بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
پايداري روش هاي تکرار مان و ايشيکاوا
چکيده :
در اين مقاله مي خواهيم شرايط کافي T– پايداري روش هاي تکرار مان و ايشيکاوا، در فضاهاي خطي نرم دار، با استفاده از تعريف انقباضي به دست آوريم .
واژه هاي کليدي: T– پايداري، روش تکرار مان ، روش تکرار ايشيکاوا، تابع مقايسه
١.مقدمه
در اين بخش ابتدا برخي تعاريف و قضاياي مورد نياز، براي بيان نتايج اصلي مقاله ، را ارائه مي دهيم .
تعريف ١.١: فرض کنيد (x,d) يک فضاي متريک و يک نگاشت باشد. و هم چنين فرض کنيد و يک روش تکرار وابسته به T باشد که به وسيله ي دنباله ي از نقاط x به دست مي آيد. در اين صورت روش تکرار را نسبت به T،T - پايدار گويند اگر دنباله ي به نقطه ي ثابت q ازT همگرا باشد و دنباله ي از نقاط x در شرط صدق کند، آنگاه دنباله ي نيز به q همگرا است . (به [١] رجوع شود).
در ادامه فرض مي کنيم (x,d) يک فضاي متريک کامل و يک نگاشت باشد. هم چنين فرض کنيد R مجموعه اعداد حقيقي و باشد.
تعريف ٢.١: فرض کنيد x يک مجموعه و يک نگاشت باشد (اغلب موارد T را عملگر يا تبديل مي نامند)
را نقطه ي ثابت T مي گويند هر گاه Tx=x. مجموعه ي نقاط ثابت T را با نماد يا نمايش مي دهند.
تبصره ٣.١: تابع صعودي يکنواي با و ثابت وجود دارند، به طوري که به ازاي
هر داشته باشيم :
(به [٣] رجوع شود).
تبصره ٤.١: تابع را يک تابع مقايسه نامند، اگر دو شرط زير برقرار باشند: (١) h تابع صعودي يکنوا باشد،
(٢) به ازاي داشته باشيم
ملاحظه مي کنيم که هر تابع مقايسه در شرط صدق مي کند. (به [١١] رجوع شود).
تبصره ٥.١: تابع را يک تابع مقايسه ي زير جمعي نامند، هرگاه h يک تابع مقايسه باشد و به ازاي هر داشته باشيم
تبصره ٦.١: تابع صعودي يکنواي و ثابت وجود دارند، به طوري که به ازاي
هر داشته باشيم :
(به [١٢] رجوع شود).
تبصره ٧.١: تابع و ثابت وجود دارند، به طوري که به ازاي هر داشته باشيم :
ممکن است تابع مقايسه يا فقط تابع صعودي يکنوا باشد. (به [١٢] رجوع شود).
لم ٨.١: فرض کنيد تابع مقايسه ي زير جمعي و يک دنباله از اعداد مثبت باشد به طوري که
حال اگر براي هر دنباله ي از اعداد مثبت داشته باشيم :
اثبات : (به [٥] رجوع شود).
در ادامه فرض مي کنيم x يک فضاي نرم دار، D زير مجموعه ي محدب غير تهي از يک نگاشت باشد و هم چنين فرض کنيد
تعريف ٩.١: تکرار مان به صورت :
تعريف مي شود، که در آن است . (به [١٣] رجوع شود).
تعريف ١٠.١: تکرار مان در تعريف ٩.١ را T – پايدار گويند اگر و فقط اگر دنباله ي و هر دنباله ي در شرط :
اگر
صدق کنند، که در آن نقطه ي ثابت T است . (به [١٠] رجوع شود).
تعريف ١١.١: تکرار ايشيکاوا به صورت :
تعريف مي شود، که در آن در رابطه ي و صدق مي کند. (به [٨] رجوع شود).
تعريف ١٢.١: فرض کنيد يک نگاشت و*x نقطه ي ثابت T باشد در اين صورت تکرار ايشيکاوا در تعريف ١١.١ را T – پايدار گويند اگر و فقط اگر دنباله هاي و هر دنباله ي در شرط :
اگر
صدق کنند، که در آن (به [٩] رجوع شود).
٢. T – پايداري روش هاي تکرار مان و ايشيکاوا
