بخشی از مقاله
چکیده
مسائل کنترل بهینه به طور وسیع در علوم مختلف ظاهر م Àشوند. حل عددی این مسائل به خصوص در علوم مهندس از اهمیت بالایی برخوردار است. روش اجزای محدود ی از مهم ترین روش dهای حل عددی این مسائل میباشد، که مطالعات گسترده ای روی آن انجام شده است. در این مقاله روش اجزای محدود برای حل مساله کنترلبهینه با قید مشتقات بیضوی بررس م شود. کران بالایی برای خطای روش ارائه م شود که با استفاده از آن متوان به اندازه دلخواه شب ه مورد نظر را تنظیم نمود.
واژه های کلیدی: کنترل بهینه، روش اجزای محدود، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئ بیضوی، شب ه بندیانطباق .
١ مقدمه
روش اجزای محدود برای حل عددی مسائل کنترل بهینه سابقه ای طولانی دارد و مطالعات وسیع روی آن انجام شده است. محاسبه خطایپیشین١ روش اجزای محدود برای مسائل کنترل بهینه با قید معادلات بیضوی خط در [1, 2] بررس شده است. در [3] خطای پسین ٢برای مسائل کنترل بهینه با قید معادلات بیضوی بررس شده است. در [4] با محاسبه کران برای خطا، روش انطباق اجزای محدود ٣ برای حلمساله کنترل بهینه با مشتقات بیضوی بررس شده است. در این مقاله مساله کنترل بهینه محدب زیر را در نظر م گیریم:که g و h توابع محدب معلوم، K مجموعه ای محدب و بسته، و B عمل ر خط پیوسته است. فرض کنید Ωو Ωu دو مجموعه باز کراندار در Rn, - n ≤ 3 - با مرز های لیپ شیتس ،۴ و ∂Ωu باشند. فضای سوبولف استاندارد W m,q - Ω - با نرم ∥ . ∥m,q,Ω و شبه نرم | . |m,q,Ωپوسترحل مساله کنترل بهینه با قید مشتقات بیضوی به روش اجزای محدود ٨١۴-٧٧۴ pp.تعریف م شود. مجموعه H01 به صورت H01 = {v ∈ H1 - Ω - : v|∂ Ω = 0} تعریف م شود. بعلاوه c و C ثابت هایی مثبت ومستقل از h هستند.
٢ نتایج اصل
فضای حالت و فضای کنترل به ترتیب به صورت Y = H01 - Ω - و - U = L2 - ΩU تعریف م شوند. م خواهیم روش اجزای محدود را برای مساله کنترل بهینه محدب بیضوی - ١ - بررس کنیم. فرض کنید g و h توابع محدب با مشتق پیوسته روی H = L2 - Ω - و U = L2 - ΩU - باشند، و h محدب باشد. همچنین K مجموعه بسته محدبی در فضای کنترل U باشد و f ∈ L2 - Ω - ، همچنین B عمل ر خط پیوسته از U به H ⊂ Y ′ بوده و A - . - = - ai,j - . - - n×n ∈ - L∞ - Ω - - n×n به طوری که برای ثابت c > 0 ، و هر بردار ζ ∈ Rnداریم: . - Aζ - .ζ ≥ c|ζ|2 با در نظر گرفتن روش اجزای محدود برای مساله کنترل بهینه فوق ش ل ضعیف به صورت زیر بدست می آید:
