بخشی از مقاله
چکیده
با اعمال معادلات متشکله غیرکلاسیک گرادیان کرنشی و کوپل تنش برای رفتار ماده، فرمول بندی ارتعاشات آزاد تیر با استفاده از اصل تغییرات توسعه داده شد. از لحاظ سینماتیک تغییر شکل، مدل تیر اویلر-برنولی بکار رفته و به دنبال آن معادلات دیفرانسیل حاکم از نوع مرتبه شش به دست آمدند که برای حل آنها علاوه بر شرایط مرزی کلاسیک، شرایط مرزی اضافی غیر کلاسیک نیز وارد می شوند. برای توسعه روابط المان محدود، از فرم ضعیف روش گلرکین استفاده شده و با توجه به مرتبه معادله حاکم، شش تابع شکل درجه پنج برای المان معرفی گردید. در این فرمول بندی بر خلاف تئوری کلاسیک بجای دو درجه آزادی، برای هر گره از المان تیر، سه درجه آزادی شامل خیز، شیب و انحنا تعریف شده است. برای یک مطالعه عددی، حل مربوط به تیرهایی با اندازه های مختلف در بازه نانو تیر تا میکرو تیر، با دو نوع شرایط مرزی متفاوت انجام شده، فرکانس های طبیعی و شکل مدها بدست آمده و در قالب تصویر و نمودار ارائه گردیده است. از نقطه نظر اعتبار سنجی، مقایسه هایی با نتایج گزارش شده در مراجع مرتبط صورت گرفته و در مورد آنها بحث انجام شده است.
کلمات کلیدی: گرادیان کرنش؛ المان محدود؛ میکرو تیر؛ نانو تیر
-1 مقدمه
امروزه ساختارهای کوچک همچون تیرها و ورق های مقیاس میکرو و نانو استفاده روز افزونی در صنایع الکتریکی و مکانیکی یافته اند. از این رو مدل سازی تئوری جهت پیش بینی رفتار آن ها به یکی از مسائل مورد علاقه محققین تبدیل شده است. نمونه های ساخته شده عملی نشان می دهند که در برخی موارد رفتار این ساختارها نسبت به نمونه های بزرگ مقیاس کلاسیک غیرمتعارف بوده لذا این نظریه مطرح می شود که استفاده از تئوری های موجود کلاسیک نمی تواند برای این نوع ساختارهاواقع بینانه و کاملاً صحیح باشد. از جمله رفتارهای خاص این مواد می توان به اثبات عملی وابستگی ویژگی های فیزیکی و مکانیکی به اندازه آنها اشاره نمود.[1]
مرور مراجع نشان می دهد که علاوه بر روش های تجربی، روش های دینامیک ملکولی و مکانیک ملکولی نیز وابستگی ویژگی ها به اندازه رامورد تایید قرار می دهند. بهعنوان مثال جعفری و همکاران با استفاده از روش مکانیک ملکولی نشاندادند که با افزایش قطر نانولوله-های بر- نیترید، مدول الاستیک آن افزایش یافته و به یک مقدار حدی میل میکند ولی خواص پیزوالکتریک تقریباً ثابت میماند.[2] بر اساس نتایج روش دینامیکملکولی که توسط نی و همکاران گزارش شدهاست مدول یانگ گرافین وابستگی محسوسی به ابعاد آن ندارد.[3] از سوی دیگر، وانگ و همکاران با استفاده از روش دینامیکملکولی پیشبینی میکنند که با افزایش ابعاد گرافین، مدول الاستیک آن افزایشیافته و به یک مقدار حدی میل مینماید.[4]
در رابطه با تئوری های مبتنی بر مکانیک محیط پیوسته مدل های مختلفی تاکنون معرفی شده و برای مطالعه ساختارهای خاصی به کار رفته اند. در نسخه اولیه تئوری گرادیان کرنشی که توسط میندلین معرفی گردید پنج ضریب اضافه نسبت به تئوری هوک وارد می شود.[5] با اینحال در فرم ساده شده آن که توسط لم و همکاران ارائه گردید تعداد این ضرایب به سه عدد کاهش یافت.[6] با ساده سازی بیشتر بر روی این تئوری، تعداد این ضرایب به یک عدد کاهش یافته که تحت عنوان تئوری کوپل تنش اصلاح شده معرفی گردید.[7] تئوری های ذکر شده برای مدل سازی هندسه های تیر و ورق بکار رفته اند و با توجه به عدم امکان حل تحلیلی، معمولا از روش های عددی تمام حوزه ای - Global - همچون گلرکین و ریلی ریتز برای یافتن پاسخ های عددی استفاده شده است.[10-8] با اینحال، روش عددی المان محدود دارای توانایی بیشتری برای کاربرد گسترده تر این تئوری ها می باشد و به علاوه امکان استاندارد سازی حل را فراهم می نماید.
مرور مراجع نشان می دهد که گزارش های اندکی بر روی توسعه روش المان محدود برای حل عددی معادلات حاکم بر پایه روش های غیر کلاسیک از جمله گرادیان کرنشی و کوپل تنش منتشر شده است. در این رابطه، کهربائیان و همکاران از پاسخ تحلیلی تیر تحت بار استاتیکی برای فرمول بندی المان محدود تیر با تئوری گرادیان کرنشی و البته مدل سینماتیک اویلر-برنولی استفاده نمودند.[11] ژانگ و همکاران روشی مشابه را برای مدل سازی تیر یاد شده با مدل سینماتیک تغییر شکل تیموشنکو به کار بردند.[12] لازم به ذکر است که در روش های ذکر شده در این مراجع از حل استاتیکی برای حالتی خاص استفاده شده است لذا از عمومیت آن کاسته شده است.
-2 معادلات ساختاری
در تئوری هوک، انرژی الاستیکصرفاً به قسمت متقارن تانسور گرادیان اول تغییر مکان یا همان تانسور کرنش و مزدوج آن یعنی تانسور متقارن تنش وابسته است. این در حالیست که بر اساس نسخه ای از تئوری گرادیان کرنشی ارائه شده توسط لم و همکاران[6] این انرژی علاوه بر ترم هوکی به بخش هایی از تانسور گرادیان مرتبه دوم تغییر مکان نیز وابسته است. لازم به ذکر است که تانسور مذکور معادل گرادیان مرتبه اول کرنش نبوده بلکه کامل تر از آن می باشد. با اینحال در ادبیات تحقیقات منتشر شده، از اصطلاح گرادیان کرنش برای این فرمول بندی استفاده می شود. در این تئوری، انرژی کرنشی در حجم V بصورت زیر تعیین می گردد.
ترم اول در معادله فوق، حاصل ضرب تانسور متقارن کرنش - هوک گرفته شده است. همچنین گرادیان های مختلف کرنش - ij و مزدوج آن - - ij که تانسور تنش نامیده می شود بوده و از تئوری که در معادله فوق ظاهر شده اند به صورت زیر تعریف می شوند.در معادلات فوق، ui بردار تغییر مکان ، i بردار گرادیان اتساع یا به بیانی دیگر گرادیان کرنش حجمی، sijk1 تانسور مرتبه سوم گرادیان اول کرنش اعوجاجی و ij تانسور گرادیان چرخش می باشد. لازم به ذکر است که سه ترم نخست معادله انرژی الاستیک به گرادیان های مرتبه صفر و مرتبه اول کرنش مرتبط هستند ولی ترم چهارم به گرادیان مرتبه اول چرخش ij مربوط است نه گرادیانکرنش. همانگونه که در معادلات بالا معرفی شده، بردار چرخش i بیانگر سه مولفه غیر صفر تانسور پادمتقارن گرادیان مرتبه اولجابجایی می باشد. یادآوری می شود که eijk تانسور شناخته شده مرتبه سوم جایگشت است.
با الگوبرداری از معادله انرژی الاستیک مربوط به تئوری هوک، در اینجا نیز بردار pi مزدوج بردار گرادبان کرنش حجمی نامیده می شود و چون دارای دیمانسیون تنش-طول است، بردار گشتاور اول تنش حجمی یا بردار هایپراسترس حجمی نامیده میشود. به طریقی مشابه تانسور مزدوج گرادیان کرنش اعوجاجی بوده و با توجه به دیمانسیون تنش- طول در اینجا تانسور گشتاورتنش اعوجاجی یا تانسور هایپر استرس اعوجاجی نامیده می شود. کمیت mij که یک تانسور مرتبه دوم متقارن است، مزدوج تانسور گرادیان چرخش بوده و آن نیز دارای دیمانسیون تنش-طول است لذا در اینجا تحت عنوان گشتاور تنش چرخشی یا هایپراسترس چرخشی نامیده می شود. در یک تئوری ساختاری، هر کدام از زوج ترم های موجود در معادله انرژی الاستیک با ضریب یا ضرایبی در قالب معادلات متشکله به هم مرتبط می شوند که برای محیط مادی ایزوتروپ این روابط به صورت زیر قابل بیان هستند.
در روابط بالا و دو ثابت شناخته شده الاستیک لامه بوده و از ویژگی های ذاتی جامد ایزوتروپ هوکی می باشند. سه ثابت دیگر l0، l1 و l2 ویژگی های اضافی برای توصیف رفتار ماده غیر هوکی می باشند و دارای دیمانسیون طول می باشند و در برخی مراجع، ازجمله مواردی که در مقدمه به آنها اشاره شد، تحت عنوان ضریب یا مقیاس طول ماده نام گذاری شده اند. همانگونه که دو ویژگی اول با کمک آزمایش اندازه گیری می شوند، انتظار می رود کهآزمایش های متناسبی نیز برای اندازه گیری سه ثابت دیگر مورد نیاز باشد. با این همه، تا جایی که نویسندگان مقاله حاضر جستجو نموده اند، تاکنون گزارش قابل توجهی در رابطه با اندازه گیری عملی آنها منتشر نشده است.
این کاستی می تواند ناشی از پیچیدگی و مشکلات انجام آزمایشات در مقیاس های کوچک و همچنین مشکلات اندازه گیری مستقیم کمیاتی چون گشتاورهای تنش و گرادیان های کرنش باشد. از این رو با کاربرد این تئوری، مسائل استاندارد کلاسیک همچون تیر مدل سازی شده و تاثیر هر کدام از ضرایب معرفی شده جدید بر روی متغیرهای وابسته همچون خیز ، فرکانس و شکل مدهای ارتعاشی مورد مطالعه قرار می گیرد. تئوری کوپل تنش اصلاح شده در واقع فرم ساده شده ای از تئوری گرادیان کرنشی مرتبه اول است که در آن فقط ترم های اول و آخر معادله - 1 - در محاسبه انرژی الاستیک در نظر گرفته شده که به ترتیب نماینده ترم کلاسیک و ترم ناشی از گرادیانچرخش می باشند.
همانگونه که پیشتر بیان شد، ترم آخر این معادله، حاصل ضرب تانسور گرادیان مرتبه اول چرخش ij و مزدوجآن یعنی تانسور گشتاور تنش چرخشی می باشد که به اختصار کوپل تنش نامیده می شود. یادآوری می شود که تانسور گرادیان چرخش، گرادیان قسمت پادمتقارن تانسور گرادیان تغییر مکان است و هر چند گرادیان دوم تغییر مکان است ولی گرادیان کرنش در آن دخیل نمی باشد. به طور خلاصه، اگر ضرایب l 0 و l1 در تئوری گرادیان کرنشی صفر قرار داده شوند تئوری کوپل تنش اصلاح شده حاصل می گردد و اگر این ضریب نیز صفر در نظر گرفته شود تئوری کلاسیک هوک نتیجه می شود.
-3 فرمول بندی ارتعاشات تیر
دستگاه مختصات، پارامترهای سینماتیکی و مکانیکی مربوط بهشکل بیان کننده نیروی گسترده عرضی وارد بر تیر ومرتبه بالاتر و گشتاور گشتاور یا گشتاور تعمیم یافته می باشند.یک تیر اویلر-برنولی در شکل - 1 - نشان داده شده اند. در این V، M و S به ترتیب نیروی برشی مرتبه بالاتر، گشتاور خمشی
