بخشی از مقاله
خلاصه
پژوهشگران الگوسازي عضو قابی ناکشسان را برپایه مومسانی پیشرونده با شیوههاي سختی، نرمی و درهم سامان دادهاند. شیوه سختی، از آن رو که35 mmساختاري نظاممند دارد، دلخواه تحلیلگران است. اما عضوهاي قابی ساخته شده با این روش، میدان خمیدگی را که در پی رفتار ناکشسانی غیرخطی شدهاند، خطی برآورد میکنند.
براي برآمدن از این چالش، تحلیلگران یا عضو قابی را با چندین جزء شبکهبندي میکنند، و یا از عضو قابی ساخته شده به شیوه نرمی بهره میجویند. هر یک از این دو راهکار کاستیهایی دارند. در این مقاله، روشی براي ساخت عضو قابی به شیوه سختی پیشنهاد میشود که توانایی برآورد درست میدان خمیدگی را برپایه اندازه نرمی مقطعها دارد. با بهرهجویی از این عضو می توان از ساختار ساده روش سختی در تحلیل بهره جست. توانمندي این جزء با تحلیل بار افزون یک نمونه قابی نشان داده میشود.
1. مقدمه
پیشرفت هاي نوین در زمینه سخت افزار و نرم افزار رایانه اي، مهندسان سازه را بر آن داشته تا براي طراحی بهینه تر ساختمان ها، به ویژه در برابر بارهاي لرزه اي از روش هایی کارآتر چون طراحی بر پایه کارکرد بهره جویند. چنین روش هاي طراحی، نیازمند شیوه هاي تحلیلی پیچیده تري می باشند که رفتار فراکشسانی را نیز در بر گیرند. آیین نامه هاي ساختمانی چون [1] FEMA-356 و [2] ATC -40، به روشنی به کارگیري شیوه هاي تحلیل ایستایی غیرخطی - NSP - یا همان تحلیل بار افزون - Pushover - را سفارش می کنند.
تا کنون، الگوسازي هاي گوناگون عضوهاي قابی براي به کارگیري در تحلیل فراکشسانی قاب هاي ساختمانی پیشنهاد شده اند. در این میان، الگوسازي مومسانی پیش رونده، که فرآیند گسترش و پیشروي ویژگی مومسانی را در دوره بارگذاري پیگیري و رصد می کند، دو ویژگی سادگی و دقت شایسته تحلیل را همراه خود دارد. یکی از ویژگی هاي ارزشمند الگوهاي مومسانی پیش رونده سازگاري نزدیک آنها با روش آشناي جزء محدود است.
در یک نگاه فراگیر به روش هاي الگوسازي ناکشسانی پیش رونده عضو قابی، می توان سه دسته رابطه سازي جزء محدود را شناسانید که بر پایه سه شیوه فراگیر و شناخته شده وردشی به دست می آیند. این سه دسته، با نام هاي رابطه سازي سختی، نرمی، و درهم شناخته می شوند. در این میان، رابطه سازي سختی بیش از همه شناخته شده است، و در تحلیل هاي کشسانی، گزینه اي بی هم آورد به شمار می آید. اما این رابطه سازي در حوزه فراکشسانی با چالش هایی رو به روست. از این رو، پژوهشگران در الگوسازي هاي ناکشسانی، روش هاي نرمی و درهم را نیز آزموده اند
در روش سختی از درونیاب هاي هرمیتی براي درونیابی میدان جا به جایی تیر بهره می جویند. کاربرد این درونیاب هاي هرمیتی براي گستره فراکشسانی چندان درست و روا نیست. تحلیل ناکشسانی سازه ها با بهره جویی از چنین جزء هاي محدود قابی، به ویژه در بخش هایی از سازه که در گستره رفتار ناکشسانی بسیار پیش رفته اند، و همچنین در بارگذاري هاي چرخه اي، پاسخ هاي نادرستی را به دست می دهد .[5] به سخن دیگر، ماتریس B - x - که در رابطه سازي به روش سختی و با بهره جویی از درونیاب هاي هرمیتی مرتبه 3، نمایشی خطی دارد، نماي درستی از نمودار خمیدگی تیر را به دست نمی دهد. زیرا که نماي نمودار خمیدگی تیر بسیار پیچیده است، و همراه با گسترش فرآیند ناکشسانی پیوسته دگرگون میشود. براي کاستن از پیامدهاي این تقریب و بهبود پاسخ هاي تحلیل، ناگزیر باید شمار بیشتري جزء محدود تیري براي پوشش عضو قابی به کار رود.
چنین گسسته سازي ریزتر به ویژه در بخش هایی از عضو قابی بایسته خواهد بود که در آنها رفتارهاي فراکشسانی بالایی پدیدار می شوند. به دنبال این شبکه بندي هاي ریز، گاه همگرایی عددي فرآیند تحلیل آسیب خواهد دید. افزون بر این، پوشاندن عضو قابی با چندین جزء محدود چندان دلخواه تحلیلگران نیست؛ مهندسان با این گونه الگوسازي آشنایی ندارند، و گرایشی بدان نشان نمی دهند. با این همه، شیوه آسان و نظام مند پیاده سازي رایانه اي روش سختی آن را از دیگر روش هاي رابطه سازي جزء محدود برجسته می کند.
ناکارآمدي هاي شیوه رابطه سازي سختی در تحلیل هاي ناکشسانی پژوهشگران را به سوي بهره گیري از دیگر روش هاي رابطه سازي کشانید.
از آن میان می توان رابطه سازي به شیوه نرمی را نام برد که در الگوسازي جزء هاي محدود ناکشسان بسیار شایسته است. برتري این شیوه رابطه سازي در آن است که نمودار نیروها و لنگرهاي درونی را در راستاي عضو به خوبی و درستی الگوسازي می کند، بی آن که به رفتار فراکشسانی، هر چند پیچیده، وابسته باشد. این شیوه رابطه سازي به ویژه در تحلیل هاي لرزه اي و آن جا که بتوان از بارهاي گسترده وزنی در برابر بارهاي جانبی لرزه اي چشم پوشید، پاسخ هایی بسیار بهتر را در سنجش با شیوه رابطه سازي سختی به دست می دهد.
کاستی بنیادین شیوه نرمی در پیوند دادن میدان لنگرهاي درونی تیر به جا به جایی ها و دوران هاي گرهی است. این کاستی از آن جا بر می آید که جزء بر پایه روش نرمی سامان یافته، با این رو در فرآیند تحلیل رایانه ايِ استوار بر روش سختی به کار گرفته شده است، و هیچ تابع درونیابی انگاشته نشده است که جا به جایی ها و دوران هاي گرهی جزء را به کرنش هاي سرتاسري آن پیوند دهد.
این کاستی بنیادي دردسرهاي فراوانی را در فرآیند تحلیل ناکشسانی پدید آورده است. شیوه هایی که تاکنون براي برآمدن از این چالش پیشنهاد شده اند، پیچیده و نااستوارند، و هرگز به سادگی و استواري فرآیند تحلیلی روش سختی نمی رسند .[6] یادآوري می کند، در روش سختی، پیوند میان بردار لنگرهاي گرهی تیر با میدان لنگرهاي درونی تیر با شناسایی ماتریس جا به جایی گرهی – خمیدگی،B ، به آسانی انجام می پذیرد.
در مقاله پیش رو، عضو قابی ناکشسان با روش سختی چنان سامان می یابد که می تواند نمودار پیچیده خمیدگی جزء را در حوزه فراکشسانی به درستی ارزیابی نماید. بدین گونه، ماتریس جا به جایی گرهی – خمیدگی ، که در هر گام تحلیل، بر پایه اندازه نرمی مقطع ها بهنگام می شود، در دسترس خواهد بود.
با داشتن این ماتریس، می توان ماتریس سختی مماسی جزء قابی ناکشسان را بر پایه روش سختی برپا کرد، و از آن در فرآیند تحلیل بهره جست. پس از انجام تحلیل در گام کنونی، و آشکار شدن اندازه جا به جایی ها و دوران هاي گرهی عضو قابی، با بهره جویی از ماتریس بهنگام شده ، نمودار درست خمیدگی جزء پیدا خواهد شد. بدین گونه، دیگر نیازي به فرآیندهاي پیچیده پیشنهاد شده براي یافتن خمیدگی مقطع ها و انجام گام شناسایی حالت جزء نخواهد بود.
عضو قابی پیشنهاد شده، در نرم افزار [7] OpenSees پیاده سازي شده است، و یک نمونه سازه قابی با به کارگیري آن تحلیل شده است. پاسخ هاي به دست آمده، کارآمدي عضو پیشنهادي را در کاهش هزینه و افزایش دقت، براي انجام تحلیل بار افزون قاب هاي دو بعدي نشان می دهند.
2. رابطه سازي جزء محدود قابی ناکشسان
در رابطه سازي پیش رو، جزء محدود قابی با رفتار ناکشسان، زیر بارگذاري دلخواه ایستا بررسی می شود. با انگاشتن پنداره تغییرمکانهاي کوچک و نگره لاگرانژي در نوشتن معادله هاي تعادل، رفتار غیرخطی هندسی نادیده گرفته می شود. رابطه سازي کنونی برپایه نگره اولر – برنولی سامان می یابد، و از این رو، کرنش هاي برشی عضو قابی ناچیز انگاشته خواهند شد.
همچنین، از اندرکنش رفتار محوري عضو قابی با کارکرد خمشی آن چشم پوشی می شود. از این رو در بررسی عضو قابی پیشنهادي، به رابطه سازي رفتار محوري پرداخته نمی شود. همچنین، کارکرد پیچشی عضو قابی نادیده انگاشته خواهد شد. بدین گونه، عضو قابی داراي 2 گره در دو سر، و 2 درجه آزادي خیز و دوران براي هر گره، همانند شکل - 1 - می باشد. شایان گفتن است،
شکل -1 عضو قابی ناکشسان اولر – برنولی با رفتار خمشی
همه رابطه هایی که از این پس آورده خواهند شد، در سطح جزء، و نه سازه، خواهند بود.
براي انجام تحلیل ناکشسانی و حل معادله هاي غیرخطی تعادل ایستا، بیشتر از روش هاي برافزایشی گام به گام بهره می جویند. در چنین روش هایی، پاسخ معادله غیرخطی تعادل سازه را با حل پی در پی یک دسته دستگاه معادله هاي خطی برافزایشی به دست می آورند. این دستگاه معادله ها
براي بارگذاري ایستا، در گام i از برافزایش n براي هر عضو قابی همانند زیر خواهد بود:
در رابطه بالا، u اندازه برافزایش ها در جا به جایی هاي گرهی عضو قابی هستند. P بردار بارگذاري بیرونی است. ماتریس K ماتریس سختی مماسی می باشد، و بسته به گونه روش حل عددي، در هر یک یا چند گام تحلیل بر پایه پیش روندگی فرآیند مومسانی بهنگام می شود.
پس از انجام تحلیل در هر گام، برافزایشی از جا به جایی هاي گرهی پیدا می شود، و از مجموع این برافزایش ها، اندازه جا به جایی هاي گرهی تا پایان هر گام آشکار خواهد شد. در ادامه، براي سادگی در نگارش، از بازنویسی بالانویس ها، آن گونه که در رابطه - 1 - انجام پدیرفته است، خودداري می شود.
در رابطه سازي کنونی، براي ساخت ماتریس سختی مماسی از شیوه سختی بهره جویی می شود. براي پیاده سازي روش سختی و یافتن ماتریس سختی عضو قابی، درجه هاي آزادي دیداري را یک به یک، و در حالی که دیگر درجه هاي آزادي جزء گیردار شده اند، جا به جایی یکه می دهند. آن گاه، نیروهاي پدید آمده در درجه هاي آزادي را بازیابی می کنند، تا بدین گونه، ستون هاي ماتریس سختی جزء محدود، یک به یک، پیدا شوند. از دیدگاه ریاضی، با انجام این کار، بردارهاي پایه کانونی براي میدان هاي ناوابسته جا به جایی، یک به یک، در جزء محدود بازسازي و برپا می شوند.
آشکار است که دسته بردارهاي کانونی، تنها دسته بردارهاي پایه براي میدان هاي جا به جایی نیستند؛ و می توان بیشمار پایه براي پوشش دهی این میدان گزینش کرد. تنها بایسته براي این دسته بردارها آن است که ناوابسته خطی باشند، تا بتوانند همه بردارهاي میدان را پوشش دهند.
گام نخست در رابطه سازي کنونی، گزینش بردارهاي پایه میدان هاي جا به جایی است. براي سادگی کار، بهتر آن است که به جاي به کارگیري دسته بردارهاي کانونی، بردارهاي پایه را به گونه اي برگزید که بتوان آنها را در دو دسته بردارهاي پایه همتاي جا به جایی هاي جسم سخت، و بردارهاي پایه همتاي حالت هاي کرنش، که کارمایه کرنشی انباشت می کنند، همانند زیر، افراز نمود:
ماتریس Φq آرایش ستونی بردارهاي پایه گزیده شده براي پیاده سازي روش سختی است، که از این پس، با نام ماتریس پایه شناسایی خواهد گردید.
زیر نویس q نشان دهنده تعمیم یافتگی ماتریس پایه است. در زیرماتریس Φqr ، بردارهاي پایه همتاي جا به جایی هاي سخت جزء محدود جاي می گیرند. در زیرماتریس Φqs نیز بردارهاي پایه همتاي حالت هاي کرنشی جزء محدود، آرایش ستونی یافته اند.
در فرآیند رابطه سازي پیشنهادي، پس از گزینش بردارهاي پایه، آن ها را بایستی یک به یک در جزء محدود برپا کرد. با برپاسازي هر بردار پایه، میدان هاي کرنش هاي جزء براي جا به جایی هاي گرهی همتاي آن بردار پایه شناسایی خواهند شد. براي این کار، از اصل نیروهاي مجازي بهره جسته می شود. با انگاشت برپایی رابطه سازگاري میان جا به جایی هاي گرهی همتاي بردار پایهو میدان خمیدگی همتاي آن κk ، وردشی از نیروها و تنش هاي مجازي در جزء محدود سامان می گیرد، و اندازه هاي کار مجازي بیرونی و درونی برابر یکدیگر نهاده می شوند:
در این رابطه، κk - x - و mk - x - به ترتیب، میدان هاي خمیدگی و لنگر درونی پدید آمده در عضو قابی، در پی برپایی بردار پایه φqk می باشند.
بردار δPk نیز بردار نیرو - لنگر - هاي گرهی در درجه هاي آزادي دیداري براي بردار پایه φqk است، و نمایشی همانند زیر دارد:
در این رابطه، δPdk زیربردار دلخواهی از نیروهاي گرهی عضو قابی است که شمار درایه هاي آن برابر با شمار نیرو - لنگر - هاي درونی مقطع عضوقابی، در این جا 2 ، می باشد. بردار δPik نیز دربردارنده دیگر نیرو - لنگر - هاي گرهی عضو قابی است. در این پژوهش، بردار δPdk همانند زیر انگاشته می شود
