بخشی از پاورپوینت
اسلاید 1 :
ارائه درس کنترل دیجیتال
فصل دوم : تحلیل صفحۀ فازی
اسلاید 2 :
تحلیل صفحۀ فازی یک روش گرافیکی برای مطالعۀ سیستمهای مرتبۀ دوم است .
ایده اصلی این روش ایجاد مسیر های حرکتی بر حسب شرایط اولیه متفاوت در فظای حالت مرتبۀ دوم سیستم دینامیکی (در صفحۀ فاز) و سپس بررسی ویژگیهای کیفی این مسیر ها(مثل پایداری و الگوهای حرکتی) است.
ویژگی های روش تحلیل صفحۀ فازی :
به دلیل گرافیکی بودن این روش مشاهده رفتار سیستم غیر خطی بر حسب شرایط اولیه متفاوت بدون حل تحلیلی معادلات غیر خطی امکان پذیر است.
این روش به خاصیت غیر خطی کوچک و هموار محدود نمیشود، بلکه به همان خوبی در سیستم های عوامل غیر خطی شدید نیز به کار می رود .
بعضی از سیستم های کنترل عملی را میتوان با تقریب خوبی به صورت یک سیستم مرتبه دوم در نظر گرفت .
عیب اصلی این روش محدود شدن آن به سیستم های مرتبۀ دوم یا مرتبۀ اول است ؛ زیرا مطالعۀ گرافیکی سیستم های مرتبۀ بالا تر از لحاظ محاسباتی و هندسی مشکل است.
اسلاید 3 :
پیکره های فازی
این روش به بررسی سیستم های مرتبۀ دوم خود گردان می پردازد که با رابطۀ زیر توصیف میشود :
(1.2)
X1 , X2 متغیر های حالت سیستم و f1, f2 توابع غیر خطی از متغیر های حالت هستند.
با داشتن شرایط اولیۀ X(0)= X0 ، جواب معادلۀ بالا برابرX(t) است .
با تغییر زمان t از 0 تا ∞ ، جواب X(t) را می توان به طور هندسی به صورت یک منحنی در صفحۀ فاز نمایش داد ؛ چنین منحنی ای را منحنی مسیر صفحۀ فازی می نامند .
مجموعه ای از مسیر های صفحۀ فاز ، که بر حسب شرایط اولیه متفاوت حاصل شده باشند پیکرۀ فازی سیستم نامیده می شود .
اسلاید 4 :
مثال :
معادله حاکم بر سیستم جرم _ فنر ، معادله دیفرانسیلی خطی و مرتبۀ 2 به صورت زیر است :
(2.2)
با فرض این که جرم در ابتدا در وضعیت سکون و در طول X0 باشد ، در این صورت :
با حذف t از معادله ، معادلۀ خط مسیر به دست می آید :
این معادله نمایانگر یک دایره در صفحه فاز است.
اسلاید 5 :
توانایی پیکرۀ فازی در این است که هنگامی که پیکرۀ فازی یک سیستم به دست می آید طبیعت پاسخ سیستم بر حسب شرایط اولیه متفاوت مستقیمآ در صفحۀ فاز نمایش داده می شود.
گروه عمده ای از سیستم های مرتبۀ دوم را می توان توسط مادلات دیفرانسیل به صورت زیر توصیف کرد:
(3.2)
صفحۀ فاز به صورت صفحه ای با مختصات تعریف می شود .
اسلاید 6 :
نقاط تکین :
نقطۀ تکین یک نقطۀ تعادل در صفحۀ فاز است .
چون نقطۀ تعادل به نقطه ای گفته می شود که در آن حالت های سیستم می توانند برای همیشه در آن نقاط باقی بمانند، لذا این موضوع ایجاب میکند که باشد و با استفاده از رابطه (1.2) داریم :
(4.2)
مثال :
این سیستم دو نقطه تکین دارد ، یکی در (0و0) و دیگری در (0و3-) .الگوهای حرکتی مسیر های سیستم در مجاورت دو نقطۀ تکین طبیعت های متفاوت دارند .
مسیر ها به سمت نقطۀ x=0 و از نقطۀ x=-3 دور میشوند .
اسلاید 8 :
پایداری سیستم های خطی به صورت منحصر به فرد با ویژگی نقاط تکین آنها تعیین می شود .
مثال : سیستم مرتبۀ اول
با حل معادلۀ ، سه نقطۀ تکین این سیستم که عبارت اند از نقاط x=2,-2,0 به دست می آیند .
با توجه به پیکرۀ فازی این سیستم پیکان ها جهت حرکت را نشان می دهند که بر حسب علامت در هر نقطه مشخص می شود .
نقطۀ تعادل x=0 پایدار و دو نقطۀ دیگر ناپایدارند .
اسلاید 10 :
تقارن در پیکره های صفحۀ فازی :
قبل از رسم پیکرۀ فازی ، با بررسی معادلات سیستم میتوانیم خاصیت تقارن آن را مشخص کنیم .
مسیر شیب ها در صفحۀ فاز به صورت زیر است :
تقارن در صفحۀ فاز تقارن در شیب ها را ایجاب می کند( شیب ها از لحاظ قدر مطلق با هم برابر و از لحاظ علامت مخالف هم هستند) .
تقارن حول محور X1 :
تقارن حول محور X2 :
تقارن حول مبدأ :
اسلاید 11 :
رسم پیکره های فازی :
امروزه پیکره های فازی به صورت متداول توسط کامپیوتر ایجاد می شوند.اما البته هنوز از لحاظ علمی،یادگیری نحوه رسم تقریبی پیکره های فازی یا بررسی سریع صحت نتایج کامپیوتری مفید است.
از بین 4 روش تحلیلی ، تک شیب ، لینارد و پل که برای رسم مسیرها در صفحۀ فاز در سیستم های خطی و غیر خطی وجود دارد دو روش تحلیلی و تک شیب را به دلیل سادگی نسبی شان بررسی می کنیم.
روش تحلیلی شامل حل تحلیلی معادلات دیفرانسیل توصیف کننده سیستم هاست . این روش در برخی سیستم های غیر خطی خاص مفید است ، به ویژه سیستم های پاره ای خطی که پیکره های فازی آنها را می توان با ایجاد پیکره های فازی سیستم های خطی مربوطه و متصل کردن آنها به هم به دست آورد .
روش تک شیب روشی گرافیکی است که می توان آن را به راحتی برای رسم پیکره های فازی سیستم هایی که به صورت تحلیلی قابل حل نیستند ، که به مراتب نمایانگر متداول ترین نوع سیستم هاست ، به کار گرفت .
اسلاید 12 :
روش تحلیلی
دو روش برای ایجاد پیکره های فازی به صورت تحلیلی وجود دارد که هر دو روش منجر به یک ارتباط تابعی بین متغیر های فاز و می شود:
که c اثر شرایط اولیه و شاید اثر سیگنال های ورودی خارجی است .
رسم این رابطه در صفحه فاز برای شرایط اولیه متفاوت ، به پیکره ی فازی منجر می شود .
روش اول : حل رابطه های زیر برای و به صورت تابعی از زمان t است ، یعنی :
سپس حذف پارامتر زمان t از این معادلات است که منجر به یک ارتباط تابعی به شکل می شود .
روش دوم:شامل حذف مستقیم متغیر زمان،با توجه به رابطه و سپس حل این معادله برای بدست آوردن ارتباط تابعی بین X1 و x2 است .
اسلاید 13 :
سیستم جرم-فنر
با توجه به رابطه رابطه را مجددا به صورت
می نویسیم.با انتگرال گرفتن از این معادله داریم:
اکثر سیستم های غیرخطی با هیچ کدام از دو روش گفته شده به راحتی قابل حل نیستند .
اسلاید 14 :
سیستم کنترل ماهواره(سیستم پاره ای خطی):
این ماهواره توسط یک جفت پیشرانه هایی که قادر به ایجاد گشتاور ثابت مثبت U (آتش مثبت) و یا گشتاور منفی –U (آتش منفی) است ، کنترل می شود .
هدف سیستم کنترل نگه داشتن ماهواره در زاویه صفر با آتش به موقع پیشرانه هاست .
مدل ریاضی ماهواره به صورت زیر است:
که در آن گشتاور ایجاد شده توسط پیشرانه ها و زاویه ماهواره است.
اسلاید 15 :
رفتار سیستم را در حالتی بررسی می کنیم که پیشرانه ها طبق قانون کنترلی زیر عمل کنند :
مسیر های فاز برای گشتاور مثبت و منفی به صورت زیر بدست می آید :
پیکره فازی سیستم در این دو حالت در زیر رسم شده اند :
اسلاید 16 :
پیکره فازی کامل سیستم کنترل را می توان از اتصال مسیرهای نیم صفحه پیکره فازی گشتاور های مثبت و منفی بدست آورد.
محور عمودی یک خط سوییچینگ را نشان می دهد ، زیرا ورودی کنترل و در مسیر های فاز بر روی این خط سوییچ می شوند.
اسلاید 17 :
اگر سیستم با زاویه اولیه مخالف صفر شروع به فعالیت کند،ماهواره در اثر فعالیت جهتها ، با حرکت تناوبی نوسان می کند .سیستم پایداری مرزی دارد.
اسلاید 19 :
روش تک شیب :
ایدۀ اصلی این روش بر اساس خاصیت تک شیبی است .
رابطۀ (1.2) را در نظر بگیرید، در نقطۀ (X1,X2) در صفحۀ فاز ، شیب خط مماس بر مسیر را میتوان از رابطۀ(5.2) تعیین کرد. یک تک شیب طبق تعریف مکان هندسی نقاطی است که مقدار شیب مماس معینی دارد. بنابر این یک تک شیب با شیب α به صورت زیر تعریف می شود:
در نتیجه :
که همگی شیب مماس یکسانی برابر α دارند .
در این روش ، پیکرۀ فازی سیستم در دو مرحله ایجاد می شود .
در مرحلۀ اول ، میدانی از جهت های خطوط مماس بر مسیر ها به دست می آید .
در مرحلۀ دوم، مسیر های صفحۀ فازی از طریق این میدان جهت ها شکل می گیرد.
اسلاید 20 :
مثال : استفاده از روش تک شیب روی سیستم جرم _ فنر
مشاهده می شود که شیب مسیر ها برابر است با :
بنابر این ، معادلۀ تک شیب برای شیب α به صورت زیر است :
با فرض ؛ شیب های مماس به صورت موضعی ثابت اند ، می توان شکل فاز سیستم را به صورت روبرو رسم کرد :
