پاورپوینت انواع متغیرهای تصادفی پیوسته کلاسیک(توزیع گاما)

بخشی از پاورپوینت

اسلاید 1 :

آمار برای اقتصاد 2 (Statistic for Economics 2)
متغيرهاي تصادفي پيوسته کلاسیک
(توزیع گاما)
انواع متغيرهاي تصادفي پيوسته کلاسیک(توزیع گاما)

اسلاید 2 :

انواع متغيرهاي تصادفي پيوسته کلاسیک

موضوع این جلسه متغیرهای تصادفی با توزیع گاما است. ابتدا توزیع متغیرتصادفی با توزیع گاما معرفی، کاربرد آن تشریح و در اکسل شبیه سازی میشود:

توزیع گاما
ميانگين و واريانس متغیر تصادفی با توزیع گاما
مشخصه های آماری توزیع گاما
شبیه سازی توزیع گامادر اکسل
انواع متغيرهاي تصادفي پيوسته کلاسیک(توزیع گاما)

اسلاید 3 :

توزیع گاما Gamma distribution))

در آمار و تئوری احتمالات، توزیع گاما (Gamma Distribution) جزء توابع توزیع دو پارامتری بوده و از اهمیت خاصی برخوردار است. برای مثال تابع توزیع نمایی و کای-۲ حالت خاصی از توزیع گاما محسوب میشوند. بنابراین به نظر میرسد که باید کاربردهای متعددی برای متغیر تصادفی با این توزیع وجود داشته باشد.
از طرف دیگر استفاده از توزیع بتا (Beta Distribution) نیز در بسیاری از موارد بخصوص استنباط بیزی میتواند به عنوان مزدوج توزیع به کار رود. بنابراین آگاهی از خصوصیات آن میتواند در حل بسیاری از مسائل استنباط آماری موثر باشد.

این تابع توزیع را میتوان با پارامترهای «شکل»(Shape Parameter) و «معکوس-مقیاس» (Inverse Scale Parameter) نشان داد. در این حالتα  را پارامتر شکل وβ  را معکوس-مقیاس مینامند. اگرX یک متغیر تصادفی با توزیع گاما باشد مینویسند:
X∼Γ(α,β)

اسلاید 4 :

تابع چگالی احتمال برای این متغیر تصادفی براساس پارامترهای α  و β  به صورت زیر است:

نکته: گاهی تابع چگالی این متغیر تصادفی را برحسب پارامترهای «شکل» (k) و «مقیاس» (θ) بیان میکنند و مینویسند:

واضح است که در این حالتκ=α  و β=1/θ خواهد بود.

نکته: دامنه تابع گاما (Г)، اعداد حقیقی (بدون اعداد صحیح منفی) و برد آن همه اعداد حقیقی است. تابع گاما به صورت زیر تعریف میشود.

اسلاید 5 :

امید ریاضی و واریانس توزیع گاما

از آنجایی که دو شیوه برای بیان تابع چگالی احتمال این متغیر تصادفی وجود دارد، امید ریاضی و واریانس آن نیز به دو شکل نمایش داده میشود. در جدول زیر این نحوه محاسبات براساس این دو نوع نگارش تابع چگالی میبینیم.

اسلاید 6 :

از آنجایی که مقدار پارامتر شکل (α,κ) مثبت است، باید منحنی تابع چگالی این متغیر تصادفی دارای چولگی مثبت باشد و به بیان دیگر دم منحنی به سمت راست کشیدهتر دیده میشود. البته دیده میشود که با افزایش این پارامتر، شکل منحنی به توزیع نرمال نزدیک خواهد شد.

خصوصیات توزیع گاما

اسلاید 7 :

کاربرد توزیع گاما در اقتصاد

توزیع درآمد در جامعه ممکن است به صورت توزیع گاما باشد. لذا جهت برآورد درست میزان نابرابری توزیع درآمد بایستی پارامترهای توزیع گاما را محاسبه نمود.
مقاله زیر را ببینید:
An Application of Gamma Distribution to the Income Distribution and the Estimation of Potential Food Demand Functions.
Modern Economy, 2015, 6, 1001-1017.
http://dx.doi.org/10.4236/me.2015.69095

تمرین: در فایل اکسل شبیه سازی توزیع گاما پارامترهای آلفا و بتا را تغییر دهید و شکل توزیع را با تغییر پارامترها مشاهده کنید. تصویر آنها را عکس بگیرید و بفرستید.

تمرین: مشخصه های آماری توزیع گاما را بنویسید.
تمرین: اگر پارامتر بتا برابر با 2 باشد شکل توزیع گاما را به ازای مقادیر مختلف آلفا ترسیم کنید.
تمرین: اگر پارامتر آلفا برابر با یک باشد شکل توزیع گاما را به ازای مقادیر مختلف بتا ترسیم کنید.

اسلاید 8 :

شبیه سازی توزیع گاما در اکسل

اسلاید 9 :

مقایسه شکل توزیع گاما با مقادیر مختلف پارامتر α