بخشی از مقاله
چکیده
تحلیل دینامیکی سازهها تحت اثر بارهای متحرک یکی از مسائل مهم مهندسی بوده و تاکنون توسط پژوهشگران مختلفی مورد مطالعه قرار گرفته است. در این میان، ورقهای مستطیلی به دلیل کاربرد وسیعشان در زیرشاخههای مختلف مهندسی نظیر عمران و مکانیک همواره مورد توجه طراحان و پژوهشگران بوده است. لیکن پرواضح است که اثرات اجسام متحرک با سرعت بالا باید با دقت بیشتری مورد بررسی قرار گیرد برای نمونه میتوان به خطوط راهآهن و پلها در صنایع حمل و نقل اشاره نمود. در این مقاله، با استفاده از توابع پتانسیل تغییرمکان، حل دقیق صفحه مستطیلی ضخیم بر روی چهار لبه با تکیهگاه ساده تحت اثر بار متحرک با مسیر مورب ارائه شده است. دستگاه معادلات حاکم حاصله بر حسب توابع پتانسیل تغییرمکان در محدوده زمان و به روش توأم جداسازی متغیرها و تبدیل انتگرالی لاپلاس حل و با اعمال دقیق شرایط اولیه و نیز شرایط مرزی، ضرایب ثابت حاصل از حل معادله دیفرانسیل تعیین و سپس با تبدیل معکوس لاپلاس پاسخها در هر نقطه از صفحه تعیین میشود. به منظور اعتبارسنجی، نتایج حاصل از این پژوهش با نتایج بدست آمده از تئوری کلاسیک صفحات برای صفحات نازک مقایسه شده است.
واژگان کلیدی: تحلیل دینامیکی، توابع پتانسیل، صفحات مستطیلی، بار متحرک
.1 مقدمه
عملکرد دینامیکی سازهها، تحت تاثیر وسائل نقلیهای که از روی آنها عبور میکنند، باید مورد تجزیه و تحلیل قرار گیرد تا یک طراحی ایمن و منطقی از نقطه نظر سازهای صورت پذیرد. پلهای دالی و عرشه ناوهایی که به منظور فرود و برخاستن هواپیماها مورد استفاده قرار میگیرند، میتوانند به شکل المانهای صفحه تحت اثر بار متحرک مدل شوند. در مهندسی مکانیک، دستگاههای دقیق ماشینکاری با سرعت بالا نیز مطالعه سازه تحت اثر بار متحرک را طلب میکند - نوائینیا و همکاران، . - 1394 تحلیل این سازهها به دلیل رفتار دو بعدی آنها در مقایسه با تیرها پیچیدهتر است و این پیچیدگی با افزایش ضخامت سازه، به دلیل اثر کرنش برشی و نیز اضافه شدن پارامتر زمان در تحلیل دینامیکی به مراتب بیشتر میشود - نوائینیا، . - 1393
حجم گستردهای از پژوهشهای تحلیلی و عددی انجام شده در زمینه بار متحرک تاکنون مربوط به سازههای یک بعدی یعنی کابلها و تیرها بوده است که دارای معادلات حاکم سادهتری در مقایسه با صفحات هستند. همچنین طیف نسبتاً وسیع دیگری از تحقیقات بر روی صفحات نازک انجام شده است. در سال 1973، فرایبا - Fryba, 1999 - در کتاب جامع خود با عنوان ارتعاش جامدات و سازهها به بررسی طیف وسیعی از مسائل مرتبط به این موضوع با روشهایی نظیر تبدیلات انتگرالی و نیز برخی روشهای تقریبی پرداخته است. در سال 1988 طاهری و تینگ - Taheri and Ting, 1988 - 1 پاسخ دینامیکی صفحات تحت اثر بارهای متحرک با شرایط مرزی دلخواه را بوسیلهی یک الگوریتم برمبنای روش مقاومت سازه ارائه دادند.
برای این منظور از تئوری کلاسیک صفحات نازک استفاده شده و الگوریتم مورد نظر محدودیتی در مورد مکان وضعیت بارها ندارد و کلیه عکسالعملهای دینامیکی میان بارمتحرک و صفحه را محاسبه میکند. شادنام، مفید و آکین - Shadnam et al., 2001 - در سال 2001 مساله را برای صفحه کیرشهف مستطیلی با چهار لبه ساده و با استفاده از روش بسط توابع ویژه مطالعه کردند. از آنجایی که مدل کردن صفحات با استفاده از تئوری کلاسیک 2 - CPT - در محدودهی بسیار کوچکی از ضخامت صفحه دارای پاسخهای قابل قبول است، از این رو مطالعهایی نیز برروی صفحات نسبتاً ضخیم با استفاده از تئوریهای معتبرتری نظیر تئوری صفحه میندلین 3 - FSDT - انجام شده است.
گبادیان و اونی - Gbadeyan and Oni, 1994 - 4 در 1994، رفتار دینامیکی صفحات مستطیلی تحت بارهای متحرک را در پژوهشی ارزیابی کردند. در این تحقیق برای شرایط مرزی و تعداد جرمهای متحرک محدودیتی فرض نمیشود و تئوری رایلی برای رفتار صفحات مفروض است. روش حل چند منظورهی آنها براساس تبدیلات انتگرال محدود تعمیم یافته اصلاح شده و همچنین متد استروبل اصلاح شده است که حل بسته مساله و همچنین چند مثال عددی برای نشان دادن کارایی روش حل، ارائه شده است. جیجانگ وو - Wu, 2005 - 5 در سال 2005، تحلیل دینامیکی صفحات مستطیلی تحت اثر بار خطی متحرک را با استفاده از تیرهای مقیاس و قوانین مربوط به مقیاس-گذاری انجام داد.
در این پژوهش یک صفحه دو بعدی تحت بار متحرک خطی به صورت تیرهای معادل یک بعدی یا تیرهای مقیاس تحت اثر بار متمرکز متحرک فرض شده است. در سال 2006 گبادیان و دادا - Gbadeyan and Dada, 2006 - 6، اثر جرم متحرک را بر روی صفحه میندلین مستطیلی با شرایط تکیهگاهی چهار لبه ساده با استفاده از روش تفاضل محدود بررسی کردند. لی7 و همکاران - Lee et al., 2008 - در سال 2008، بر روی پاسخ دینامیکی عرشه پل با سیستم تیر و دال در یک پل موجود مطالعات تجربی انجام دادند و نتایج تحلیل با استفاده از روش تفاضل محدود را با نتایج آزمایشگاهی مقایسه کردند. دراین مطالعه نتایج بدستآمده از روش اجزای محدود با نتایج تجربی مقایسه شدهاند.
واثقی امیری و همکاران - Vaseghi - Amiri et al., 2012 در سال 2012، پاسخ الاستودینامیک صفحات ضخیم نسبی، با شرایط مرزی دلخواه تحت اثر جرم متحرک را مورد مطالعه قرار دادند. تئوری صفحه میندلین برای تعیین معادلات دیفرانسیل حاکم حرکت انتخاب و بوسیله جداسازی متغیرها و روش بسط توابع ویژه معادله حرکت صفحه FSDT به یک سری شامل توابع ویژه ارتعاش آزاد صفحه با فاکتورهای دامنهی وابسته به زمان تبدیل میشود. با صرفنظرکردن از اینرسی بین جرم و صفحه یک راه حل بسته برای حالت بار متحرک ارائه شده است. نیکخو و همکاران - Nikkhoo et al., 2014 - در سال 2014، ارتعاشات یک صفحه مستطیلی نازک را در معرض مجموعهای از بارهای متحرک بررسی کردند و به وسیلهی متد بسط توابع ویژه یک روش حل نیمه تحلیلی ارائه دادند.
استفاده از توابع پتانسیل در تحلیل سازهها نیز دور از توجه محققین نبوده است، به خصوص توابع پتانسیل تغییرمکان بدلیل کاهش تعداد معادلات، در حل مسائل الاستیک سه بعدی بسیار کارا و موثر هستند. بوسینیک، گالرکین، لاو و پاپکویچ - نوبر مجموعهی شناخته شدهای از توابع پتانسیل تغییرمکان هستند که با هم رابطه دارند. توابع پتانسیل اسکندری قادی که با تعمیم توابع پتانسیل حاکم بر محیطهای ایزوتروپ جانبی از حالت استاتیکی به دینامیکی معرفی شده است - Eskandari - Ghadi, 2005 در تحلیل محیطهای بینهایت و نیمه بینهایت به طور وسیعی به کار گرفته شده است.توابع پتانسیل تغییرمکان در تحلیل خمشی صفحات ضخیم برای اولین بار توسط نعمتزاده و همکاران - Nematzadeh et al., 2011 - در سال 2011 با موفقیت به کار گرفته شد.
سپس نوائینیا - نوائینیا، - 1393 در سال 2014، مسلمی ورکی و همکاران - Moslemi et al., 2016 - در 2016 و ناطقی بابگی و همکاران - Nateghi et al., 2016 - در 2016 به ترتیب، در زمینه تحلیل ارتعاش آزاد، کمانش و مسئله بار متحرک صفحات از توابع پتانسیل تغییرمکان مذکور با موفقیت استفاده کردهاند.در این پژوهش با استفاده از توابع پتانسیل موجود، حل دقیق معادلات سه بعدی الاستیک صفحات ایزوتروپ مستطیلی با ضخامت ثابت و بر روی تکیهگاه ساده تحت اثر بار متحرک با مسیر مورب ارائه شده است که ضمن اقناع معادلات دیفرانسیل حاکم، شرایط مرزی را دقیقاً رعایت میکند. ویژگی عمده روش ارائه شده در مقاله حاضر این است که بدون در نظرگرفتن فرضهای ساده شوندهی رایج نظیر توضیع فرضی تنش یا تغییرمکان در ضخامت صفحه و یا اعمال ضریب تصحیح برش می- توان پاسخ صفحه را بدون محدودیت در ضخامت تحت اثر بار متمرکز متحرک با هر زاویهی حرکت تعیین نمود.
.2 تئوری
یک صفحه مستطیلی ایزوتروپ با رفتار خطی به ابعاد a, b و ضخامت دلخواه ولی ثابت h در مختصات کارتزین - x, y , z - در نظر گرفته شده - شکل .1الف - که تحت اثر بار متمرکز متحرک p - x, y, t - با عرض از مبدا و زاویهی حرکت φ، مطابق شکل .1 - ب - قرار دارد. رابطهی بار متحرک به صورت زیر تعریف میشود:
