پاورپوینت تربیع دایره و تثلیث زاویه

بخشی از پاورپوینت

اسلاید 3 :

فصل هفتم
تربیع دایره و تثلیث زاویه

اسلاید 4 :

پیش از آنکه اصول کامل شده باشدیونانیان بامسائل درجه بالاترهندسه دست وپنجه نرم میکردند؛سه تا ازاین گونه مسائل،تربیع دایره،تثلیت هرزاویه،وتضعیف مکعب،ازنکته های نیروبخش ریاضی دانان لااقل در مدت سه قرن بود. وتمامی جریان هندسه یونانی سخت تحت تاثیر این واقعیت قرارگرفته بود، كه هندسه دانان در تلاشهای خود برای به دست آوردن راه حل مسائل به صورت مقاومت ناپذیر ناگزیر متوجه منحنیها و ساختهایی شده بودند که بتوانند به آنان مدد برسانند.مثلا تحقیقات در قطعهای مخروطی چنان می نمود که آغازی برای به کار بردن دو تا از آنها برای حل مسائل مربوط به دو واسطه ي هندسی بوده است.

اسلاید 5 :

یونانیان مسائل و مکانهای هندسی (خطوط راست و منحنیها)را که برای حل آنها بر طبق آنچه که می توانیم آن را «درجه» بخوانیم رده بندی می کردند.مسائل واقعی درصفحه آنهایی بودند که حل آنها به کمک خط مستقیم ودایره امکان داشت (و تنها مکانهای واقع در صفحه اینها بودند ) و مسائل فضایی آنهایی بودند که برای حل آنها لازم بود از یک یه چند قطع مخروطی (که آنها را مکانهای فضایی می نامیدند) استفاده شود وبالاخره مسائل خطی آنهایی بودند که حل آنها به گفته پاپوس به مکانهای «خطی» نیاز داشتند که همه ی آنها منحنی های مرتبه ی بالاتر از قطعهای مخروطی

اسلاید 6 :

نظیر مارپیچ ها ،مربع سازها، حلزونیها (صدفیها) وپیچکیها را شامل می شد.
یا باز منحنیهای مختلف مندرج در رده ئ «مکانهای رویه ها» بوده است که منظور پاپوس ظاهرا مکانهای ترسیم شده بر سطوح همچون مارپیچ استوانه ای بوده است.

اسلاید 7 :

این مسئله شاید بیش از هر مسئله ی دیگر قرن ها برای جویندگان، خواه برای ریاضی دانان خواه غیر ریاضی دانان جذابیت داشته است. در مصر چنان که دیدیم دست کم در حدود سال 1800 ق .م مساحت دایره را 64/81 d میگرفتند که در ان dنماینده ی قطر دایره است و این بدون شک اندازه ی استاندارد بوده که در نتیجه ی اندازه گیری های پیاپی به ان دست یافته بودند و تقریب آن (با در نظر گرفتن این که 3.16 به اندازه ی∏ بسیار نزدیک است) به هیچ وجه تقریب بدی نبوده است.
چنانچه گفته اند نخستین کسانی که در یونان با این مسئله سر و کار داشته اند انا کساگوراس است. گفته اند زمانی که در زندان به سر میبرده در این باره کار میکرده است.بقراط خیوسی بعضی از ماهک ها را تربیع میکرده است بدان امید که (لا اقل در نخستین نمونه)این تحقیقات بتواند راهگشای حل مسئله ی اصلی باشد.

اسلاید 8 :

از مساحت های دیگر در حل مسئله از آنتیفون سوفسطایی از معاصران سقراط بوده است که روش محاط کردن متوالی چند ضلعی های منتظم را در دایره برای این منظور پایه گذاری کرده است .
به گفته ی بعضی از نویسندگان وی کار خود را با یک مربع و به گفته ی بعضی دیگر با یک مثلث متساوی الاضلاع محاط در دایره آغاز کرده است.وی سپس بر هر ضلع شکل محاط شده مثلثی متساوی الاساقین می ساخته که راس آن بر کوچکترین قطعه ی دایره حاصل از همان ضلع قرارداشته است .

اسلاید 9 :

بدین ترتیب یک چند ضلعی محاط در دایره به دست می آمده که شماره ی ضلع ها ی آن دو برابر چند ضلعی پیش از آن(مربع یا مثلث)بوده است .با پیوسته دو برابر کردن شماره ی اضلاع چند ضلعی محاط در دایره عمل خود را ادامه می داده و(گفته اند)که«از این راه سطح دایره رفته رفته هر چه بیشتر با سطح چند ضلعی پوشیده می شده تا موقعی که چند ضلعی محاط در دایره به علت کوچک شدن تدریجی اضلاعش تقریبا بر محیط دایره منطبق ومساحت آن برابربا مساحت دایره می شده است پس می توانیم مربعی مساوی با یک دایره به دست آوریم.

اسلاید 10 :

اندیشه ی آنتیفون در آغاز مورد استهزا قرار گرفته بود. ارسطو می گفت که خطاي آن به گونه اي بود که حتی از آنان خواسته نمی شد که به رد کردن برهان آنتیفون بپردازند بدان جهت که بر اصول پذیرفته شده ي هندسه قرار نداشت.
به گفته ی ائودموس اصلی را که برهان آنتیفون نقص می کرد این بود که کمیتها به طور نامحدود تقسیم پذیر ند اگر چه آن درست باشد. روند ده برابر کردن اضلاع چند ضلعی آنتیفون هرگزتمامی مساحت دايره را نمی پوشاند ومحیط چند ضلعی با محیط دایره بر هم قرار نمی گیرند.

اسلاید 11 :

ولی بیان جسورانه آنتیفون از اهمیت ومعنای بزرگی برخوردار بود بدان جهت که نطفه یروش افناء وسرانجام حساب انتگرال در آن نهفته بود نقص بیان وی بیش از آن بود که تنها لفظی باشد چه می بایست آن را به شکلی محتاطانه تر عرضه کند و به همان عملی بپردازد که اقلیدس در بیان قضیه ی2ХІІانجام داده وگفته بود که :اگر این روند به اندازه ی کافی ادامه یابد وسعت قطعه های دایره بر جای مانده روی هم رفته کمتر از هر مقدار در نظر گرفته شده خواهدشد. سودمندی عمل آنتیفون توسط ارشمیدس در اندازه گیری یک دایره نشان داده شده است که وی آن را با ساختن یک 96ضلعی محاطی بنابر روش آنتیفون اندازه گرفته واز این راه توانسته است

اسلاید 12 :

الی غیرالنهایه
برای پایین ترین حد ∏ عدد(3×15/71) استفاده كند واز راه محاط کردن چند ضلعی مشابهی ثابت کند که ∏کوچکتر از (3×1/7)است همین ساختمان که از این مربع آغاز شده بود پایه ی تقریب ویتا برای∏∕∕/2∕بوده است.
=√1/2.√1/2(1+√1/2).√1/2{1+√1/2(1+√1/2)}….

اسلاید 13 :

بروسون یکی از شاگردان سقراط یا از شاگردان اقلیدس مگارایی تلاشی برای انجام یک تربیع کرده که ارسطو آن را«سفسطه آمیز»
و«جدلی»خوانده است بدان جهت که بر مبنای مقدمات بیش از اندازه کلی قرار داشته است.شارحان نیز از برهان بروسون با همین الفاظ سخن گفته اند ولی روایت صحیحی از اینکه آن برهان چگونه بوده است در دست نیست .همه در این باره یک سخن گفته اند که وی چند ضلعیها (یا مربع هایی) را در دایره محاط وبر آن محیط می کرده ویک چند ضلعی (یا مربع ) را میان چند ضلعی های محاطی ومحیطی در نظر می گرفته است .

اسلاید 14 :

سپس در ارتباط برقرار کردن میان مساحت دایره با این چندضلعی میانجی می اندیشیده واین را در نظر داشته است که مساحت دایره بزرگتر از همه ی چند ضلعی های محاطی و کوچکتر از همه چند ضلعی های محیطی است وبه همین جهت می توانیم چنین فرض کنیم که او در صدد افزایش اضلاع چند ضلعی های محاطی ومحیطی بنابر روش آنتیفون در مورد چند ضلعی های محاطی بر می آمده وبه آن اندازه ازتقریب حقیقی می رسیده که می توانسته است بگوید :اگر یک چند ضلعی میانجی بتواند میان آخرین چند ضلعی های محاطی ومحیطی ترسیم شود می توانیم بگوییم که مساحت دایره برابر با این چند ضلعی خواهد بود.

اسلاید 15 :

اندیشه ی بروسون زمانی مفید واقعه می شده است که فشردگی چند ضلعی های درونی وبیرونی به هم به طوری که سرانجام با دایره یکی شوند سبب رسیدن به نتیجه می شده وهمین امراز خصوصیات روش افنا ء است که ارشمیدس بعدها مورد استفاده قرارداده است .
حال به دانشمندانی از هندسه میرسیم که از طریق منحنیهای درجه ی بالا تر به تربیع یا محاسبه ی طول قوس دایره پرداخته بودند .

اسلاید 16 :

نخستین آنان هیپیاس است که مخترع یک منحنی بوده که بعدا بنابر خصوصیتش مربع ساز نامیده شده است. روایت ها در این باره متفاوت است ؛پاپوس می گوید که دینوستراتوس(یکی از برادران منایخموس ) ،نیکومدس ،وهندسه دانان دیگر بعدی این منحنی را برای تربیع دایره به کار می برده اند ؛به گفته ی پروکلوس ،دیگران مربع سازها ی هیپیاس ونیکومدس را برای تثلیث زاویه مستقیم الخط مورد استفاده قرار می دادند. بنابراین، امکان آن هست که هیپیاس در ابتدا منحنی خود را برای تثلیث زاویه یا تقسیم آن به هر نسبت به کار می برده است.

اسلاید 17 :

مربع ساز به صورت نظری چنین ساخته می شده است : ABCD یک مربع و BEDیک ربع دایره به مرکزAاست. فرض می کنیم که : (1) شعاع دایره گردشی یکنواخت برگرد مرکز Aاز وضع ABبه وضع ADداشته باشد و (2) خطی که همواره موازی با AD است حرکتی یکنواخت دارد وهمزمان با رسیدن شعاع دایره به وضع AD،آن نیز که از وضع نخستین BC حرکت خود راآغاز کرده بر ADمنطبق شود.

اسلاید 19 :

در اوضاع نهایی خود ، خط راست متحرک و شعاع در حال دوران هر دو همراه با یکدیگر بر AD قرار خواهند گرفت؛ودر هر زمان در ضمن حرکت ،از تقاطع خط وشعاع در حال دوران نقطه ای همچون Lیا Fپدید می آید.مکان هندسی این نقاط همان چیزی است که مربع ساز خوانده می شود .

خوصوصیات این منحنی این است که :
)=AB:FHقوسED):(قوسBAD=

اسلاید 20 :

به عبارت دیگر ،اگر Øزاویه FAD یعنی زاویه بردار شعاعی AFباAD وρطول Afو a ضلع مربع باشد، چنین داریم :
این منحنی ، پس از ساخته شدن ، آشکارا نه تنها این امکان را به می دهد که هر زاویه را به سه قسمت مساوی تقسیم کنیم،بلکه مارا به تقسیم کردن آن به هر چند قسمت مساوی که بخواهیم نیز قادر می سازد.