بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله، فاز هندسی غیردورهاي مربوط به حالتهاي "همدوس غیرخطی" و "چلانده غیرخطی" را به کمک محاسبه بخش مرجع براي حالتهاي مورد نظر بهدست میآوریم. سپس رهیافت کلی مطرح شده را براي سامانههاي کوانتومی متناظر با حالتهاي همدوس هماهنگ و پنسون- سولومون به کار میبریم. در پایان، تحول فاز هندسی حالتهاي در نظر گرفته شده را بهترتیب برحسب شدت و پارامتر چلاندگی و نیز برحسب زمان بررسی میکنیم.
مقدمه
عامل فاز تابع موج، یکی از مفاهیم مهم در حوزه مکانیک کوانتومی بهحساب میآید. اولین بار، بري در سال 1984 با در نظر گرفتنتحول وابسته به زمان یک سامانه کوانتومی تحت شرایط دورهاي،یکانی و بیدرو نشان داد که سامانه کوانتومی علاوه بر فازدینامیکی فاز دیگري نیز بهدست میآورد.[1] او این فاز را فاز برينامید. در سالهاي اخیر تعمیمهاي زیادي به این فاز داده شده است که همه این فازها به فاز هندسی مشهورند. چرا که این فازها بهمسیر حرکت در فضاي پارامتري بستگی دارند. براي محاسبه فازهندسی یک سامانه کوانتومی در طی یک تحول دلخواه بین [0, t]کافی است فاز دینامیکی را که بهصورت[2]بیان میشود کم کنیم. بهعبارتی براي یک سامانه کوانتومی تحت تحول دلخواه، فاز هندسی برابر است.[3] اما در سال 1995 پتی راه حلی سادهتر براي محاسبه فازبه هندسی مربوطسامانههاي مختلف کوانتومی تحت تحول دلخواه - که مورد استفاده ما نیز در این مقاله قرار گرفته است - معرفی نمود. او ابتدا بخش مرجع1 را بهصورت زیر معرفی کرد:
که در آن - t - بردار حالت سامانهو اندازه آن میباشد. اندیس 0 در بخش مرجع به این خاطر استبراساسکههمواره حالت اولیه سامانه تعریف میشود. پتی فاز هندسی را به کمک بخش مرجع بهصورت زیر تعریف نمود:[4]فاز هندسی حالتهاي همدوس و چلانده غیرخطی با توجه به اهمیتی که امروزه حالتهاي همدوس و چلانده غیرخطی در حوزههاي مختلف فیزیک دارند، در ادامه این مقاله بهمحاسبه فاز هندسی این حالتها میپردازیم. اما قبل از ارائه رهیافت مورد استفاده در این مقاله، یادآور میشویم که این درکارمرجع [5] براي حالتهاي کوانتومی ذکر شده به نوعی انجام شده
است. اما اصرار ما بر این استاشتباهیکهنویسندگان[5] دچارفاحش شدهاند. در یک کلام و بهطور خلاصه اشکال عمده آنان این است که در بهدست آوردن تحول زمانی حالتهاي همدوس و چلانده غیرخطی از هامیلتونی نوسانگر هماهنگ - خطی - استفاده کردهاند.
این در حالی است که اساساً صورتبندي حالتهاي همدوس غیرخطی - و حالتهاي چلانده غیرخطی که متعاقب آنمعرفی گردیدند - بر این مبنا است که این حالتها، متناظر بانوسانگرهاي غیرخطی هستند. هامیلتونی این نوسانگرها بهجاي بهصورت زیر بیان میشود:این موضوع حائز اهمیت فوق العادهاي در بررسی تحول زمانی این حالتهاست. بهعنوان نمونه، در حالی که با هامیلتونی نوسانگرهماهنگ، همهي حالتهاي همدوس پایدار زمانیاند، با در نظر گرفتن هامیلتونی نوسانگرهاي غیرخطی - 5 - ، دیگر این حالتهاپایدار زمانی نیستند - موضوعی که براي همه کسانی که در اینحوزه از فیزیک کار میکنند، پذیرفته شده است - .
حال با در نظر داشتن واقعیت بیان شده، با کنش عملگر تحولزمانی روي حالتهاي همدوس غیرخطی، شکل صریح اینحالتها براي t 0 بهصورت[6]بیان میشود که در آن N1 یک ضریب بهنجارش مناسب است:حالتهاي همزاد این حالتها نیز معرفی شدهاند[7] و مادرنیزمحاسباتمان به آنها پرداختهایم، که به دلیل کمبود فضا از ذکر آنهاخودداري میکنیم. همچنین شکل صریح حالتهاي چلانده
غیرخطی براي t 0 بهصورت[8]بیان شدهاست، که در آن چلاندگی است. با توجه به رابطه - 5 - ، در روابط - 6 - و - 8 - انرژيبهصورت میباشد. درابتدا فاز هندسی مربوط به حالت - 6 - را به کمک بخش مرجع بهدست میآوریم. در صورتی سامانه کوانتومی تحت تحول وابسته به زمان، فاز پیدا میکند که کسر موجود در بخش مرجع - 3 - حقیقی یا مثبت نباشد. با توجه به این نکته و رابطه - 2 - میتوان نوشت:
