بخشی از پاورپوینت

--- پاورپوینت شامل تصاویر میباشد ----

اسلاید 1 :

Basic Idea of Linear Algebra-Part II

Topics to be covered include:

Functions of Square Matrix.

yapunov Equation.

Some Useful Formula.

vQuadratic Form and Positive Definiteness.

 Singular Value Decomposition.

 Norm of Matrices

اسلاید 2 :

آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید

  • محاسبه توابع ماتریسمربعی
  • Calculation of Function of Square Matrix    
  • چند جمله ای مینیمال و معادله مشخصه
  • Minimal Polynomials and Characteristic Polynomials
  • قضیه کیلیهمیلتون
  • Cayley-Hamilton Theorem
  • چند جمله ای های معادل بر روی طیف ماتریسA
  • Equal Polynomials on the Spectrum of A  
  • معادله لیاپانوف و حل آن
  • Lyapunov Equation and its Solution
  • ماتریس متقارن و فرم مربعی و ماتریسمتعامد
  • Symmetric Matrix and Quadratic Form and Orthogonal Matrix
  • ماتریس مثبت/منفی معین
  • Matrix and PD/ND Matrix
  • تجزیه مقادیر تکین
  • Singular Value Decomposition
  • محاسبه فضای رنج و پوچ از تجزیه مقادیر تکین
  • Null Space and Range Space From SVD
  • نرم ماتریسی
  • Norm of Matrices

اسلاید 3 :

چند جمله ای مونیک:

چند جمله ای که ضریب بزرگترین درجه آن برابر یک باشد چندجمله ای مونیک نامیده می شود. مثلا

چند جمله ای مینیمال:

چند جمله ای مونیک با کمترین درجه که ماتریسA آن را برابر ماتریس صفر کند چند جمله ای مینیمال

ماتریس A نامیده می شود.

چند جمله ای مشخصه:

چند جمله ای مشخصه ماتریسA با ابعاد n´n عبارتست از:

اسلاید 4 :

چند جمله ای مشخصه ماتریسA با ابعاد n´n عبارتست از:

محاسبه چند جمله ای مینیمال:

چند جمله ای مونیک با کمترین درجه که ماتریسA آن را برابر صفر کند چند جمله ای مینیمالماتریس

 A نامیده می شود.(با توجه به خاصیت نیل پوتنت)

قضیه 3-1 (قضیه کیلیهمیلتون): ماتریسA در معادله مشخصه خود صادق است.

اسلاید 5 :

چند جمله ای مشخصه ماتریسA با ابعاد n´n عبارتست از:

محاسبه چند جمله ای مینیمال:

مثال 3-2: مطلوبستچند جمله ای مشخصه و چند جمله ای مینیمالماتریسهای زیر

اسلاید 6 :

محاسبه  h(l) برای حالتی که ماتریس  A دارای مقادیر ویژه تکراری است.

قضیه 3-2: معادله f(λ) و ماتریسA با ابعاد n´n با معادله مشخصه زیر را در نظر بگیرید.

چند جمله ای  h(l) از درجه n-1 و معادلf(λ)  بر روی طیف Aبصورت زیر تعریف میشود.

پس از حل n معادله n مجهول زیر ضرایب مجهول h(l) محاسبه می شود.

اسلاید 7 :

قضیه 3-5:

1- ماتریسH، با ابعاد m´n و فرض m ≥ n دارای رتبه nاست اگر و فقط اگر ماتریسHTH که بعد

n´n دارد دارای رتبه n بوده یا det(HTH)≠0

2- ماتریسH، با ابعاد m´n و فرض m £ n دارای رتبه mاست اگر و فقط اگر ماتریسHHT که بعد

m´m دارد دارای رتبه m بوده یا det(HHT)≠0

قسمت اول را اثبات می کنیم و قسمت دوم بصورت مشابه اثبات می شود. واضح است که باید در طرف قضیه اثبات شود یعنی نشان دهیم:

فرض کنیم رتبه H مساوی n نباشد پس بردار غیر صفر vوحود دارد به قسمی که:

فرض کنیم رتبه HTH مساوی n نباشد پس بردار غیر صفر vوحود دارد به قسمی که:

اسلاید 8 :

قضیه 3-6: فرض کنید که MÎCl´m در اینصورت ماتریسSÎRl´m و ماتریسهاییکانیکه YÎCl´l

و که UÎCm´m وجود دارد به قسمی که:

که در رابطه فوق si ها عبارتست از.......................

ستونهای ماتریسY عبارتست از.......................

ستونهای ماتریسU عبارتست از.......................

اسلاید 9 :

 نرم برداری را می توان به ماتریسها هم گسترش داد.

Sum matrix norm (extension of 1-norm of vectors) is:

Frobenius norm (extension of 2-norm of vectors) is:

Max element norm (extension of max norm of vectors) is:

اسلاید 10 :

تمرین 3-3: نشان دهید در یک ماتریسمربعی با مقادیر ویژه مجزا،  بردارهای ویژه از هم مستقل هستند. (راهنمایی: اثبات با برهان خلف و تشکیل                                                                      )

تمرین 3-4: نشان دهید برای یک ماتریسمربعی متقارن بردار ویژه توسعه یافته نداریم و ماتریس تبدیل به فرم قطری می تواند متعامد باشد. (راهنمایی: اثبات با برهان خلف)

در متن اصلی پاورپوینت به هم ریختگی وجود ندارد. برای مطالعه بیشتر پاورپوینت آن را خریداری کنید