پاورپوینت تولید مقدار تصادفی

بخشی از پاورپوینت

اسلاید 1 :

شبيه سازي سيستم هاي گسسته – پيشامد

فصل 8 تولید مقدار تصادفی

اسلاید 2 :

فصل 8 تولید مقدار تصادفی
این فصل به شیوه هایی برای نمونه گیری از انواع توزیعهای پیوسته وگسسته ای می پردازد که به طور گسترده ای مورد استفاده قرارمی گیرد.بحثها و مثالهای پیشین از سیستمهای صف وموجودی،بر فایده ی توزیعهای آماری برای مدلسازی فعالیتهایی دلالت داشت که عموماً غیر قابل پیش بینی یا ناقطعی است.مثلاً مدتهای بین دو ورود و مدتهای خدمتدهی در صفها و تقاضا برای یک محصول ،دست کم تا حد معینی،اغلب ماهیتی غیر قابل پیش بینی دارند.معمولاً،چنین متغیرهایی به صورت متغیرهایی تصادفی با توزیع آماری مشخص مدلسازی می شود و برای برآورد پارامترهای توزیع فرضی و آزمودن اعتبار مدل آماری مفروض ،شیوه های استاندارد آماری وجود دارد.این شیوه ها در فصل 9 مورد بحث قرار گرفته است.
در این فصل فرض می کنیم که توزیعی به طور کامل مشخص شده است و ما درجستجوی راههایی به منظور تولید نمونه هایی ازاین توزیع برای استفاده به عنوان ورودی به مدل شبیه سازی هستیم .

اسلاید 3 :

هدف این فصل تشریح و نمایش متداولترین روشهای تولید مقادیر تصادفی،و نه ارائه ی یک بررسی کاملاً جدید درزمینه ی کاراترین روشهاست.در عمل،اکثر مدلسازان در شبیه سازی از برنامه های موجود دسترسپذیربه زبان FORTRAN (مثلاً،کتابخانه ی IMSL) یا برنامه های موجود در زبان در دست استفاده،مانند برنامه های موجود درSIMSCRIPT، GASP وSLAM استفاده خواهند کرد.برخی از زبان ها از قبیل GPSS از برنامه های مورد بحث بی بهره است و برخی مراکز محاسبات مولد های مقادیرتصادفی به زبان FORTRAN را ندارند،به طوری که مدلساز باید برنامه ای مورد قبول را خود ایجاد کند.این فصل روش تبدیل معکوس،روش پیچش و به اختصار،روش رد و قبول را مورد بحث قرار می دهد.روش دیگری به نام روش ترکیب را فیشمن [1978] مورد بحث قرار داده است.مشخصا ًنشان خواهیم داد که چگونه از تمام توزیعهای مورد بحث در فصل 4 نمونه تولید می کنیم.

اسلاید 4 :

درهمه ی روشهای این فصل فرض می کنیم که یک منبع اعداد تصادفی یکنواخت
(1, 0)،R1،R2،.، دسترس پذیر است که هر Ri دارای pdf وcdf است.

اسلاید 5 :

در سراسر این فصل،R وR1،R2،. معرف اعداد تصادفی و برخوردارازتوزیع یکنواخت [1, 0] است وطبق یکی ازروشهای فصل 7 تولید یا ازیک جدول اعداد تصادفی مانند جدول پ-1گرفته می شود.استفاده از جدول پ-1را در فصل 2 تشریح کردیم.

8-1 روش تبدیل معکوس

روش تبدیل معکوس را می توان به منظور نمونه گیری از توزیعهای نمایی،ویبول و یکنواخت و توزیعهای تجربی مورد استفاده قرار داد.به علاوه،در نمونه گیری از انواع بسیار توزیعهای گسسته این روش اصل اساسی محسوب می شود. این روش به تفضیل برای توزیع نمایی توضیح داده و سپس بر توزیعهای دیگر اعمال می شود.این روش مستقیم ترین روش است ولی از لحاظ محاسباتی همواره کاراترین نیست.

اسلاید 6 :

8-1-1توزیع نمایی

توزیع نمایی که در بخش 4-4 مورد بحث قرار گرفت،دارای تابع چگالی احتمال(pdf)
و تابع توزیع تجمعی( cdf) است.پارامتر λرا می توان به عنوان میانگین تعداد رخداد ها در واحد زمان تعبیر کرد.مثلاً اگر مدتهای بین ورود X1،X2،X3،. توزیع نمایی با آهنگ λ داشته باشد،λ را می توان میانگین تعداد موارد ورود در واحد زمان یا آهنگ ورود تعبیر کرد.توجه داشته باشید که به ازای هر i داریم:
E(Xi)=1/λ

اسلاید 7 :

به طوری که λ/1 میانگین مدت بین دو ورود است.هدف دراینجا ارائه ی شیوه ای برای تولید مقادیر X1،X2،X3،. به گونه ای است که توزیع نمایی داشته باشد.
زمانی می توان روش تبدیل معکوس را به کار برد که شکل cdf،،F(x)،چنان ساده باشد که معکوس آن،F-1 از راه تحلیلی صریحاًقابل محاسبه باشد.شیوه ای گام به گام برای روش تبدیل معکوس که بر پایه ی توزیع نمایی تشریح می شود به شرح زیر است:
گام1 . Cdf متغیر تصادفی مورد نظر،X،را محاسبه کنید.
برای توزیع نمایی ،cdf عبارت از x ≤ 0 ، e-λx -1= F(x) است.
گام2 . فرض کنید R=F(X) در دامنه ی X برقراراست.
برای توزیع نمایی،این رابطه در دامنه ی x ≤ 0 به صورت e-λx=R – 1در می آید. چون X متغیری تصادفی(در این مورد با توزیع نمایی)است،نتیجه می شود نیز 1-e-λx متغیری تصادفی،در اینجا به نام R ،است.همانطور که بعداً نشان خواهیم داد ، R در فاصله ی (1, 0 ) توزیع یکنواخت دارد.

اسلاید 8 :

گام3 . معادله ی F(X)=R را حل کنید تا X بر حسب R به دست آید.
جواب در مورد توزیع نمایی به شرح زیر به دست می آید:

e-λx=R-1
e-λx=1-R
X=ln(1- R) λ-
(8-1) R)-X= -1/λln(1

معادله ی (8-1) را مولد مقدار تصادفی برای توزیع نمایی می نامند.به طور کلی، معادله ی(8-1) به صورت X=F-1(R) نوشته می شود. تولید دنباله ای از مقادیر طبق گام 4 صورت می گیرد.
گام4 . اعداد تصادفی یکنواخت R1،R2،R3،. را (در صورت نیاز) تولید و مقادیر مورد نیاز را طبق رابطه ی
Xi=F-1(Ri)

اسلاید 9 :

محاسبه کنید.در مورد توزیع نمایی،طبق معادله ی(8-1) داریم

F-1(R)=(-1/λ)ln(1-R)

به طوری که به ازایi=1,2,3,…

(8-2(الف)) Ri) - Xi= -1/λln(1

یک نوع از ساده سازی که معمولاً در معادله ی (8-2(الف)) انجام می شود، قرار دادن Ri به جای Ri-1است که رابطه ی

(8-2(ب)) Xi= -1/λlnRi

این کار حاصل می شود. چون Ri و Ri - 1 هر دو در فاصله ی
(1, 0) توزیع یکنواخت دارد،این جانشینی موجه است.

اسلاید 10 :

مثال8-1
جدول 8-1 دنباله ای از اعداد تصادفی از جد ول پ-1 و مقادیر محاسبه شده ی نمایی را که به ازای مقدار1=λ از معادله ی (8-2(الف)) به دست آمده ارائه می دهد.شکل 8-1 (الف) هیستوگرم 200 مقدارR1،R2،.،R200 از توزیع یکنواخت وشکل8-1(ب)،هیستوگرم 200مقدار X1،X2،.،X200است که طبق معادله ی (8-2(الف))محاسبه شده است. این هیستو گرمهای تجربی را با توابع چگالی نظری در شکلهای 8-1(ج)و(د) مقایسه کنید.چنانکه در اینجا به تصویر کشیده شده است،هر هیستو گرم برآوردی از تابع چگالی مبناست.(در فصل 9این واقعیت به عنوان راهی برای شناسایی توزیع به کار گرفته شده است.)
شکل8-2 تعبیری تصویری از روش تبدیل معکوس ارائه می کند.cdf نشان داده شده،F(x)=1-e-x،توزیعی نمایی با آهنگ1=λ است.به منظور تولید مقدار X1 با تابع تجمعی F(x)،ابتدا عددی تصادفی R1را بین 0 و یک تولید می کنیم و از R1 خطی افقی به شکل cdf می کشیم،سپس خطی عمودی بر محور xفرود می آوریم تا نتیجه ی دلخواه،یعنی X1

اسلاید 11 :

جدول 8-1 تولید مقادیر تصادفی نمایی Xi با میانگین 1 به ازای اعداد تصادفی Ri
i 1 2 3 4 5
Ri 0/1306 0/0422 0/659 0/7965 0/7696
0/1400 0/0431 1/078 1/592 1/468
0.2
0.4
(الف)
0.6
0.8
0.1
0.1
فراوانی نسبی

اسلاید 12 :

fR(x)
(ج)
(د)
f (x)
f(x) = e-x
(ب)
0.1
0.2
0.3
0.4
فراوانی نسبی

اسلاید 13 :

را بدست آوریم. به رابطه ی معکوس بین R1وX1،یعنی
R1=1-e-x1
X1= -ln(1-R1)
شکل 8-2 نمای ترسیمی روش تبدیل معکوس.
F(x)=1-e-x
X1=-ln(1-R1)
R1=1-e-X1
F(x0)

اسلاید 14 :

توجه کنید. به طور کلی ، رابطه به صورت
R1=F(X1)
و
X1=F-1(R1)

نوشته می شود.چرا متغیر تصادفی X1 که با این شیوه تولید می شود،از توزیع مورد نظر برخوردار است؟مقداری مانند X0 را انتخاب و احتمال تجمعی
P(X1 ≤ x0) = P(R1 ≤ F(x0))=F(X0) (3-8)
رامحاسبه کنید.برای دیدن تساوی اول در معادله ی (8-3) به شکل 8-2 مراجعه کنید که در آن اعداد ثابت x0 و F(x0) به محور های نظیر خود رسم شده است. می توان دید که رابطه ی X1 ≤ x0 وقتی و فقط وقتی درست است که رابطه ی
R1 ≤ F(x0) درست باشد. چون 0 ≤ F(x0) ≤ 1 ،تساوی دوم در معادله ی(8-3) پیامد فوری این واقعیت است که R1در فاصله ی(1 ،0) توزیع یکنواخت دارد.

اسلاید 15 :

8-1-2توزیع یکنواخت

یک متغیر تصادفی مانندX را در نظر بگیرید که در فاصله ی [b،a ] به طور یکنواخت توزیع شده است.حدسی معقول برای تولید X عبارت است از

(8-4) X=a+(b-a)R

[به یاد آورید که R همواره عددی تصادفی در فاصله ی (1،0) است.] تابع چگالی X به صورت زیر ارائه می شود
تعیین معادله ی (8-4) پیامد برداشتن گامهای 1تا3 از زیر بخش 8-1-1است:

گام1. cdf به صورت زیر ارائه می شود
گام2. تساویF(X)=(X-a) / (b-a)=R را بنویسید.
گام3. حل Xبر حسب R به رابطه ی X= a + (b-a) R می انجامد که همان معادله ی(8-4) است.

اسلاید 16 :

8-1-3 توزیع ویبول

توزیع ویبول به عنوان مدلی برای «مدت تا بازمانی» ماشین آلات یا قطعه های الکترونیک را در بخش 4-4 معرفی کردیم.هر گاه پارامتر موقعیت،v، مساوی با صفر قرار داده می شود، pdf آن طبق معادله ی(4-45) به صورت در می آید که α > 0 و β > 0 پارامتر های مقیاس و شکل توزیع است. به منظور تولید هر مقدار تصادفی ویبول،از گامهای 1تا3 از زیر بخش

8-1-1 پیروی کنید:

گام1. cdf به صورتx ≥ 0 , F(x) =1-e-(x/α) β ارائه می شود.
گام2. فرض کنید= R F(X)=1-e-(x/α) β باشد.
گام3. حلX بر حسب R به نتیجه ی زیر می انجامد

(8-5) X=α[-ln(1-R)]1/β

تعیین معادله ی (8-5) را به عنوان تمرینی به دانشجو وا می گذاریم. با مقایسه ی معادله ی
(8-5) و (8-1) می توان دید که اگرX یک مقدار تصادفی ویبول باشد، در این صورت Xβ یک مقدار تصادفی نمایی با میانگین αβ است.بر عکس، اگر Y یک مقدار تصادفی نمایی با میانگینμ باشد،در این صورت Y1/β یک مقدار تصادفی ویبول با پارامتر شکل β و پارامتر مقیاس α=μ1/β است.

اسلاید 17 :

8-1-4 توزیع مثلثی

متغیری تصادفی مانند X را درنظربگیرید که دارای pdf به گونه ی نشان داده شده درشکل 8-3 باشد. این توزیع را توزیع مثلثی با نقاط انتهایی (2،0) و مُد یک می نامند.
f (x)
شکل 8-3 تابع چگالی مربوط به یک توزیع مثلثی

اسلاید 18 :

است. به ازای 0 ≤ X ≤ 1 داریم
(8-6) 2 /R=X2
و به ازای 1 ≤ X ≤ 2داریم
(8-7) R=1-(2-X)2/2
به موجب معادله ی (8-6)،از 0 ≤ X ≤ 1 چنین بر می آید که0 ≤ R ≤ 1/2 ، که در این صورت است.به موجب معادله ی (8-7)،از1 ≤ X ≤ 2 رابطه ی1 1/2 ≤ R ≤ نتیجه می شود،که دراین صورت داریم: بنابراین ، X طبق رابطه ی

تولید می شود.تمرینهای2،3،4 فرصت کاربا سایرتوزیعهای مثلثی را به دانشجو می دهد.توجه داشته باشید که اگر pdfو cdf متغیر تصادفیXچند تکه ای باشد (یعنی،نیاز به فرمولهای متفاوت در بخشهای مختلف دامنه ی X داشته باشد)، دراین صورت کاربرد روش تبدیل معکوس درمورد تولید X،درامتدا بخشهای مختلف دامنه ی R،همانند معادله ی (8-8) ، به فرمولهای مجزا می انجامد. در بخش4-4شکلی کلی ازتوزیع مثلثی مورد بحث قرار گرفت.
(8-8)
cdf توزیع به صورت

اسلاید 19 :

8-1-5 توزیعهای تجربی پیوسته

اگرمدلسازناتوان ازیافتن توزیعی نظری به منظورارائه ی مدل مناسبی برای داده های ورودی باشد،ممکن است استفاده از توزیع تجربی داده ها لازم شود.
مثال8-2

تصور کنید 100 مورد مدت تعمیر نوعی ابزار شکسته گرد آوری شده وداده ها برحسب تعداد مشاهده ها درفواصل مختلف ،درجدول 8-2خلاصه شده است. مثلاً31مشاهده بین صفر و 5/0ساعت،10 مشاهده بین 5/0 و یک ساعت، و.وجود دارد.توزیع واقعی ،F(x) ،مدتهای تعمیر(خط با انحنا در شکل 8-4) را می توان به وسیله ی cdfتجربی،

اسلاید 20 :

جدول 8-2 خلاصه ی داده های مدت تعمیر
فاصله (ساعت) فراوانی فراوانی نسبی فراوانی تجمعی
0/31 0/31 31 0 ≤x ≤0/5
0/41 0/10 10 0/5 0/66 0/25 25 1/0 1/00 0/34 34 1/5