بخشی از پاورپوینت
اسلاید 1 :
تقریب ارشمیدسی
اسلاید 4 :
تاریخچه محاسبه ی عدد π
در شرق باستان مقدار π اغلب مقداری برابر با 3 فرض می شده و در تربیع(مربعی هم مساحت با دایره ای مفروض) دایره توسط مصریان این مقدار به صورت زیر بیام شده است:
اسلاید 5 :
اولين نظريه ي علمي در مورد تقريب عدد پي توسط ارشميدس بيان شد.اين نظريه بر پايه ي تقريب زدن مساحت دايره با يك شش ضلعي منتظم محيطي و يك شش ضلعي منتظم محاطي استوار است .
ارشميدس نهايتا با استفاده از اين روش كه حد بالا و پاييني براي اين عدد حاصل ميكند به اين نتيجه رسيد كه:
< π < 22/7 223/71
يا برابر با 3/14است .
اسلاید 6 :
اولين مقدار قابل توجه براي π بعد از ارشميدس توسط كلاوديوس بطلميوس ارايه شد كه عبارت از 377/120 يا 3/1416 است .
تسوچونگ چي در چين تقريب قابل توجه زير را ارايه كرد كه تا شش رقم اعشار صحيح است .
355 / 113 = 3/1415929
كاشاني در 1429 به روش كلاسيك π را تا 16 رقم اعشار صحيح حساب كرد .
اسلاید 7 :
در 1593 آدريان وان رومن هلندي مقدار π را تا 15 رقم اعشار به روش كلاسيك با استفاده از چندضلعي هايي با 230
ضلع پيدا كرد .
رياضيدانان اروپايي در قرن هفدهم به مقدار واقعي عدد نزديكتر شدند .از جمله اين دانشمنداد جيمز گريگوري بود كه براي پيدا كردن مقدار عدد پي از فرمول زير استفاده كرد .
اسلاید 9 :
در 1844 زاخارياس دازه مقدار π را تا دويست رقم اعشار با استفاده از سري گريگوري به صورت زير بدست آورد
½ + tan -1 1/5 +tan -1 1/8 π/4 =tan-1
اسلاید 10 :
در رساله اي با عنوان سايكلومتري ارشميدس نابربري زير را به كار برده است
رابطه 1-13 :
اسلاید 11 :
هر دوي اين كسرها تقاريب خوبي براي3√ هستند .همين دقت بود كه به استاد محاسب اين امكان را داد تا نسبت دايره به قطر آنرا در ميان محدوده باريك زير بدست بياورد :
رابطه 2-13 :
اسلاید 12 :
ارشميدس بطور مبسوط قدم هاي بعدي را در ارزيابي اين مقدار شرح داده است .اما اشاره اي به چگونگي دستيابي به تقريب هايي براي 3√ كه نقطه شروع حركتش بوده ننموده است .ايا ممكن است كه اين مقادير در ميان هندسه داناني كه رسالت خطاب به انها است چنان روشن و دانسته بوده است كه توضيح آنرا زايد دانسته باشد ؟شايد!
با اين حال تا به امروز نظريات بسياري درباره انگيزه هايي حاكم بر انتخاب ارشميدسي ابراز شده است .
اسلاید 13 :
هر دوي اين تقريب ها همگراهايي از كسرهاي مسلسل 3√ هستند وبدين ترتيب طبيعي است گمان بريم كه الگوريتم اقليدس راهنماي رسيدن به اين مقادير بوده باشد .با اين حال حدس به اين دلالت مورد مخالفت تاريخ نويسان قرار گرفته است كه كسرهاي مسلسل تا قرن شانزدهم مطرح نشده و نظريه تا قرن هجدهم مورد بهره برداري كامل قرار نگرفته است .بدين ترتيب اين مساله به طور كامل خارج از بصيرت رياضيدانان بوده است .اين دليل اخر درخور تعمق بيشتر است .
اسلاید 14 :
می دانیم که آلگوریتم اقلیدس در خاک یونان متولد شد و چیزی در آن وجود ندارد که آن را در قالب عددهای گویا محدود کند، و مردانی مانند ادکسوس اقلیدس و ارشمیدس مسلماً آن را به عنوان معیاری در حد کمال پذیرفته بودند تا بدانند دو مقدار متوافق اند یا نه. من پا را از این فراتر نمی گذارم که مدعی شوم آلگوریتم اقلیدس به خصوص برای تعریف عددهای گنگ اختراع شده است، اما غیر محتمل نیست، آنکه این شیوه را کشف کرده است در عین حال به دنبال چنین ملاکی برای عددهای متوافق بوده باشد. البته دلیل مستندی در دست نیست که بر این حدس صحه گذارد؛ اما با این حال باید به خاطر داشت که هندسه دانان یونان سرسختانه از کاربرد عبارت هایی مانند بی نهایت یا حد، امتناع می ورزیدند.
اسلاید 15 :
یک حالت قضیه ارشمیدس درباره سطح یک قطعه سهمی است که اثبات آن به جمع جمله های یک تصاعد هندسی نامحدود زیر بستگی دارد:
ارشمیدس، هیچگاه نگفت که مجموع تصاعد در حد خود به 4/3 می رسد و یا کلماتی نظیر آن را به کار نبرد؛ او فقط بیان داشته است که مهم آن است که هر تعداد از جمله های فوق را در نظر بگیریم باز مجموع آنها از 4/3 تجاوز نمی کند.
اسلاید 16 :
همچنين توسط عده اي از تاريخ نويسان ادعا شده است كه حتي اگر برخي رياضيدانان يوناني مواجه با امكان به كار بردن الگوريتم فيثاغورثي براي عددهاي گنگ به صورت جذر ميشوند .انجام آن به علت فقدان شرايط لازم فني امكان پذير نبود .چنين بحث و گفت و گويي نيز پايه اي ندارد .در واقع كتاب وهم ”مقدمات“ اقليدس يك نظريهه جامع از دوجمله هايي به صورت A+√B ارايه ميكند كه شامل همه عمليات لازم براي گسترش اين عددهاي گنگ به صورت كسرهاي مسلسل است .
اسلاید 17 :
با اين حال يك جنبه براي تقريب ارشميدس وجود دارد كه حدس درباره ي كسر هاي مسلسل را مورد شكي منطقي قرار ميدهد .در فصل گذشته ديديم كه گسترش 3√ به طيف متناوب
(0000 ،1،1،2،1،2) منجر ميشود .دوازده همگراي اول اين گسترش عبارتند از :
اسلاید 18 :
ملاحظه می شود که با اینکه دو کسر مربوط به نابرابری (رابطه 1) در میان این همگراها وجود دارند، ولی همگراهای پی در پی نیستند. برای تعیین F12 توسط الگوریتم اقلیدسی باید ابتدا F11 را محاسبه کرد. اما اگر ارشمیدس F11 را در دست داشت، چرا آن را به کار نبرد تا بتواند نابرابری دقیقتر زیر را به دست آورد؟
اسلاید 19 :
عبارتی از کتاب «متریکا» اثر هرو، کلیدی از این معما بدست می دهد. این کتاب در میان سایر مسائل تاریخی ارزشمند شامل فرمول مساحت مشهوری است که موضوع فصل آینده است. کاربرد این فرمول به طور کلی به ارزیابی تقریبی ریشه دوم احتیاج دارد، و بدین ترتیب هر دو موقع برای آنکه به خواننده بیاموزد چگونه چنین عملی را «با دقت و سرعت» باید انجام داد مغتنم شمرده است. الگوریتم هر دو روشی است که امروزه می توان آن را در اعداد میان گذاری تکراری خطی قرار داد.
اسلاید 20 :
در حالیکه هر دو آن را برای بدست آوردن ریشه دوم و ریشه سوم به کار برده است، شیوه کار تا حد زیادی عمومی است، و در حقیقت می توان از آن برای حل معادله F(x)=0، که در آن F(x) َشامل همه توابع گویای یک مجهوله است استفاده کرد.
شکل بعدی، منحنی نمایش تغییرات تابع y=F(x) است. طول از مبداء «قطب» A عددی است گویا و تا حد «منطقی و ممکن» به مقدار واقعی ریشه نزدیک است، یکی دیگر از این عددهای گویا است، و B نقطه متناظر آن بر روی منحنی (F). خط AB محورx را درنقطه ای با طولc قطع می کند:
