بخشی از مقاله
خلاصه
روشهای شناسایی پارامترهای مودی سیستم - فرکانسهای طبیعی، اشکال مودی، و نسبتهای میرایی مودی - در چند دههی گذشته با پیشرفت آزمایش مودال به عنوان یکی از ابزارهای مفید برای تعیین مشخصات مودی، بسیار مورد توجه محققین قرار گرفته است.
از یک منظر کلی روشهای شناسایی سیستم را میتوان به دو دستهی روشهای ورودی - خروجی و روشهای خروجی - تنها تقسیمبندی کرد. معمولا به دست آوردن پاسخهای دینامیکی سازهها به راحتی با نصب شتابسنجهایی در نقاط مختلف سازه امکانپذیر است. اما به دلیل مشکلات و هزینههایی که به دست آوردن تحریکات اعمالی به سازه دارد، محققین بر آن شدند تا از روشهای جدیدی که فقط بر مبنای اندازهگیری پاسخهای خروجی میباشد به شناسایی پارامترهای مودی اقدام کنند.
در این روشها فرض بر آن است که تحریک یک نویز سفید - نوفهی سفید - ** میباشد. در این پژوهش از بین این دسته از روشهای شناسایی سیستم، روش تجزیهی حوزهی فرکانسی - FDD - برای شناسایی پارامترهای مودی یک سازه دو درجه آزادی بکار میرود و نتایج حاصل با نتایج حل تئوری مقایسه میشود. نتایج به دست آمده نشان میدهند که روش ارائه شده مشخصات مودال سازه را با دقت خوبی شناسایی میکند.
.1 مقدمه
تحلیل مودی - تحلیل مودال - ، ابزاری برای تعیین پارامترهای دینامیکی سیستم از جمله فرکانسهای طبیعی، اشکال مودی، و نسبتهای میرایی مودی می باشد که از آن ها به منظور ایجاد مدلی ریاضی از رفتار دینامیکی سیستم استفاده می شود. این مدل ریاضی، مدل مودی - مدل مودال - سیستم و اطلاعات مربوط به مشخصات آن، داده های مودی - داده های مودال - نامیده می شوند. به طور کلی تحلیل مودی به سه نوع، تحلیل مودی تئوری، تحلیل مودی تجربی، و تحلیل مودی عملکردی تقسیم بندی میشود.
در تحلیل مودی تئوری، پارامترهای مودی یعنی فرکانسهای طبیعی، مود شیپها، و نسبتهای میرایی براساس مشخصات فیزیکی سیستم - جرم، سختی، و میرایی سیستم - استخراج میشوند. در حالی که در تحلیل مودی تجربی با استفاده از پاسخ اندازهگیری شده سازه به تحریک اعمالی معلوم، میتوان مشخصات مودی سازه را به دست آورد. تحلیل مودی عملکردی، مبتنی بر اندازهگیریهایی است که فقط پاسخ سازه در شرایط محیطی و تحت تحریک محیطی - یا طبیعی - ، به منظور استخراج خواص مودی، تحت تاثیر قرار میگیرد
شناسایی مودی از پاسخهای محیطی معمولا مربوط به شناسایی پارامترهای مودی از پاسخهای طبیعی سازه میباشد. معمولا در این موارد بارها نامعلوم هستند و شناسایی مودی باید فقط براساس پاسخها انجام شود. روش تجزیهی حوزهی فرکانسی، تعمیمی از روش برگزینش قله مییاشد. در روش تجزیهی حوزهی فرکانسی، ماتریس تابع چگالی طیفی توان* پاسخها، با استفاده از تجریه مقدار تکین به مجموعهای از سیستمهای تک درجه آزادی که متناظر با مودهای سیستم می-باشند، تجزیه میشود و سپس پارامترهای مودی از آن استخراج میگردد.
اگر بارگذاری به صورت نویز سفید بوده، میرایی کم باشد، و شکلهای مودی در مودهای نزدیک به هم به لحاظ هندسی متعامد باشند، این تجزیه به مجموعهای از سیستمهای تک درجه آزادی، دقیق است. اگر هریک از این فرضیات برآورده نشوند، تجزیه به سیستمهای تک درجه آزادی تقریبی خواهد بود. در این روش، مودهای نزدیک به هم حتی در حالت آلودگی نویز زیاد سیگنالها نیز قابل شناساییاند.
اولین نسل روش تجزیهی حوزهی فرکانسی - FDD - فقط قادر به شناسایی فرکانسهای طبیعی و اشکال مودی میباشد. اما دومین نسل این روش که به نام تجزیهی حوزهی فرکانسی بهبود یافته - EFDD - شناخته میشود، علاوه بر فرکانس-های طبیعی و اشکال مودی، قادر به شناسایی نسبتهای میرایی مودی نیز میباشد .[3,4] شایان ذکر است که تحریک تصادفی نویز سفید یک فرآیند تصادفی عرض پهن است که دارای تابع چگالی طیفی توان یکسان در همه فرکانسها می-باشد. و علت فرض ورودی نویز سفید در روشهای شناسایی خروجی - تنها آن است که تحریکاتی مانند باد، امواج دریا، و... محدوده وسیعی از فرکانسها را در بر میگیرند.
.2 تئوری روش شناسایی تجزیهی حوزهی فرکانسی
اساس روابط حاکم بر تجزیهی حوزهی فرکانسی، به صورت رابطهی بین ورودهای نامعلوم x - t - و خروجیهای اندازه-گیری شده y - t - سیستم میباشد که میتوان آن را به صورت زیر بیان کرد
که در آن Gxx ماتریس تابع چگالی طیفی توان ورودیها از مرتبه r - تعداد ورودی ها - ، Gyy ماتریس تابع چگالی طیفی توان خروجیها از مرتبه m - تعداد خروجی ها - ، و - H - j ماتریس تابع پاسخ فرکانسی از مرتبه - - m می باشد. علامت بار در این رابطه نشان دهنده مزدوج مختلط میباشد.
ماتریس تابع پاسخ فرکانسی را میتوان به صورت کسرهای جزئی، یعنی به شکل قطبها و باقیماندهها نوشت
که در آن n تعداد مودها، مقادیر ویژه یا همان قطبهای سیستم، و ماتریس باقیمانده میباشد. را می-توان به صورت زیر نوشت که در آن بردار شکل مودی و بردار مشارکت مودال است.
با فرض اینکه ورودی نویز سفید باشد، ماتریس تابع چگالی طیفی توان ورودی به صورت - =CI Gxx - j خواهد بود . با ضرب کردن ضرایب این کسرهای جزئی و استفاده از قضیه کسر جزئی هویساید، بعد از برخی سادهسازیهای ریاضی، ماتریس تابع چگالی طیفی توان خروجی را میتوان به صورت قطب و باقیمانده به صورت زیر نوشت
که در آن و ، k امین باقیمانده ماتریس چگالی طیفی توان خروجی میباشند. از آنجا که سهم اجزاء بسیار کمتر از سهم اجزاء است، از آنها صرفنظر میشود. در ماتریس تابع چگالی طیفی توان خروجی، ماتریسهای باقیمانده نیز مانند خود این ماتریس از نوع هرمیتی و از همان مرتبه میباشند و به صورت رابطه زیر به دست میآیند
