بخشی از مقاله
چکیده - هدف از انجام این کار شبیهسازی میدان نزدیک تشکیل شده در مجاورت ناهمواری های نانومتری موجود بر روی سطوح دیالکتریک و به دست آوردن نقشه مکاننگاری سطح میباشد، که کاربرد بسیار فراوانی در میکروسکوپهای نوری میدان نزدیک دارد. از آنجا که ابعاد ناهمواریها نانومتری میباشد، میبایست ابعاد سطح را بینهایت فرض نمود، هر چند در عمل ممکن است ابعاد سطوح نمونه کسری از سانتیمتر باشد.
لذا یکی از مشکلات پیشرو وجود حد های بینهایت در مسائل عددی میباشد. در این مقاله، نخست معادلات دیفرانسیلی میدان ها به روش تحلیلی به معادلات انتگرالی با حدود بینهایت تبدیل شده و سپس این معادلات انتگرالی به معادلاتی با حدود متناهی تبدیل شدهاند که برای حل به روش عددی عناصر مرزی مناسب میباشند. سپس معادلات به دست آمده به روش عددی عناصر مرزی که دارای دقت و سرعت بسیار مطلوبی است حل شدهاند و نتایج مورد تحلیل قرار گرفتهاند.
-1 مقدمه
امروزه با پیشرفت فناوری نانو در عرصه های مختلف علوم و تحقیقات، تصویربرداری نانومتری از اهمیت بسیاری برخوردار شده است. به منظور بررسی این ساختارها، همچنین ساختارهای مولکولی و خواص دینامیکی مواد، به میکروسکوپهایی با تفکیک پذیری فضایی، توان تجزیه و توان طیفی بسیار بالا احتیاج است. میکروسکوپهای نوری کلاسیک، از نظر تفکیک پذیری سرآمد همه میکروسکوپها هستند؛ اما دقت تفکیک پذیری این میکروسکوپها بوسیله حد پراش به نصف طول موج نور مرئی محدود شده است.
امروزه در علوم و فناوری، به روشهای بسیار پیشرفته که به ما در طراحی، ساخت و تحت کنترل قراردادن ساختارهای بسیار ریز کمک کند، نیاز وسیعی داریم. یکی از این روشها، روش میکروسکوپی نوری میدان نزدیک روبشی می باشد .[1-3] این روش تصویربرداری ما را قادر میسازد تا با چشمان خود به دنیای نانو وارد شویم. امروزه با ترکیب طیف سنجی و گزینشپذیری بالای میکروسکوپ طیفی کلاسیک و تفکیکپذیری بسیار بالای میکروسکوپی میدان نزدیک که به ناحیه زیر 100 نانو وارد میشود، به روشهای تصویربرداری پیشرفتهای دست یافتهاند که مورد استفاده بسیاری از تحقیقات و پیشرفتها قرار گرفته [1-8] و این روشها به ابزاری قدرتمند برای تجزیه و تحلیل سطوح مختلف بدل شده است.
بعد از ساخت اولین میکروسکوپ میدان نزدیک در سال 1984 توسط پال، تحولی بزرگ در مجامع تحقیقاتی ایجاد شد. به دنبال آن تلاشهای بسیاری برای توسعه این نوع میکروسکوپها صورت گرفت و روشهای تصویربرداری جدیدی دراین حوزه مطرح شد. از آن جمله میتوان به روشهایی مانند مد روشن سازی، مد جمعآوری و مد پراکنش اشاره نمود که بر اساس نحوه عملکرد کاوه در این میکروسکوپها، دستهبندی شدهاند. همچنین بر حسب فاصله بین نمونه و کاوه، عملکرد این میکروسکوپ به مد فاصله ثابت و مد شدت ثابت تقسیم میشوند.[1-3]
در این مقاله نخست با استفاده از اصول فیزیکی و روشهای ریاضی معادلات انتگرال مرزی با حدود نامتناهی به معادلات انتگرال مرزی با حدود متناهی تبدیل شده است. برای انجام این کار، میدان را به دو بخش میدان انتشاری و میدان میرا - میدان نزدیک ناهمواریها که به صورت یک اختلال روی میدان انتشاری فرض شده است - تجزیه کردهایم.
سپس با در نظر گرفتن این نکته که با فاصله گرفتن به اندازه چند طول موج از ناهمواریها، دامنه میدانهای میرا صفر میگردند، معادلات انتگرالی متناهی روی مرز دو ناحیه بهدست آمدهاند و به روش عددی عناصر مرزی، حل گردیده است. در نهایت با محاسبه میدان نزدیک در مجاورت ناهمواریها، نقشه مکاننگاری سطح را شبیهسازی کردهایم.
روش عددی عناصر مرزی یکی از روش های بسیار توانا در حل عددی معادلات دیفرانسیلی جزئی می باشد. در این روش، برای حل معادلات انتگرالی به دست آمده از معادلات دیفرانسیلی، نخست مرز ناحیه مورد نظر شبکهبندی می شود و روی هر عنصر شبکه، تعداد دلخواهی نقطه به عنوان گره انتخاب میگردد. در تقریب عناصر ثابت روی هر عنصر مرزی فقط یک گره و در تقریب عناصر خطی، دو گره انتخاب میگردد. سپس مقادیر مجهول - برای مثال میدانها یا مشتق نرمال میدانها - روی گرهها به صورت عددی محاسبه میشود که از بیان جزئیات روش صرف نظر شده است.
پس از تعیین مقادیر مجهول روی گرهها قادر خواهیم بود مقدار تابع مورد نظر را در هر نقطه دلخواه داخل ناحیه با انجام یک انتگرالگیری عددی بهدست آوریم. از ویژگیهای این روش نسبت به دیگر روشهای عددی میتوان به شبکه بندی مرز ناحیه به جای تمام ناحیه، حجم کم اطلاعات مورد پردازش، سرعت و دقت بسیار بالا و توانایی محاسبه مقدار تابع و مشتقات جزئی آن در هر نقطه دلخواه داخل ناحیه اشاره نمود.
-4 نتایج عددی
در این بخش برخی از نتایج به دست آمده در شکلهای - 1 - تا - 3 - آورده شده است. نخست میدان پراکنده شده از یک ناهمواری نیم دایره ای شبیهسازی شده و شدت میدان نزدیک در مجاورت ناهمواری روی یک خط مستقیم موازی سطح محاسبه شده است. نتایج محاسبات در نمودار شکل - 1 - با دوایر توپر نشان داده شده است. به جهت مقایسه، شکل ناهمواری نیز در همان نمودار نشان داده شده است. مشاهده میشود که در نواحی میانی ناهمواری، نقشه شبیهسازی شده بر شکل اصلی ناهمواری تطابق خوبی دارد ولی برای لبه های ناهمواری این تطابق برقرار نیست.
