بخشی از پاورپوینت
اسلاید 2 :
روش های عددی در ژئومکانیک
اسلاید 3 :
فصل سوم : فرمول بندی روش عناصر محدود در تحليل خطی
اسلاید 4 :
1- مقدمه
- نخستین کاربرد روش های عملی عناصر محدود، در تحلیل خطی سازه ها بود و روش عناصر محدود، اساسا محرک اولیه خود را برای بسط و توسعه، در این حوزه پیدا کرده است.
روش استاندارد برای تحلیل حل عناصر محدود جامدات و محیط های پیوسته، روش تغییر مکان یا روش سختی است که به طور گسترده ای مورد استفاده قرار می گیرد. در تحلیل عناصر محدود با استفاده از روش تغییر مکان (Displacement method) یا همان روش سختی (Stiffness method) از دو نوع فرمول بندی استفاده می شود:
فرمول بندی عناصر محدود مبتنی بر تغییرمکان(Displacement-Based Finite Element Formulation)
فرمول بندی عناصر محدود آمیخته (Mixed Finite Element Formulation)
- در فرمول بندی عناصر محدود مبتنی بر تغییرمکان، متغیرهای حالت از نوع تغییرمکان های تعمیم یافته (تغییرمکان یا دوران) می باشند. برای تحلیل سازه های خمش صفحه و پوسته ای ترجیحا از فرمول بندی عناصر محدود آمیخته استفاده می شود که در آنها علاوه بر تغییرمکان های تعمیم یافته از تنش یا کرنش نیز به عنوان متغیر حالت استفاده می شود.
در این فصل، تاکید و تکیه اصلی ما بر روی فرمول بندی عناصر محدود مبتنی بر تغییرمکان خواهد بود.
" اصل کار مجازی یا تغییرمکان های مجازی" رابطه بنیادی است که برای فرمول بندی عناصر محدود مبتنی بر تغییرمکان مورد استفاده قرار خواهد گرفت. اصل مذکور، معادل کاربرد روش Ritz برای مینیمم سازی پتانسیل کلی سیستم می باشد.
اسلاید 5 :
2- نحوه استخراج معادلات روش عناصر محدود
ابتدا معادلات روش عناصر محدود را برای یک جسم عمومی سه بعدی استخراج می کنیم و سپس این فرمول بندی عمومی را برای مسائل خاص اعمال می نماییم.
جسم عمومی سه بعدی زیر را در نظر می گیریم:
در تحلیل عناصر محدود، جسم را به صورت مجموعه همبسته (Assemblage) از عناصر محدود گسسته که فقط در نقاط گرهی در مرزها با یکدیگر اتصال یافته اند، تقریب سازی می کنیم.
بحثی در مورد تفاوت مجموعه همبسته عناصر محدود (Finite Element Assemblage) و سازه (Structure)
اسلاید 7 :
مراحل تشکیل ماتریس سختی در روش عناصر محدود در تحلیل ایستایی
الف: ارتباط تغییرمکان ها در درون هر عنصر بر حسب تغییرمکان های نقاط گرهی عنصر (یا مجموعه همبسته عناصر)
تغییرمکان ها که در یک دستگاه مختصات اختیاری در درون عنصر اندازه گرفته می شوند، تابعی از تغییرمکان ها در N نقطه گرهی عنصر (یا مجموعه همبسته عناصر محدود) فرض می شوند (در این مرحله دستگاه های محلی و کلی یکسان در نظر گرفته می شوند). بنابراین برای عنصر m داریم:
اسلاید 8 :
بردار مذکور را در حالت عمومی تر می توانیم به صورت زیر بنویسیم:
که در آن Ui می تواند یک تغییرمکان در هر یک از جهات X ،Y یاZ یا دوران در سازه های تیری، خمش صفحه و پوسته باشد.
اسلاید 9 :
ب: ارتباط کرنش ها در درون هر عنصر بر حسب تغییرمکان های نقاط گرهی عنصر (یا مجموعه همبسته عناصر)
پ: ارتباط تنش ها در درون هر عنصر بر حسب کرنش ها و تنش های اولیه عنصری یا بر حسب تغییرمکان های نقاط گرهی عنصر (یا مجموعه همبسته عناصر)
در این مرحله کرنش ها در درون هر عنصر را می توان به تغییرمکان های نقاط گرهی عنصر (یا مجموعه همبسته عناصر محدود) به صورت زیر ارتباط داد:
اسلاید 10 :
ت: اعمال اصل تغییرمکان های مجازی و استخراج ماتریس سختی سازه (در مختصات کلی) و بردار بار (در مختصات کلی)
در استفاده از اصل تغییرمکان های مجازی فرضیات یکسانی را برای تغییرمکان ها و کرنش های مجازی به کار
می بریم به عبارت دیگر داریم:
اصل کار مجازی برای یک جسم عمومی را به صورت زیر نوشتیم:
اصل کار مجازی مذکور را اگر به مجموعه همبسته عناصر اعمال کنیم، در این صورت خواهیم داشت:
اسلاید 11 :
اگر روابط مذکور را در اصل کار مجازی جایگذاری کنیم:
رابطه زیر را بدست می آوریم:
اسلاید 12 :
درنهایت به رابطه روبرو می رسیم:
اسلاید 14 :
بررسی دو مثال:
مثال حالت تنش مسطح را در نظر می گیریم:
تنش مسطح (Plane Stress) در چارچوب مسائل الاستیسیته صفحه ای مطرح می شود.
اسلاید 15 :
مثالی از شرایط تنش مسطح:
تیر تحت اثر کنش های درون صفحه ای ( از جمله دیوارهای برشی)
اسلاید 16 :
ماتریس مصالح
اسلاید 17 :
مثالی از شرایط کرنش مسطح :
سد طویل تحت اثر فشار آب
اسلاید 20 :
صفحه طره ای در شرایط تنش مسطح عمل می کند، پس ماتریس مصالح آن به صورت زیر می باشد:
که در آن U برداری است که شامل تمامی تغییرمکان های نقاط گرهی مجموعه همبسته عناصر محدود می باشد:
