پاورپوینت جبر و مقابله خیام

بخشی از پاورپوینت

اسلاید 1 :

جبر و مقابله خیام

اسلاید 2 :

کشف جبر خيام:
اول بارجبر خيام،در سال 1742 توسط رياضيداني به نام ژراژمران ،مورد توجه قرار گرفت.

آثار او تا حدي ارزشمند بوده است که رياضي داني به نام دکتر گارتز توجه محققين را به آن جلب نموده است.

اسلاید 3 :

جبر و مقابله چيست؟
قديمي ترين کتاب جبر و مقابله در دوره اسلامي به خوارزمي منسوب ميشود.از ديدگاه او:
جبر:عملي است که طي آن مفروق را از طرفي در معادله حذف و به طرف ديکر بيافزاييم.

مقابله:عملي که طي آن شيءها را از دو طرف معادله اسقاط مينموده است.

وي عمل حل معادله درجه يک را جبر و مقابله ناميده است.

اسلاید 4 :

جبر ومقابله از ديدگاه خيام:
خيام علاوه بر پذيرش تعريف خوارزمي ، جبر و مقابله را علم استخراج مجهولات عددي و هندسي مي داند.
وي معادله را از دو جهت حل ميکند:
(1 زمانيکه مجهول يک عدد باشد.
2) در صورتيکه مجهول يک مقدار هندسي ( طول-سطح- حجم) باشد.
از نظر وي حل معادله شامل دو قسمت است:
1) حل معادله به معنايي که ما از اين لفظ استفاده ميکنيم.
2) تعيين شرايطي که بايد ضرايب معادله درآن صدق کند،تاجواب معادله صحيح باشد.

اسلاید 5 :

طبقه بندي معادلات:
خيام اولين کسي است که معادلات درجه اول و دوم و سوم را بر اساس تعداد جملاتشان به صورت زير طبقه بندي کرده است:
1) مفردات ( دوجمله اي ها )
x=a x^3=a
x^2=a^2 x^3=ax^2
x^2=ax x^3=ax
2) مقترنات
سه جمله اي ها:
x^2+ax=b x^3+ax^2=bx
x^2+b=ax x^3+bx=ax^2
x^2=ax+b x^3=ax^2+bx

x^3+Ax=C x^3+Ax^2=C
x^3+C=Bx x^3+C=Ax^2
x^3=Bx+C x^3=Ax^2+C
معادلند

اسلاید 6 :

X^3+Ax^2+Bx=C x^3+Ax^2=Bx+C
X^3+Ax^2+C=Bx x^3+Bx=Ax^2+C
X^3+Bx+C=Ax^2 x^3+C=Ax^2+Bx
X^3=Ax^2+Bx=C

تعدادي از معادلات قبل از خيام توسط سقراط واقليدس وخوارزمي حل شده ودر اين مورد خيام برپيشينيان خود چيزي اضافه نكرده ولي روش او كاملتر است وبه طريق هندسي ثابت ميكند x^3+ax^2=bx با x^2+ax=b معادل است.
چهارجمله اي ها:

اسلاید 7 :

در حل معادلات نياز داريم بدانيم که:
مقصود از عدد در معادلات درجه دو سطحي است که يک ضلع آن يک و ضلع ديگر عدد مفروض باشد.

هرگاه گفته شود عدد مساوي مجسمي است مراد از عدد مکعب مستطيلي است که قاعده اش مربعي به ضلع 1 و ارتفاعش برابر عدد مفروض باشد.

مجهول در يک معادله شيء ؛ حاصلضرب آن در خود مال ؛ حاصلضرب مال در شيء کعب و حاصلضرب مال در مال مال ِمال نامند.

اسلاید 8 :

از ديدگاه خيام مراتب زير معادلند:

اسلاید 9 :

حل مفردات:
X=a
داري حل عددي و هندسي يکسان و مشخص است.
X^2=a
حل عددي: به کمک جدول مربعات
حل هندسي: معادل کردن مربعي به ضلع x با مستطيلي به اضلاع a و 1.
X^2

اسلاید 10 :

در شکل زير دو مثلث قايم الزاويه ABC و AHC در يک زاويه مشترک بوده،در نتيجه داريم:
CH^2 = AH .HB
tang( (1) )=

اسلاید 11 :

براي حل هندسي معادله x^2=a ابتدا پاره خط AH را به طول a رسم کرده و سپس HD را به اندازه يک
رسم کرده وبه مرکز Hوشعاع HD يک کمان مي زنيم تا امتداد AHرا در Bقطع کند نيمدايره اي به قطر ABمي زنيم تا امتداد DH را در Cقطع کند بنابراين:


X^2 = HC^2 = HB.AH = 1.a=a
مساحت مربع=مساحت مستطیل

اسلاید 12 :

X^2=ax
حل عددي:
X اگر در خودش ضرب شود x^2 حاصل ميشود و نيز حاصلضرب x در a برابر x^2 مطرح شده، بنابراين x=a ميباشد.
حل هندسي :
مربي به ضلع x را a برابر ضلعش مطرح ميکنيم ومعادل با مربعي به سطح x^2 قرار مي دهيم.
x^2=ax
x=a

اسلاید 13 :

X^3=ax
حل عددي :
همانطور که قبلا ً بيان شد يعني با تبديل x^3 x^2 و

x 1 حل معادله با حل x^2=a معادل است.
حل هندسي :
4x=x^3 معادل است با اينکه حجم مکعب ه ب را 4برابر ضلعش (اب) مطرح کنيم،از طرفي حجم اين مکعب برابر است با حاصلضرب سطح مربع دج در ارتفاع اب ،بنابراين بايد مساحت مربع دج برابر 4 باشد (معادل بودن با x^2=4).

اسلاید 14 :

X^3=ax^2
حل عددي :
به دليل اينکه اين معادله باx=a معادل مي باشد.
حل هندسي :
مکعب ه ب را معادل 2^(اب).a طرح ميکنيم ، پس حجم ه ب از طرفي معادل حاصلضرب مربع اج در ب د و از طرف ديگر معادل سطح همين مربع درa است، پس ب د (x) برابرa ميباشد.

اسلاید 15 :

حل مقترنات معادلات سه جمله ای درجه دوم ومعادلات قابل تحویل به آنها
روشی که خیام برای حل معادلات درجه دوم مانند
x^2+bx=a x^2+a=bx bx+a=x^2

به كار میبرد همانند روشی است که خوارزمی ذکر کرده ولی خیام علاوه بر حل این معادلات به طریق هندسی ثابت کرده است

x^3+bx^2=ax x^2+bx=a
x^3+ax=bx^2 x^2+a=bx
bx^2+ax=x^3 bx+a=x^2

اسلاید 16 :

اثبات هندسی معادلات درجه سه قابل تحویل به درجه دو
خیام ابتدا سه معادله را متجانس می کند یعنی a را بوسیله سطحی و bرا به مدد طولی نمایش داده ومکعبها ی مورد نیاز را به ارتفاع x رسم می کند.

اسلاید 17 :

حالت اول:
x^3+bx^2=ax x^2+bx=a

حجم مكعب (3) = حجم مكعب (2) + حجم مكعب (1)
X^3 + bx^2 = ax
ارتفاع هرسه مكعب x است بنابراين تساوي فوق زماني برقرار است که سطح قاعده ها برابر باشد یعنی داشته باشیم : X^2+bx=a

اسلاید 18 :

حالت دوم:
x^3+ax=bx^2 x^2+a=bx

حجم مكعب (3) = حجم مكعب (2) + حجم مكعب (1)
X^3 + ax = bx^2
ارتفاع هرسه مكعب x است بنابراين تساوي فوق زماني برقرار است که سطح قاعده ها برابر باشد یعنی داشته باشیم : X^2+a=bx

اسلاید 19 :

حالت اول:
bx^2+ax=x^3 bx+a=x^2

حجم مكعب (3) = حجم مكعب (2) + حجم مكعب (1)
bx^2 + ax = x^3
ارتفاع هرسه مكعب x است بنابراين تساوي فوق زماني برقرار است که سطح قاعده ها برابر باشد یعنی داشته باشیم : bx+a=x^2

اسلاید 20 :

روش خیام برای حل معادلات درجه سوم:
برای حل معادلات درجه سوم ابتدا خیام معادله را متجانس می کند به این صورت که:
1- ضریب جمله درجه دوم (A) را بوسيله طولي نمايش مي دهد.

2- ضریب جمله درجه اول (B) را بوسيله مربعی (b^2) نمايش مي دهد.

3- جمله معلوم را در معادله x^3=a بوسيله مكعب مستطیلی به قاعده مربع واحد وارتفاع aو در

معادلات x^3+Ax^2=C و^2 x^3+C=Ax به مكعبي به ضلع c ودرمعادله

x^3=Ax^2+c به وسيله مكعب مستطیلی که ارتفاعش a وقاعده اش مربع باشدC=ac^2)) و

بالاخره در باقی معادلات به مكعب مستطیلی که قاعده اش مربع b^2 باشد C=b^2.c)) نمایش می دهد.