بخشی از مقاله
چکیده
در این پژوهش تحلیل تشدید اصلی روتورهایی که در انتهاي آزاد آنها دیسک صلبی قرار دارد1، ارائه میشود. روتور در حالت اولیه تحت تاثیر گرانش، داراي تغییر شکل اولیه است، که این تغییر شکل استاتیکی موجب عدم تقارن در معادلات حرکتی می شود. اثرات غیر خطی موجود ناشی از بزرگ بودن دامنه ارتعاشات شفت است که این امر موجب اثرات غیر خطی اینرسی و هندسی در سیستم میشود. در این مدل شفت بصورت تیر ریلی در نظر گرفته می شود. نیروي نابالانسی ناشی از گریز از مرکزیت در دیسک بر سیستم اعمال میشود. با استفاده از اصول وردشی2 و به کمک زوایاي اویلر معادلات یک روتور با در نظرگرفتن اثرات غیرخطی استخراج میشود.این معادلات به صورت کلی براي یک شفت-دیسک که شامل اثرات خمشی در دو صفحه و اثرات اینرسی طولی میباشد، استخراج میشود.
سپس با در نظرگرفتن فرض سادهکننده کوتاه شدگی، این معادلات کلی به معادلات سادهتري کاهش مییابد. معادلات بدست آمده را با استفاده از روش گالرکین گسسته کرده، سپس از روش مقیاس چندگانه به تحلیل روابط ارتعاشی پرداخته میشود. بدلیل اثر گرانش بر ترمهاي اینرسی و سختی، رفتار متفاوتی در روتور ملاحظه میشود. مشاهده میشود تغییر شکل استاتیکی اولیه باعث بوجود آمدن ترمهاي غیر خطی مرتبه دوم در معادلات گسسته میشود. در تحلیل ارتعاش اجباري روتور ملاحظه میشود که اثر جابجایی اولیه باعث کاهش ترمهاي سخت کننده سیستم میشود و رفتار سیستم تمایل به خطی شدن پیدا میکند. با استفاده از این ویژگی گرانش رابطهایی بین وزن و نیروهاي تحریک استخراج میشود که در صورت بکارگیري این رابطه، پدیده پرش از سیستم زدوده میشود.
کلمات کلیدي: روتور یکسر آویزان؛ جابجایی استاتیکی؛ تشدید اصلی؛ ارتعاشات غیر خطی.
1.مقدمه
ماشینهاي دوار مانند توربینهاي بخار، توربینهاي گازي،موتورهاي احتراق داخلی و موتورهاي الکتریکی پرکاربردترین قسمتها در یک سیستم مکانیکی میباشند. قسمت هاي چرخان این ماشین ها غالبا منبع ارتعاش هستند. لذا به منظور صرفه جویی در هزینه ها و افزایش قابلیت اعتماد فهم و دانش صحیح و کافی از این پدیده دینامیکی بسیار مهم است. یکی از انواع متداول روتورها ، روتورهاي یکسر آویزان می باشد که کاربرد بسیاري در کمپرسورها و پمپها دارد. بطور کلی کمپرسورهاي چرخدنده ایی تمایل به داشتن جرم آویزان نسبتا بزرگ دارند که در سرعت کارکرد بالا و نیز تحت بارگذاري زیاد بوسیله نیروهاي بین چرخدندهایی راه اندازي میشوند.
همچنین دستههاي زیادي از توربوماشینها وجود دارند که در آن قسمت عمده جرم روتور در خارج از یاتاقان قرار میگیرد، مانند :توربین هاي قدرت ، منبسط کنندههاي گاز، توربوشارژها و فنها نمونههایی از این دسته میباشند.در تحلیل ارتعاش دیسک هاي متصل به شفت، غالباً شفت بصورت کشسان و بدون جرم مدل می شود. این مدل متمرکز که به مدل جفکات معروف است، بسیار در طراحی و تحلیل روتور ها روتور ها بکار می رود .[1]در مدل جفکات، چون ممان اینرسی شفت و اثرات ژیروسکوپی در نظر گرفته نمیشوند، لذا این مدل فقط براي سرعتهاي دوران پایین روتور مناسب است. اما تحلیل خطی تیر چرخان در سال 2005 توسط شو1 و یانگ2 مورد بررسی قرار گرفت .[2]
روش مقیاس چندگانه براي ارتعاش آزاد و اجباري روتورها تحت رفتار غیر خطی یاتاقان توسط زو3 انجام شد .[3] مدل تیري که آن ها استفاده کردند، تیر تیمشنکو بود و براي مدلسازي یاتاقان غیر خطی از یک فنر غیرخطی و دمپینگ خطی بهره بردند. حسینی و سایرین در مقالات [4-6] رفتارهاي دینامیکی تحت ارتعاش اجباري آزاد روتورها را بررسی کردند. آنها دریافتند که در ارتعاش آزاد هر دو مود پیشگشت و پسگشت تحریک میشوند، حال آنکه در ارتعاش اجباري تنها مود پیشگشت تحریک میشود. در سال 1995 واکاکیس4 و عبدالعزیز5 به پاسخ گذراي روتورهاي یکسر آویزان تحت نیرو هاي ضربهایی بدلیل نقص یاتاقان ها پرداختند. آنها با استفاده از شکل مد فرضی، سیستم را گسسته و پس از حل عددي معادله با استفاده از روش رانج-کوتا نتایج خود را با حل آزمایشگاهی مقایسه کردند .[7]
ارتعاشات اجباري در مجاورت سرعتهاي بحرانی اول و دوم در روتورهاي نامتقارن بهمراه اثرات غیرخطی هندسی توسط ایشیدا6 و همکارانش [8] در سال 2010 انجام پذیرفت. کرسپو7همکارانش [9] پایداري و فرکانس طبیعی تیر یکسر آویزان همراه با جرم متمرکز انتهایی را مطالعه کردند. آن ها متوجه شدند که تأثیر جرم انتهایی در تقریب تغییر شکل، زمانی که جرم سنگین باشد، حائز اهمیت است. ایم8 و همکارانش طی سالهاي 2011 تا 2013به رفتار دینامیکی و پایداري روتورهاي تیمشنکو تحت بار محوري پرداخت. وي با اصلاح ماتریس انتقال براي اثرات بار محوري و برش به استخراج معادلات حرکت پرداخت. سپس به بررسی تاثیر هر یک از نیروهاي محوري و برش بر پایداري و فرکانس طبیعی روتور ها پرداخت .[10-11]
بازنگري تاریخچه روتورهاي یکسر آویزان نشان میدهد که تحقیقی پیرامون این نمونه از روتورها با اثرات غیر خطی هندسی صورت نگرفته است. همچنین، از اثر گرانش و تغییر شکل استاتیکی ناشی از آن در پژوهشهاي گذشته صرفنظر شده است. اما در این پژوهش نشان داده خواهد شد که گرانش به عنوان پارامتري مهم در ارتعاشات روتور است که باعث تغییر رفتار دینامیکی سیستم و غیر متقارن شدن معادلات حرکت در دو راستا میشود. در این پژوهش سعی بر آن بوده است که تاثیر گرانش بر تمام پارامترهاي مهم ارتعاشی سیستم دیده شود. سپس براي اولین بار، از ویژگی نرم کنندگی گرانش استفاده و براي حذف پدیده پرش در سیستم راهکاري ارایه شده است.
2.مدل فیزیکی و ریاضی روتور یکسر آویزان - فرمولبندي ریاضی -
شکل - 1 - شماتیکی از شفت یکسر درگیر به همراه دیسک صلب انتهایی آن که تحت تغییر شکل استاتیکی قرار دارد را نمایش میدهد. – Y– Z X سیستم مختصات اینرسی است که به خط مرکزي شفت، در حالت بدون تغییر شکل، متصل شده است و قاب دستگاه مختصات محلی است. جابجایی هر نقطه دلخواه در فاصله s X ،YوZ بترتیب با در راستاهاي , نشان داده شده است - گرانش در راستاي محور X است - در علم روتوردینامیک براي یک شفت چرخان، اثر اینرسی چرخشی بسیار حائز اهمیت است، لذا، در اینجا از تئوري تیر ریلی استفاده میکنیم.
در حالت کلی براي براي تیرهاي باریک، فرکانس مدهاي پیچشی بسیار بیشتر از فرکانس مدهاي ارتعاش عرضی است.[12] لذا، از اثر پیچش صرفنظر میشود. فرضیات بصورت - الف - سطح مقطع شفت همگن و دایروي است و حول محور طولی با سرعت ثابت Ω میچرخد؛ - ب - از اثر پواسون و وارپینگ صرفنظر و - ج - نیروي میرایی خارجی متناسب با سرعت مطلق هر ذره از شفت است و به طور یکنواخت روي شفت توزیع گشته است؛ در نظر گرفته می شود.
