بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
مینیمم سازي و زن سازه هاي دو بعد ي با استفاده از روش(ESO) بر مبناي قيد تنش بهینه سازی تکاملي سازه ها
چکیده
یکی از روشهایی که اخیرا براي بهینه سازي سازه ها پیشنهاد شده روش بهینه سازي Evolutionary Structural ) تکاملي سازه ها ESO) (Optimi ZaiOn) میباشد . اساس روش ESO بر این مبنا است که در یک فرآیند تکاملی مواد ناکارآمد از سازه حذف می شوند. این فرآیند شامل انتخاب پارامترهایي از قبیل نسبت حذف اولیه (RR0) و نرخ تکامل (ER) مي باشد . در این مقاله کار ایبی این روش در مینیمم سازي و زن سازه هاي د و بعدي بر مبناي قید تنش نشان داد ه مي شود . همچنین تاثیر انتخاب متفاوت پارامتر نسبت حذف اولیه و نرخ تکامل در شکل بهینه سازه هاي د و بعد ي مورد بررسي قرار ميگیرد . در کلیه مثالها معیار حذف الان ، تنش و ان میزز (VOn MiSeS) در هر الان میباشد . در این تحقیق یک کد اجزا ء خلف ود جھات بهینه سازي نوشته شده است که دقت آن با مقایسه با نتایج موجود و شرایط مرزي مختلف به اثبات رسیده است.
مقدمه
روشهاي بهینه سازي عموما احتیاج به تعریف تابع هدف و تابع قید دارند که پس از حل ریاضی به جواب بهینه نزدیل میشوند . اخیرا روشهاي جدید ي توسعه داده شده اند که در آنها احتیاج به تابع هدف و تابع قید نمي باشد . از جمله این روشها ، طراحي بهیخي است که بر اساس توجه به عالم طبیعت صورت میگیرد . نتایج تحقیقات ما تهل (Mattheck) و با رخ (BurkhW) 1 نشان داد که می تو ان بر اي رسیدن به یلدا حالت بهینه براي سازه ها تحت شرایط خاص از رشد بیولوژیکی درخت استفاده کرد . پیشرفت تکنولوژي را یا نه این امکان را براي محققان فراهم آورده تا محاسبات ریاضي را با روشهاي چرخه اي نسبتا سادہ تر و در مدت زمان معقول تری انجام دهند. تحلیل سازه ها با ترکیب روشهاي بهینه سازي و روشهاي عددي مانند روش اجزاي محدود یا روشی مرز محدود ، سریع تر و کار اتر شده اند . توسعه روش همگان سا زي (homogenization) به وسيله بند سکيو ( Bend Sqe) 2 پیشرفت مهمي در بهینه سازي سازه ها بود . این روش قادر است همزمان دو کار را انجام دهد یعني هم پیکره سازه (Topology) و هم ریزساختار هاي ماد ۵ تشکیل دهنده سازه را مشخص کند . این کار با مینیمم کردن نرمی سازه (Compliance) با استفاده از برنامه ریزي درجه دو با فرض اینکه در هر المان چگالي ماده به عنوان متغیر طراحي باشد انجام می شود . در سال 1992 روش جدید ي براي بهینه سازي سازه ها بوسيله ا ستيون (SteVen) و زي (Xie) [3-4] ا ر ا نه گردید که بهینه سازي تکاملي سازه ها یا ESO نامیده شد . اساس این روش حذف تدریجی المانهاي کم تنش از د امنه ماکزیمم اولیه سازه در یک فرآیند تکاملي است. محصول نهایی این روش سازه اي با توزیع تنش یکنواخت تر و وزن کمتر نسبت به حالت اولیه مي باشد . گامهاي اولیه براي اثبات کار ا يي روش ESO با تحليل مسائل کلاسيک د اراي یک بارگذ اري مشخص ، صورت گرفت. پس از اثبات کارایی این روش ۶ استیون (SteVen) و زي (Xie) از آن در مسائل داراي چند بارگذاري 5] و در مسائل دینامیک [6] استفاده کردند . چو (Chu) و همکار ان || 7 || از قید سختي به عنوان معیار بهینگي در روش ESO استفاده کردند . کابرد روش ESO در مسائل کمانش به وسیله مانیکارجاح (Manickarajah) و همکار ان مطالعه شد [8]. فرکانسی طبیعي به وسیله ز او (ZhaO) و همکاران [9] مورد بررسی قرار گرفت.
استخراج معادلات اجزاء محدود المان مورد استفاده در این مسئله مشابه [10] بصورت یک المان صفحه اي چهار گره اي ایز و پارامتر یک به ضخامت h در نظر گرفته شده است . د ر اين نوع المان هر گره د ار اې د و درجه آزادي شامل دو تغییر مکان را ستاي افقی X و قائم y است. موقعیت مکانی X و Y نقاط د اخلی هر المان ، طبق رابطه هاي زیر به موقعیت مکانی گره هاي چهارگوشه المان ، Xi و yi ، ربط د ا د ۵ مي شود .
در روابط بالا توابع شکل گره ها مي باشند . هر چهار تابع شکل در قالب ماتریسی بصورت زیر ارائه مي شود که ماتریس شکل نامیده میشود .
از ضرب ماتریس شکل در برد ار جا به جایی گره ها برد ار توابع جابجایی نقاط داخل المان مشخص ميشود . يعني ،
که در رابطه به ترتیب د ر زیر داده شده اند .
ها مقادیر جایجانی گره اي ، U و ۷ توابع جایجانی در د اخلی الان هستند . استفاده از حرف e بعنوان شاخص بمنظور تاکید بر تفا و نت این مقادیر در هر یک از المانها بود ه است . براي انتقا ل د ستگاه مختصات X - y به دستگاه مختصات الان مبنا یعني ll- بی از ماتریس ژاکوبین که بصورت زیر است، استفاده می شود .
با استفاده از معکوس ماتریس ژاکوبین مي توان مشتقات مرتبه اول تابع شکل نسبت به مختصات X و y را به مختصات مبنا انتقال د اد . يعني ميتوان نوشت :
با تعریف ماتریس عملگر هاي دیفرانسیلي به شکل معادله (9) و ضرب آن در ماتریس تابع شکل، ماتریس جدید ي به نام B تعریف می شود .
در مسائل تنش صفحه اي ماتریس خواص یل ماده همسانگرد به شکل زیر ارائه میشود .
در رابطه فوق E و V به ترتیب مد ول الاستیسیته و ضریب پواسون میباشند . با جایگذاري روابط (7) ، (10) و (11) در معادلات حرکت یک سازه مکانیکی در حالت تنش صفحه اي و استفاده از روش باقیمانده هاي وزن دار تضعیف شد ه مانند مرجع [10] معادلات حرکتی بصورت رابطه ماتریسی زیر قابل ارائه ميگردد :
که در رابطه بالا ماتریس K بصورت زیر تعریف مي شود
در این رابطه ضخامت المان دترمینان ماتریس ژاکوبین مي باشد. بردار بار المان از حاصلضرب ترانهاد ه ماتریس توابع شکل در برد ار مولفه هاي بار در جهت X و y با انتگرال گیري برروي مرز المان بدست مي اید .
در رابطه بالا T بردار بار المان مي باشد . با انجام عملیات بر هم نهی معادلات مربوط به همه الانهاي سازه ، دستگاه معادلات نهایی بصورت زیر بدست می آید :
K ماتریس سختی کل سازه ، u و F به ترتیب برد ار جابه جایی و بار کلیه گره هاي سازه در جهات X و y میباشند . با حل این دستگاه معادلات خطی میتوان بردار مجهولات u را بدست آورد.
الگوریتم بهینه سازي مساله معیار و مبنایي معتبر برای انکه سازہ به خاظ طراحي دچار مشکل شود ، تنش بیش از اند از ۵ است. عکس ان ، معیار معتبر براي حذف مواد ناکارآمد از سازه کم بودن تنش آنها است. بطور ایده ال تنش در قسمتهاي مختلف سازه باید نزدیک به حد مجاز مشخص شده باشد تا بهترین بهره و ري از مصالح سازه به عمل آید . در روش ESO که بر مبناي قید تنش استوار است , به مو ادي که تنش آنها از درصد تعیین شده اي کمتر هستند و مواد ناکارآمد گویند. این مواد میبایست از سازه حذف گردند . با حذف مواد ناکارا مدد از سازہ ، میزان تنشی در مدلهاي جدید یکنواختتر و یک شکل تر خواهد شد. در ابتدا ابعادي از مصاخ که براي طراحی شکل بهینه سازه به مقدار کافي وسیع و بزرگ هستند المان بندي مي شود . در مرحله بعد بار ها و شرائط مرزي را به سازه اعمال کرده و به کمک یک برنامه المان محدود تحلیل تنش سازه انجام مي شود . در هر المان به کمک یکي از معیار هاي موجود مي توان اثر تنش در کلیه جهات را در غالب یل تنش معادل در نظر گرفت. به عنوان مثال معیار تنش و ان میزز یکي از پرکاربردترین روشها در تعیین تنش معادل مواد همسانگرد تلقي مي شود که در این مقاله از آن استفاده شده است. براي مسائل تنشی صفحه اي ، تنش وان میزز از رابطه (16) تعیین میگردد :
به ترتیب تنشهاي عمودي در جهات X و y و t تنش برشي در صفحه X-y است. میزان تنش و ان میزز در هر المان با بیشترین تنش و ان میزز در کل سازه مقایسه شده و در نهایت طبق رابطه (17) المان هایی که مقدار تنش آنها از درصد مشخص شد ه اي از بیشترین میزان تنش در کلی ساز ۵ کمتر باشند و حذف مي گردند .
تنش و ان میزز در هر المان بیشترین تنش و ان میزز در کل سازه , RR نسبت حذف و زیرنویسی i معرف تعداد تکرارهاي برنامه است. زمانیکه تنش و ان میزز در المانها از میزان تعیین شده کمتر نباشد ٫ چرخه حذف المان خاتمه مییابد . در این مرحله پارامتري به نام نرخ تکامل به نسبت حذف اضافه میگردد .
نرخ تکامل میباشد . مجدد او با افزایش نسبت حذف , تحلیل تنش سازه و سپس حذف المان شروع شده و تا پایداري مجدد ادامه مییابد . این روند تکامل تا دستیابی به شکل بهنیه سازه ادامه خواهد یافت
نتایج عدد ي :
به منظور نشان دادن تو انایی روش ESO , یک کد کامپیوتري در نرم افزار Matlab به نام ESO2007 نوشته شد ه است که این برنامه با لینلث شدن به نرم افزار AnSyS حل اجزاء محدود سازه را انجام داده و سپس المانهایی که تنش آنها از حد مورد نظر کمتر باشند را از سازه حذف خواهد کرد . این فرآیند تا نتیجه گیري نهایی ادامه خواهد یافت. مثال 1: صفحه با تکیه گاه ساده در شکل (1) صفحه مستطیلي با ابعاد نشان داده شده و ضخامت 0/1 متر مشخص شد ه است . جنس مصالح صفحه شامل E= 200 GPa و 0/3 = ۱۷ میباشد . تکیه گاههاي سازه از نوع مفصلي و بار متمرکز F , هزار نیوتن است. در حل اجزاء محدود از الانهاي مربعی خطی استفاده شده و د انسیته مش 25*50 الان میباشد . RR0 و ER در نظر گرفته شد ۵ %0/5 ست. نتایج بهینه سازي شکل ( ا) با مرجع |12] در جدول (1) مقایسه شده است.
کاملا با نتایج مرجع 12 || همخواني دارد . در شکل (2) فرآیند بهینه سازي تکاملی سازه شکل (1) بازاي پارامترهاي حذف مختلف مشاهده میشود . با افزایش نسبت حذف بتدریج از حجم سازه کاسته شده بطوریکه در نهایت در %20/5 RR = به شکل بهینه خواهد رسید . حذف هر تعداد المان از این مرحله به بعد با عث گسست سازه خواهد شد . در شکل (3) تغییرات تنش وان میزز کمینه ، بیشینه و متوسط باز اي نسبتهاي حذف مختلف نمايش د ا د ه مې شود . از نکاتې که د ر شکل (3) حائز اهمیت است می توان به افزایش تنش متوسط در کل سازه اشاره کرد . این نتیجه اساس روش ESO بود ه زیرا هدف این روش یکپارچه سازي تنش در کل سازه میباشد . ایده ال ترین نتیجه در روش ESO برابر شدن تنش در کلیه الانهاست که این امر تنها در بهینه سازي بعضي سازه ها امکانپذیر است. در شکل (4) کاهش حجم نسبي سازه باز اي افزایش نسبت حذف مورد بررسی قرار گرفته شده است. شکل نمود ار حاکي از کاهش حجم چشمگیر پس از طی چند مرحله بهینه سازي است. از عوامل تاثیر گذار در مدل بهینه نهایی در روش ESO انتخاب مناسب دو پارامتر نسبت حذف اولیه و نرخ تکامل مي باشد که در ادامه اثرات انتخاب آنها بررسي شده است. اگر جاي انتخاب %5/ () = ()RR در مثال ا به ترتیب از %2 = (RR و %4/5 = (RR استفاد ه شود به مدلهاي بهینه شکل (5) خواهد رسید. مشاهده می شود با انتخاب %2 = RR0 مدل بهینه تفاوتي چند ان با مدل بهینه در %5/ 0 = RRo نخواهد کرد و ممکن است در تعداد محدود ي از المانها این تفاوت وجود داشته باشد که چندان محسوس نیست. اما با انتخاب %4/5 = RR0 مدل بهینه کاملا متفاوت است. با توجه به نتایج بدست آمده از برنامه ESO2007 و سایر مراجع [3]، [4] و [12] می بایست مقدار مناسب RR0 در بازہ اعداد %0/5 الِ %1 انتخاب شود تا نتایج قابل قبولي بدست آید. در شکل (6) اثرات تغییر پارامتر نرخ تکامل (ER) بر نتایج شکل بهینه سازه مورد بررسي قرار گرفته شده است. با مشا هـد ه ايــن مـد لها مشخص مې شو د انتخاب ER در مدل بهینه بسیار موثر است و لذا بر عهد ۵ کاربر بود ۵ تا برنامه خود را به از اي چند مقدار مختلف ER آزمایش کرد ه و سپس نتایج را مقایسه نموده و در نهایت شکل بهینه را انتخاب کند . اما آنچه از نتایج این مقاله و مراجع دیگر [12] حاکی است مقادیر %1 و %0/5 جوابهاي مناسبی را به طراح خواهد داد . مثال 2- صفحه با تکیه گاه گیردار در شکل (7) صفحه اي مستطیلي با مشخصات زیر بررسي شده که نتایج بهینه سازي آن با مرجع 12] در جدول (2) مقایسه شده است. عرض صفحه 10 متر، طول 24 متر و ضخامت 0/001 متر میباشد . نیروي 1000- = P نیوتون در وسط ضلع سمت راست و در جهت پایین اعمال میشود . ضلع سمت چپ توسط تکیه گاه گیرد ار (clamped Support) کاملا مهار شد ه است. جنس صفحه از ماده اي با خواص
