دانلود مقاله ترکیبات و نظریه گراف

word قابل ویرایش
27 صفحه
8700 تومان
87,000 ریال – خرید و دانلود

در این مقاله می خواهیم به دو مبحث بزرگ از ریاضیات گسسته با نامهای ترکیبات و نظریه‌ی گراف بپردازیم که در این دوران شاهد پیشرفت چشمگیر آنها می باشیم .
این دو مبحث بدلیل آنکه دارای کاربرد وسیعی در علم کامپیوتر و برنامه سازی های کامپیوتری می‌باشند حائز اهمیت فراوان می باشند .
۱-ترکیبات :

 

شاید در نگاه اول ترکیبات یک بخش معماگونه و سطحی از ریاضیات به نظر برسد که دارای کاربرد چندانی نبوده و فقط مفهوم های انتزاعی را معرفی می کند ولی این شاخه از ریاضیات دارای گستره‌ی وسیع بوده و دارای شاخه های زیادی نیز می باشد .
ابتدا به مسأله ای زیبا از ترکیبات برای آشنا شدن بیشتر با این مبحث ارائه می کنیم .
سوال : یک اتاقی مشبک شده به طول ۸ و عرض ۸ داریم که خانه‌ی بالا سمت چپ و خانه‌ی پایین سمت راست‌ آن حذف شده است (مانند شکل زیر)

حال ما دو نوع موزاییک داریم . یکی ۲*۱ ( ) و دیگری ۱×۲ ( ) سوال این است که آیا می توان این اتاق را با این دو نوع موزائیک فرش کرد .
احتمالاً اگر شخص آشنایی با ترکیبات نداشته باشد می گوید «آری» و سعی می کند با کوشش و
خطا اتاق را فرش کند ولی این کار شدنی نیست ؟! و اثبات جالبی نیز دارد .
اثبات : جدول را بصورت شطرنجی رنگ می کنیم مانند شکل زیر :

حال با کمی دقت متوجه می شویم که هر موزائیک یک خانه از خانه های سیاه و یک خانه از خانه‌های سفید را می پوشاند یعنی اگر قرار باشد که بتوان با استفاده از این موزائیک ها جدول پوشانده شود باید تعداد خانه های سیاه با تعداد خانه های سفید برابر باشد ولی این گونه نیست زیرا تعداد خانه های سفید جدول برابر ۳۲ و تعداد خانه های سیاه برابر ۳۰ می باشد . در نتیجه این کار امکان امکان پذیر نیست .

این مسأله مربوط به مسائل رنگ آمیزی در ترکیبات بوده که دارای دامنه‌ی وسیعی از مسائل دشوار و پیچیده می باشد در زیر چند نمونه از مسائل آسان و سخت را بیان می کنیم .
۱-ثابت‌کنید هیچ جدولی را نمی توان به موزائیک هایی به شکل و پوشاند .

(راهنمایی: ثابت کنید حتی سطر اول جدول را هم نمی توان پوشاند)
۲-ثابت کنید یک مهره‌ی اسب نمی تواند از یک خانه‌ی دلخواه صفحه‌ی n*4 شروع به حرکت کند و تمام خانه ها را طی کند .

۳-یک شبکه‌ی n*m از نقاط داریم یک مسیر فراگیر مسیری است که از خانه‌ی بالا سمت چپ
شروع به حرکت کرده و از همه‌ی خانه هر کدام دقیقاً یک بار عبور کند و به خانه‌ی سمت راست پایین برود ثابت کنید شرط لازم و کافی برای وجود یک مسیر فراگیر در شبکه‌ی n*m آن است که لااقل یکی از m یا n فرد باشد (مرحله‌ی دوم المپیاد کامپیوتر ایران) در شکل زیر یک مسیر فراگیر را برای جدول ۵*۴ می بینیم .

B
4-ثابت کنید شرط لازم کافی برای پوشش جدول n*m با موزائیک های ۲*۱ یا ۱*۲ آن است که یا m یا n زوج باشند .
حال می‌خواهیم یک مبحث مهم از ترکیبات به نام استقراء را معرفی کنیم.
استقراء بعنی رسیدن ازجزء به کل و هم ارز است با اصل خوشترتیبی زیر مجموعه‌ها( اصل خوشتربینی بیان می‌کند که هر مجموعه متناهی از اعداد عضوی به نام کوچکترین عضو دارد).
برای اثبات حکمی به کمک استقراء لازم است:

۱) حکم را برای یک پایه دلخواه(که معمولاً کوچک باشد) ثابت کنیم.
۲) حکم را برای یک k دلخواه فرض می‌گیریم.
۳) به کمک قسمت ۲ حکم را برای ثابت می‌کنیم.
بسیاری از گزاره‌ها به کمک این استقراء که در ظاهر ساده است ثابت می‌شود:
یک مثال ساده:
ثابت کنید: .

برای که داریم و حکم برقرار است:
فرض کنیم برای درست باشد حکم را برای ثابت می‌کنیم داریم:

که این قسمت طبق فرض بردار می‌باشد
و برای نیز حکم مسأله برقرار است.
یک مثال سخت:

این سئوال در المپیاد کامپیوتر امسال مطرح شده و ما فقط یک قسمت آنرا بطور خلاصه بیان می‌کنیم.
سئوال: در روز A دارای تعداد مجموعه می‌باشد بطوریکه هیچ مجموعه‌‌ای زیرمجموعه دیگری نیست یعنی اکر )
حل شایان در روز B می‌آید از روی مجموعه‌های A تمام مجموعه‌هایی را نمی‌سازیم که دارای دو شرط زیر می‌باشند:

۱- هر مجموعه‌ای دلخواه در روز B با تمام مجموعه‌ها در روز A اشتراک دارد.
۲-اگر از یک مجموعه دلخواه در روز B یک عضو را حذف کنیم آنگاه دیگر شرط ۱ برقرار نباشد( که به این شرط، شرط مینیمالی می‌گوئیم:

حال فراز در روز C از روی مجموعه‌های B تمام مجموعه‌هایی با دو شرط بالا را می‌سازد ثابت کنید ( یعنی تمام مجموعه‌های روز اول در روز سوم نیز تولید شده‌اند)
اثبات: ابتدا لم زیر را ثابت می‌کنیم:
لم: به ازای هر مجموعه دلخواه در روز A مثل در روز B n تتا مجموعه وجود دارند بطوریکه هر کدام از آنها دقیقاً یکی از اعضای را دارند( ممکن است اعضای دیگری نیز داشته باشند ولی هر کدام دقیقاً یکی از را دارند.)

اثبات لم: با استقراء روی تعداد مجموعه‌های روز اول حکم را ثابت می‌کنیم. برای یک مجموعه در روز A وضعیت مجموعه‌ها در روزهای C,B,A مشخص شده‌اند:

و حکم برقرار است زیرا
حال فرض کنیم حکم برای درست باشد حکم را برای بدین ترتیب ثابت می‌کنیم که:
اگر ثابت کنیم لم برای یک مجموعه دلخواه در روز A برقرار است اثبات لم کامل است یک مجموعه دلخواه در A را در نظر می‌گیریم مثل حال مجموعه را حذف می‌کنیم حال طبق فرض مجموعه هست که از هر کدام از دقیقاً یک عضو دارد. حال وقتی که مجموعه را اضافه می‌کنیم دوحالت پیش می‌آید:
– مجموعه قسمت فرض، هرکدام از آن مجموعه‌ها دارای دو شرط ۱و۲ می‌باشند.

۲) تمام اعضای در می‌باشد که در این صورت چون نسیت پس عضوی دارد که در نیست و می‌توانیم آن عضو را به مجموعه اضافه کرده حال این مجموعه شرط ۱ را دارا می‌باشند ولی شاید بعضی از آنها شرط ۲ را نداشته باشند که می‌توان با حذف تعدادی از اعضاء آنها را به حالت مینیمال رساند و شرط ۲ نیز برقرار ساخت و اثبات لم کامل است.

حال فرض کنیم عضوی از A باشد که در C نیامده باشد ثابت می‌کنیم این عضو هر دو شرط را برای مجموعه B دارا می‌باشد و چون C تمام مجموعه‌هایی است که این دو شرط را برای مجموعه B دارند پس آن عضو A نیز باید در C نیز بیاید اول آن عضو A باید با هر کدام از اعضای B اشتراک دارد زیرا هر کدام از اعضای B با هر کدام از اعضای A اشتراک دارند و طبق لم نیز هر کدام از اعضای A مینیمال نیز می‌باشند و حکم درست است.

اصل لانه کبوتری:
اصلی ساده در ترکیبات است که بسیاری از مسائل با آن حل می‌شوند و صورت آن به شرح زیر است:
اصل لانه کبوتری: اگر مروارید را در داخل k جعبه بگذاریم حتماً‌ جعبه‌ای وجود دارد که حداقل عدد مروارید در آن می‌باشد.
یکی از مثالهای ساده و زیبای این اصل سئوال زیر است:
در جمعی n نفر حضور دارند بعضی از اشخاص این جمع با هم دست می‌دهند ثابت کنید این جمع دو نفر وجود دارند که با تعداد برابر دست داده‌اند.

اثبات: هر نفر می‌تواند با ۰ تا n-1 نفر دست دهد حال اگر فردی باشد که با همه دست داده باشد آنگاه فردی نیست که با کسی دست نداده باشد و بالعکس بنابراین در این جمع هیچکاه دو نفر وجود ندارد که یکی با ۰ و دیگری با n-1 نفر دست داده باشد. حال فرض کنیم هیچ شخصی وجود نداشته باشد که به تعداد برابری دست داده باشند و چون تعداد این دست دادنها از ۰ تا n-1 است
( کلاً n عدد) پس هم باید ۰ بیاید و هم n-1 که این خلاف گفته‌های بالا می‌باشد.
یک مثال نسبتاً سخت: ثابت کنید اعداد در مجموعه وجود دارند که در معادله‌ای زیر صدق بکند: ( همه ها نمی‌توانند صفر باشند.

اثبات: ابتدا همه را تنها با دو عدد ۱و ۰ جایگذاری می‌کنیم که این به حالت امکان‌پذیر است سپس اگر هیچکدام از این جایگذاری‌ها به پیمانه صفر نشدند پس طبق اصل لانه کبوتری دو جایگذاری می‌باشند که باقیمانده یکسانی نسبت به دارند( زیرا باقیمانده‌ها باید از ۱ تا باشد و ما جایگذاری داریم.)
حال اگر ما جایگذاری اول را A و جایگذاری دوم را B بگیریم A-B یک جایگذاری مطلوب است و همچنین تمام ها نیز د رمجموعه قرار نمی‌گیرند.

چند سئوال: ثابت کنید در بین هر ۶ نفر یا ۳ نفر هستند که دو به دو یکدیگر را می‌شناسند یا ۳ نفر هستند که دوبه‌دو یکدیگر را نمی‌شناسند( آشنایی رابطه‌ای دو طرفه است یعنی اگر B,A را بشناسد B نیز A را می‌شناسد.
۲- اعدادی حقیقی تا را دور دایره نوشته‌ایم بطوریکه برای یک می‌باشد. حال ما از
یک نقطه دلخواه شروع می‌کنیم و درجهت عقربه‌های ساعت حرکت را ادامه می‌دهیم حال اگر از
رأس شروع کرده‌باشیم مجموعه زیر را Sمی‌نامیم:
یعنی به عدد اول ۳ را ضرب در عدد دوم و در عدد n ام درجهت عقربه‌های ساعت را ضرب می‌کنیم برای شکل زیر اگر از دو عدد شروع کنیم برابر:

 

ثابت کنید مکانی وجود دارد که اگر از آن شروع به حرکت کنیم S بزرگتر مساوی می‌شود.
( مرحله دوم المپیاد کامپیوتر ایران)
در آخر بخش ترکیبات نیز چند مسأله که در المپیاد‌ها مطرح شده می‌آوریم:
۱- درجه ولی تعداد مهره وجود دارد حال اگر در خانه بیش از یک مهره قرار داشت می‌توان یکی از دو حرکت زیر را انجام داد.

۱- دو مهره را انتخاب کرده و یکی را حذف کرده و دیگری را به خانه سمت راستی برد.
۲- دو مهره را انتخاب کرده و یکی را حذف کرده و دیگری را به خانه سمت راست برد.
ثابت کنید اگر تعداد مهره‌ها بیشتر مساوی باشد می‌توان با استفاده از این دو عمل یک مهره را به خانه گوشه سمت راست و بالا انتقال داد( مرحله دوم المپیاد ریاضی)
۲- در کهکشان راه شیری بیش از یک میلیون ستاره قرار دارد فاصله دو به دوی این ستاره‌ها را حساب می‌کنیم ثابت کنید در این اعداد لااقل ۷۹ عدد متمایز قرار دارد.( مرحله دوم المپیاد ریاضی).
۳- تعداد جداول که با ۱و ۱- پرشده و حاصلضرب اعداد هر سطر وهر ستون نیز مثبت است
( مرحله دوم المپیاد کامپیوتر)

یک سئوال سخت:
۴- ثابت کنید ماکزیمم تعداد زیرمجموعه‌های که از مجموعه می‌توان انتخاب کرد بطوریکه هیچ زیرمجموعه‌ای، زیرمجموعه، زیرمجموعه دیگر نباشد می‌باشد.
نظریه گراف:
نظریه گراف شاخه‌‌‌‌‌ای از ریاضیات است که به شدت درحال رشد است و هرچه بیشتر در آن جلو می‌رویم مسائل حل نشده و مهم زیادی را می‌بینیم.
تعریف گراف:

گراف را با مجموعه رئوس ۷ و مجموعه یالهای E تعریف می‌کنند بطوریکه هر یال دو رأس را به هم وصل می‌کند( یالها ممکن است جهت‌دار باشند) معمولاً گراف را در صفحه با نقطه برای نمایش رأسها و خط برای نمایش یالهای استفاده می‌شود مثلاً:

یک گراف جهت‌دار یک گراف ساده
یک مسیر در گراف از رأس u بربه رأس v مسیری است از یالها از u بهv بطوریکه رأس تکراری نرویم مثلاً در گراف زیر یک مسیر از رأس u به رأس v مشخص شده( به صورت یالهای هاشور خورده).

یک گراف را همبندی می‌نامیم اگر بین هر دو رأس آن یک مسیر وجود داشته باشد.
مثلاً شکلهای زیر را ببینید.

یک گراف ناهمبند یک گراف همبند
یک دور گراف مسیری را از رأس u به خود رأس u می‌باشد که حداقل یک یال داشته باشد مثلاً دور زیر:
یک درخت یک گراف همبندی دور می‌باشد.
یک زیرگراف از G گرافی است که و می‌باشد.
یک زیرگراف القایی زیرمجموعه‌ای از رئوس است بطوریکه تمام یالهای G دو سرش در این رئوس باشد.
درجه یک رأس در یک گراف ساده عبارت است از تعداد یالهایی که آن رأس رویشان قرار دارد برای مثال درجه رئوس گراف زیر روی هر رأس نوشته شده‌است. درجه رأس V را باdeg(v) نمایش دهیم.
قضیه: اگر تعداد یالهای گراف را با e نمایش دهیم داریم:

اثبات: زیرا هر یال درجه ۲ رأس هرکدام یکی افزایش می‌دهد.
یکی ازنتایج بسیار مهم این قضیه آن است که تعداد رأس با درجه فرد رد یک گراف زوج است با استفاده از این قضیه کوچک مسائلی حل می‌شوند که در حالت عادی و بدون استفاده از گراف بسیار سخت بودند.

سئوال: یک رشته کوه عبارت است از: یک خم چندضلعی شکل از (a,0) و (b,0) در نیم صفحه بالای فرض کنیم شایان و فراز به ترتیب در نقاط(a,0) و (b,0) واقع باشند ثابت کنید شایان و فراز با سوزوی رشته کوه بطوریکه در همه زمانها ارتفاع‌های آنها بالای محور افقی یکی باشد یکدیگر را ملاقات می‌کنند( راهنمای: گرافی را برای مدلسازی حرکت تعریف کنید و از زوجیت تعداد رأسها با درجه فرد استفاده کنید) سئوال از کتاب D-west بوده و طرح این سئوال از دی‌ها ضمن می‌باشد.

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
word قابل ویرایش - قیمت 8700 تومان در 27 صفحه
87,000 ریال – خرید و دانلود
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد