايش تصادفي

آزمايش تصادفي :
آزمايشي که نتيجه آن از قبل به طور قطعي معلوم نباشد
مانند پرتاب سکه، پرتاب تاس، پيش بيني نتيجه فوتبال

فضاي نمونه:
تمام حالتهاي ممکن براي يک ازمايش تصادفي (قرارداد با S نشان مي دهيم)
مثال: در پرتاب سکه {H,T} و در پرتاب تاس {1,2,3,4,5,6}
پيشامد: هر زير مجموعه از فضاي نمونه (قرارداد: نشان دادن پيشامد با حروف بزرگ)
پيشامد ساده: پيشامد داراي يک عضو
پيشامد مرکب: پيشامد داراي يک عضو

اسلاید 4 :

آزمايش تصادفي

مثال: در پرتاب تاس
E: وقوع عدد 2: پيشامد ساده
F: وقوع عدد بزرگتر از 4: پيشامد مرکب
نکته
اگر نتيجه‏اي از يک پيشامد E رخ دهد گوييم آن پيشامد رخ داده است.
بنابراين هميشه فضاي نمونه S رخ داده است.
قوانين مجموعه‏ها براي پيشامدها برقرار است

اسلاید 5 :

قوانين مجموعه ها
استفاده از دياگرام ون

اسلاید 6 :

قوانين مجموعه ها
توزيع اشتراک روي اجتماع و بالعکس

قوانين دمورگان

تعميم قوانين دمورگان

اسلاید 7 :

اصول احتمال
تعريف احتمال پيشامد
نسبت تعداد دفعات رخ دادن پيشامد A در n آزمايش وقتي که n به سمت بينهايت ميل مي کند.

اصول احتمال

اسلاید 8 :

قضاياي احتمال

اسلاید 9 :

تعميم قضيه اجتماع

اسلاید 10 :

فضاي نمونه ي هم شانس

فضاي نمونه را هم شانس گوييم اگر اگر همه پيشامدهاي ساده هم احتمال باشند.

مثال: پرتاب تاس

مثال: احتمال رخ دادن مجموع 6 در پرتاب دو تاس (فضاي هم شانس براي هر تاس)

اسلاید 11 :

مثال

احتمال آنکه در پرتاب 4 تاس حداقل عدد6 يکبار ظاهر شود؟
راه حل اول : حل مستقيم
A1: يکبار 6 ظاهر شود
A2: دوبار 6 ظاهر شود
A3: سه بار 6 ظاهر شود
A4: چهار بار 6 ظاهر شود

راه حل دوم: استفاده از متمم مجموعه

Ac: در پرتاب 4 تاس هيچ هدد 6 نباشد

اسلاید 12 :

مثال

در ظرفي شامل 4 توپ قرمز، 5 توپ سياه و 7 توپ سفيد وچود دارد. اگر از اين ظرف سه توپ انتخاب کنيم احتمال آنکه دو توپ سفيد و يک توپ سياه باشد چقدر است؟
راه حل اول: برداشتن همزمان 3 توپ (ترکيب)

راه حل دوم: برداشتن يکي يکي توپها (ترتيب)

اسلاید 13 :

مثال
اگر در اتاقي n نفر باشند احتمال آنکه هيچ دو نفري در يک روز به دنيا نيامده باشند چقدر است؟

حل: براي نفر اول 365 روز وجود دارد، نفر دوم همه روزها به غير از روز تولد نفر اول، نفر دوم همه روزها به غير از روز تولد نفرات اول و دوم و.
بنابراين احتمال آن به صورت زير است:

نکته بسيار جالب: اگر n>23 باشد احتمال کمتر از 0.5 است.

اسلاید 14 :

مثال
8 رخ در يک صفحه شطرنج قرار گرفته اند. احتمال آن را حساب کنيد که آنها هم را تهديد نکنند.

حل: رخ اول در 64 خانه مي تواند قرار گيرد و همه اعضاي
سطر و ستون را تهديد مي کند. همان طور که در شکل مشخص
است تعداد آنها 15 است. بنابراين رخ دوم در 49=15-64 خانه مي تواند قرار گيرد. براي رخ دوم نيز 15 خانه وجود دارد ولي به جهت آنکه دو خانه با حذفيات بالا اشتراک دارد به جاي 15 برابر 13 خواهد شد. 36=13-49 و به همين ترتيب ادامه پيدا مي کند.

اسلاید 15 :

مثال
در رشته مهندسي برق دانشگاه 60 نفر ثبت نام کرده اند. اگر 35 نفر در درس مدار 1، 30 نفر در درس رياضي مهندسي، 28 نفر در در، 27نفر در درس الکترومغناطيس، 22 نفر در دو درس مدار 1و رياضي مهندسي، 20 نفر در دو درس مدار 1 و الکترومغناطيس، 18 نفر در دو درس رياضي مهندسي و الکترومغناطيس و 15 نفر در هر سه درس ثبت نام کرده اند. يک نفر به تصادف از اين کلاس نتخاب شده است.
الف) با چه احتمالي وي تنها در دو درس ثبت نام کرده است؟
ب) با چه احتمالي وي فقط در درس مدار 1 ثبت نام کرده است؟
پ) با چه احتمالي در هيچ درسي ثبت نام نکرده است؟

اسلاید 17 :

مثال
در ظرفي 52 توپ از 4 رنگ مختلف وجود دارد که هر يک از آنها از شماره‏هاي 1 تا 13 شماره گذاري شده اند. 5 توپ را به تصادف و بدون جايگذاري از اين از ظرف بيرون مي آوريم. احتمال آنکه اين 5 توپ همرنگ نبوده و شماره هاي آنها پشت سر هم باشد را محاسبه کنيد.

حل
تعداد کل حالات

حالاتي که اعداد مي توانند پشت سر هم باشند

اسلاید 18 :

ادامه مثال
حالاتي که 5 توپ همرنگ نيستند
کل حالات

حالاتي که توپها همرنگ هستند.

حالاتي که همرنگ نيستند 1020=4-1024

احتمال

اسلاید 19 :

مثال
در ظرفي 52 توپ از 4 رنگ مختلف وجود دارد که هر يک از آنها از شماره‏هاي 1 تا 13 شماره گذاري شده اند. 5 توپ را به تصادف و بدون جايگذاري از اين از ظرف بيرون مي آوريم. احتمال آنکه 4 توپ از اين 5 توپ شماره 7 باشند را محاسبه کنيد.
حل
تعداد کل حالات

اولين توپ حالت، دومي و سومي و چهارمي يک عدد و عدد پنجم 48 حالت (همه حالات بدون 4 عدد انتخابي)

اسلاید 20 :

مثال
در ظرفي 52 توپ از 4 رنگ مختلف وجود دارد که هر يک از آنها از شماره‏هاي 1 تا 13 شماره گذاري شده اند. 5 توپ را به تصادف و بدون جايگذاري از اين از ظرف بيرون مي آوريم. احتمال آنکه 3 توپ از اين 5 توپ داراي يک شماره و 2 دوتوپ ديگر شماره ديگر باشند را محاسبه کنيد.

حل
تعداد کل حالات

اولين عدد 13 انتخاب دارد و بايد از 4 رنگ آن 3 انتخاب شود. براي عدد دوم 12 حالت وجود دارد و بايد از 4 رنگ مربوط به آن 2 رنگ انتخاب شود