بخشی از پاورپوینت
اسلاید 2 :
Stability Theory of Structures
تئوری پایداری سازه ها
اسلاید 3 :
فصل سوم
پایداری ستون ها (و تیرستون ها)
اسلاید 4 :
فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تيرستون ها )
1- مقدمه
در اين فصل پايداري اعضاي سازه اي structural members)) يك بعدي one dimensional)) كه تحت اثر نيروهاي تعميم يافته از جمله نيروهاي فشاري محوري قرار دارند، مورد بررسي قرار مي گيرند.
اين اعضاي سازه اي عبارتند از :
ستون ها Columns))
ميله هاي فشاري Comperssive struts))
تيرستون ها ( Beam-Columns)
ستون ها، اعضاي سازه اي يك بعدي هستند كه عمدتا تحت اثر نيروهاي فشاري محوري بوده و غالبا تحت اثر توام نيروي فشاري و لنگر خمشي مي باشند.
ميله هاي فشاري، اعضاي سازه اي يك بعدي مي باشند كه عمدتا تحت اثر نيروهاي محوري بوده و جزء اعضاي سازه اي خرپاها يا ميل مهار فشاري مي باشند.
اسلاید 5 :
فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )
تير ستون ها، اعضاي سازه اي يك بعدي هستند كه علاوه بر نيروهاي فشاري محوري، تحت اثر نيروهاي جانبي و لنگر خمشي انتهايي نيز مي باشند.
2- بررسي پايداري ستون اولر
فرض مي كنيم كه عضو تحت اثر بار محوري نشان داده شده در شكل زير، داراي يك سطح مقطع ثابت بوده و از مصالح همگن ساخته شده باشد:
بررسی پایداری ستون ها و (تیرستون ها)، مقدمه ای بر بررسی پایداری قاب ها(Frames) بوده و مبانی پایه ای بررسی مذکور را فراهم می کند.
اسلاید 6 :
فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )
الف) كاربرد تعادل خنثي براي بررسي پايداري ستون
در يك سازه ضمن انتقال از حالت تعادل پايدار به حالت تعادل ناپايدار، يك حالت تعادل خنثي وجود دارد. باري كه تحت اثر آن حالت تعادل خنثي پديد مي آيد، بار بحراني ناميده مي شود. بنابراين بار بحراني باري است كه تحت اثر آن تعادل ستون در حالت خمش به گونه اي كه در شكل زیر نشان داده شده است، امکان پذیر است:
اسلاید 7 :
فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )
لنگر مقاوم داخلي در هر مقطع، در فاصله x از مركز برابر است با:
با در نظر گرفتن تعادل اين لنگر با لنگر خمشي خارجي وارده Py ، معادله ديفرانسيل زير بدست مي آيد:
اسلاید 8 :
فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )
اگر فرض كنيم:
بدين ترتيب معادله ديفرانسيل به صورت معادله زير در مي آيد:
حل عمومي اين معادله ديفرانسيل به صورت زير مي باشد:
براي ارزيابي ضرايب ثابت A و B از شرايط مرزي زير استفاده مي كنيم:
x=0
y=0
x=l
y=0
اسلاید 9 :
فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )
از جايگذاري شرط اول خواهيم داشت:
از جايگذاري شرط دوم خواهيم داشت:
اين رابطه مي تواند در يكي از دو حالت زير ارضا شود:
A=0
sin kl =0
اگر A=0 باشد k و در نتيجه P مي تواند هر مقداري را دارا باشد. اين نتيجه به عنوان جواب بديهي شناخته مي شود، زيرا آنچه را كه قبلا ً معلوم بوده است تائيد مي كند. یعنی تا وقتی که ستون تحت هر بار P ، کاملا قائم باقی بماند، در حال تعادل است.
اگر sin kl =0 باشد در اين صورت خواهيم داشت:
اسلاید 10 :
فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )
kl=nл و n =1,2,……
با داشتن نتايج زير حاصل مي شوند ( بار های بحرانی و منحنی تغییر شکل):
رفتار ستون اولر در شكل صفحه بعد ديده مي شود:
اسلاید 11 :
فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )
شكل مذكور نشان مي دهد كه قبل از رسيدن به بار اولر، ستون بايد قائم بماند. تحت اثر بار اولر، يك دوشاخگي (Bifurcation) در تعادل وجود دارد، يعني ستون مي تواند قائم بماند و يا تغيير شكل يافته و دامنه نامعين به خود بگيرد. اين رفتار معلوم مي كند كه يك حالت تعادل خنثي تحت اثر بار اولر وجود دارد. بنابراين بار اولر، انتقال از حالت تعادل پايدار به حالت تعادل ناپايدار را تعيين مي كند.
Pcr
اسلاید 12 :
فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )
بار اولر حاصل از تحليل مذكور، گاهي به عنوان بار بحراني و گاهي به عنوان بار كمانش نامبرده مي شود. ولي در واقعيت اين دو بار با همديگر فرق دارند. باري كه تحت اثر آن يك ستون ناكامل Imperfect به طور ناگهاني و ديناميكي در جهت جانبي كمانه مي كند، بار كمانش ناميده مي شود و به بيان ديگر كمانش پديده اي است كه وقتي روي ستون واقعي طي يك آزمايش بارگذاري مي شود ظاهر مي گردد. كلمه بار بحراني، براي باري كه تحت اثر آن تعادل خنثي براي يك ستون كامل Perfect مطابق با تحليل مذكور ممكن است، به كار گرفته مي شود. به بيان ديگر كلمه بار بحراني مربوط به يك تحليل تئوريك ستون كامل است.
ب) بارهاي بحراني و مدهاي بحراني ستون
معادله زیر نشان مي دهد كه براي مقاديرn بزرگ تر از 1، بارهاي ديگري بزرگ تر از بار اولر وجود دارند كه تحت اثر آنها تعادل خنثي امكان پذير است به عنوان مثال:
اسلاید 13 :
فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )
لازم به ذكر است كه بارهاي بزرگ تر از بار اولر از لحاظ رياضي معتبر مي باشند. در موقعيت هاي واقعي، وجود ناكاملي هاي هندسي در تمايل سيستم به سمت مد خاص كمانش مؤثر خواهد بود.
L/3
اسلاید 14 :
فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )
پ) ويژگي هاي تحليل پايداري ستون اولر:
در اينجا لازم است كه به برخي ويژگي هاي تحليل انجام شده براي به دست آوردن بار اولر اشاره شود:
الف) تئوري تغيير شكل مورد استفاده، تئوري تغيير شكل هاي كوچك است.
ب) تئوري مورد استفاده، تئوري ارتجاعي است، به عبارت ديگر پايداري ارتجاعي ستون مورد تحليل قرار گرفته است.
پ) معادله ديفرانسيل حاكم ، يك معادله ديفرانسيل خطي از مرتبه دوم است، لذا اصطلاحا تحليل مذكور، يك تحليل خطي پايداري Linear Stability Analysis ناميده مي شود.
ت) در تحليل مذكور با يك سيستم پيوسته سر و كار داريم نه يك سيستم گسسته.
اسلاید 15 :
فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )
ث) تئوري خطي مذكور يك مساله ويژه مقدار Eigenvalue Problem است.كوچك ترين ويژه مقدار، تعيين كننده بار بحراني اولر است و ويژه بردار وابسته به آن نشانگر شكل كمانش مي باشد.
ج) تئوري خطي مذكور تنها مقادير بارهاي بحراني و مدهاي كمانش را مشخص مي كند و قادر نيست كه رفتار پس بحراني (Post-Critical Behaviour) را به نمايش گذارد.
شكل صفحه بعد نقاط دوشاخگي را به عنوان آستانه هاي (Thresholds) ناپايداري ارتجاعي يك ستون تحت اثر بار محوري نشان مي دهد. در اين شكل مسيرهاي پس كمانشي به طور شماتيك به وسيله منحني هايي با خط چين نشان داده شده اند، در ضمن محدوده اعتبار تئوري خطي مذكور در شكل نشان داده شده است.
اسلاید 16 :
فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )
Range of validity of small displacement analysis
Amplitude
اسلاید 17 :
فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )
ت) بررسي تطبيقي رفتار ناپايداري ستون اولر
در اینجا لازم است که به بررسی تطبیقی رفتار ناپایداری ستون اولر با توجه به مباحث ارائه شده در فصل دوم اشاره ای شود. اساسا رفتار ناپايداري ستون اولر از نوع ناپايداري نقطه دوشاخگي متقارن پايدار است.
مساله يك ميله مستقيم الاستيك لاغر را كه تحت اثر نيروي فشاري محوري قرار دارد در نظر مي گيريم:
اسلاید 18 :
فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )
تحت اثر نيروي فشاري وارده، اين ميله در ابتدا تحت كوتاه شدگي محوري قرار خواهد گرفت كه مقدار اين كوتاه شدگي به طور خطي متناسب با نيروي وارده است. اين نوع رفتار و مسير تعادل مربوط به آن، مسير تعادل اوليه خواهد بود.
با افزايش بار وارده، ميله بيشتر و بيشتر فشرده مي شود، ولي همچنان بافتار مستقيم خود را حفظ مي كند تا اين كه به نقطه دوشاخگي ميرسد. مقدار مشخص نيروي وارده محوري بيانگر نقطه دوشاخگي مي باشد.
اسلاید 19 :
فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )
با افزايش بيشتر بار وارده بعد از نقطه دوشاخگي ميله يكي از دو مسير تعادل را طي خواهد كرد:
الف) ميله مي تواند مستقيم بماند و تحت فشردگي بيشتر در امتداد مسير تعادل اوليه قرارگيرد.
ب) يك فرم خميده را به خود بگيرد و علاوه بر تغيير شكل محوري تحت اثر تغيير شكل هاي جانبي نيز قرار گيرد كه بيانگر مسير ثانوي تعادل مي باشد.
لازم به ذكر است كه مسير مستقيم تعادل بعد از نقطه دوشاخگي، ناپايدار مي باشد، به گونه اي كه يك اختلال كوچك موجب خواهد شد كه ستون، مسير تعادل خميده را انتخاب نمايد كه مسير پايداري مي باشد.
بعد از نقطه دوشاخگي، سختي ستون كاهش مي يابد ولي همچنان سختي مذكور مثبت مي باشد و ظرفيت باربري ستون همچنان قابل افزايش است.
اسلاید 20 :
فصل سوم : پايداري ستون ها ( و تير ستون ها )
ث) اثر شرايط مرزي در بار بحراني ستون
اگر تكيه گاه هاي ستون، به غير از تكيه گاه هاي مفصلي باشند، تاثير اساسي در بار بحراني ستون مي گذارند. در اين بخش به اثر چهار نوع سيستم تكيه گاهي ستون، در بار بحراني اشاره مي كنيم:
ستون دو سر گيردار،
ستوني كه يك سر آن گيردار و سر ديگرش آزاد است،
ستوني كه يك سر آن گيردار و سر ديگرش مفصلي است،
ستون يك سر مفصلي و يك سر گيردار ارتجاعي.
