بخشی از مقاله
چکیده
در قطعاتی که تحت شک حرارتی قرار میگیرند ، تحلیل تنش حرارتی جزء یکی از مهمترین بخشهاي طراحی میباشد. به این دلیل حل معادلات ترموالاستیسیته کوپل1 تحت بارگذاريهاي مختلف از مسائلی میباشد که امروزه مورد توجه بسیاري از محققان قرار گرفته است. در این مقاله شک حرارتی در یک محیط محدود الاستیک در حوزه زمان با استفاده از مدل ترموالاستیک کوپل مورد بررسی قرار گرفته است. براي مدلسازي مساله از معادلات لرد-شلمن استفاده شده است. براي حل معادلات یک مدل المان محدود گلرکین براي گسستهسازي معادلات ارایه شده است و معادلات گسسته شده لرد-شلمن با استفاده از روش عددي نیومارك در حوزه زمان انتگرالگیري شده و پاسخ زمانی معادلات براي جابجایی، دما و تنش بر حسب زمان استخراج شده است. یک محیط محدود الاستیک تحت شرایط مرزي شوك حرارتی قرار گرفته و نتایج عددي براي توزیع دما، جابجایی و تنش بر حسب زمان و مکان ارایه شده و موج تنش و پیشانی موج ملاحظه شده است. اثر پارامترهاي مختلف از جمله زمان استراحت و ضریب نفوذ حرارت بر مقدار و نحوه توزیع تنش هاي دینامیکی مورد بررسی قرار گرفته است.
واژههاي کلیدي: ترموالاستیسیته کوپل، شک حرارتی، روش المان محدود گلرکین، مدل لرد شلمن، پیشانی موج
مقدمه
ترك برداشتن و شکستن یک لیوان یخ هنگام قرار گرفتن در ظرف آب جوش نمونه ساده از اثر مخرب تنشهاي حرارتی در اثر وارد آمدن شوك حرارتی میباشد. تئوري ترموالاستیسیته پیشبینی رفتار ترمومکانیکی جامدات الاستیک را مورد بررسی قرار میدهد. این تئوري از تعمیم هر دو تئوري الاستیسیته و تئوري رسانش گرمایی در جامدات به وجود میآید .[1] براي در نظر گرفتن اثر انتشار موج ترموالاستیک در محیط جامد اچ.دبلیو.لرد و واي.شلمن مدل خود را در سال 1967 ارائه کردند. در این مدل قانون رسانش فوریه تعمیم داده شد و پارامتري به نام زمان استراحت وارد معادله انرژي شد. مدلهاي دیگري مانند مدل گرین– لیندسی2 و گرین-نقدي 3 نیز در سالهاي بعد ارائه شد که در همه این معادلات انتشار امواج با سرعت محدود تضمین شده بود. مجموعه این مدلها تئوري ترموالاستیسیته تعمیم یافته نام گرفت. به دلیل اینکه حل تحلیلی مسائل کوپل و تعمیم یافته ترموالاستیسیته از نظر ریاضی کاري پیچیده است ، روشهاي عددي مانند روش المان محدود به گستردگی در این زمینه مورد استفاده قرار گرفته اند .[2]
تئوري کلاسیک ترموالاستیسیته کوپل
در سازه هایی که تحت شک حرارتی قرار میگیرند و زمان اعمال شوك از مرتبه کوچکترین فرکانس طبیعی سیستم است باید از معادلات کوپل شده استفاده شود. که u و T به ترتیب جابجایی و توزیع دما میباشند. دمایی است که در آن هیچگونه تنش حرارتی به جسم وارد نمیشود. μ و λ نیز پارامترهاي لمه نام دارند و به صورت زیر تعریف میشوند. براي بدست آوردن توزیع دما و جابجایی این دو معادله باید همزمان حل شوند2]و.[3
مدل لرد- شلمن4
وقتی نرخ زمانی تغییرات شرایط مرزي گرمایی یا نرخ زمانی تغییرات منبع گرمایی در مقایسه با مشخصات ارتعاشی ماده قابل توجه باشد ، امواج تنش حرارتی به وجود میآیند. تحت چنین شرایطی حل هم-زمان معادلات - 1 - و - 2 - جواب مورد نظر را به ما نمیدهد. این معادلات از نوع ترکیبی سهموي- هذلولوي هستند به خاطر خاصیت ریاضی معادلات ذکر شده اثرات خارجی ایجاد شده در مرزها فورا در تمامی نقاط حس میشوند. به عبارت دیگر اگر یک جسم الاستیک تحت شوك حرارتی قرار گیرد ، بر طبق این دو معادله اثرات شوك فورا از مرزها به تمامی نقاط میرسد . براي مسائل کاپل ترموالاستیسییته این بدین معنیست که اثر شوك بر الگو و بزرگی تنشها و دما بلافاصله اثر میکند. سرعت انتشار امواج طبق این معادلات نامحدود است. چون این پدیده از نظر فیزیکی غیرممکن است معادلات - 1 - و - 2 - باید تعمیم داده شود. براساس این موضوع مدلهایی براي ایجاد انتشار موج با سرعت محدود مطرح شده است . مجموع این تئوریها ، ترموالاسستیک کوپل با اثر صوت دوم5 یا ترموالاسستیک کوپل تعمیم یافته نامیده میشود. اساس مدل لرد-شلمن برپایه اصلاح قانون رسانش فوریه و تعریف مفهوم زمان استراحت استوار است. تئوري لرد شلمن رابطه بین نرخ انتقال حرارت و توزیع دما را به صورت زیر بیان میکند که t زمان استراحت6 نام دارد و برابر با مقدار زمان مورد نیاز براي اینکه انتقال حرارت در اثر ایجاد گرادیان دماي شدید در مرزهاي سیستم به حالت پایا برسد. معادلات 5 و 6 معادلات جابجایی و انرژي طبق مدل لرد- شلمن میباشند. همان طور که مشاهده میشود مدل لرد-شلمن معادله جابجایی را تغییر نمیدهد و تنها با اصلاح قانون فوریه معادله انرژي را تعمیم میدهد. با قرار دادن مقدار صفر براي زمان استراحت معادله کلاسیک انرژي بدست میآید.
حل المان محدود معادلات لرد شلمن
به دلیل پیچیدگیهاي حل تحلیلی معادلات ترموالاستیسیته کوپل، از روشهاي عددي براي حل این معادلات استفاده میشود. روش المان محدود به عنوان روش عددي نیرومند براي حل معادلات مقدار مرزي ترموالاستیسیته کوپل مورد استفاده قرار گرفته است. در اینجا از روش المان محدود گلرکین استفاده میشود.[2] براي گسسته سازي معادلات در روش المان محدود متغیر میدان بصورت زیر بر حسب مقادیر گرهیی نوشته میشود. المان خطی در نظر گرفته میشود و توزیع دما و جابجایی در داخل المان به صورت زیر تقریب زده میشود. - 9 - - 10 -
حل زمانی به روش انتگرالگیري نیومارك
تکنیک هاي تفاضل محدود زیادي براي گسسته سازي معادله - 14 - وجود دارد . در اینجا از روش گسسته سازي نیومارك بتا یا روش شتاب ثابت استفاده میشود. این روش دقت بالایی دارد و میتوان از نمو زمانی بزرگتري در آن نسبت به بقیه روشهاي تفاضل محدود استفاده کرد. در این روش فرض میشود شتاب در طی نمو زمانی ∆t ثابت میماند. در اینجا از مقدار استفاده می شود که مقدار انتهاي بازه زمانی میدهد.[6] تغییرات ناگهانی دما در تکیه گاه شماره 1 در شکل - 2 - آمده است
تعریف مساله
براي حل مساله تعداد المانها 800 عدد در نظر گرفته شده است. براي تعداد مختلف المان مساله حل شده است و ملاحظه شده است یک محیط ایزوتروپ یک بعدي محدود به طول L بدون هیچگونه که اگر تعداد المانها بیشتر از 200 المان باشد پاسخها کم همگرا می تنش و بار خارجی در نظر گرفته می شود. دماي اولیه محیط 207 شوند اما با افزایش تعداد المانها به بیش از 800 عدد تغییر چندانی درجه سانتیگراد یا 480 درجه کلوین درنظر گرفته میشود. فرض در نتایج مشاهده نمیشود. نمو زمانی ابتدا مقدارثانیه میشود دماي تکیه گاه شماره 1 به میزان 2 درجه با تابع در نظر گرفته شد، اما نتایج مطلوب مشاهده ∆ = 0.1 نشد، براي مقدار مییابد - 2+100t - eو T - 0,t - =482 − بصورت ناگهانی افزایش می∆ = 0.01 جوابها کاملا همگرا بوده و وابستگی به ∆ از بین
تکیه گاه شماره 2 عایق می باشد. نماي کلی مساله در رود.
