بخشی از مقاله
چکیده - در سیستمهای صنعتی اغتشاشات تصادفی موجب نوسانات در دامنه خروجی میشوند. کاهش نوسانات خروجی در کیفیت محصول تولیدی بسیار موثر است. کاخانهای که محصول با ثباتتری از نظرکیفیت داشته باشد میتواند با صرف هزینه کمتر کیفیت محصول خود را ارتقاء دهد. از اینرو شاخص مینیمم واریانس جزء اصلیترین معیارهایی است که در صنعت استفاده میشود. تعیین مینیمم واریانس برای سیستمهای MIMO بسیار پیچیده است زیرا که، معمولا اطلاعات و مدل دقیقی از پروسه وجود ندارد و اغتشاشات با واریانس بزرگ کارکرد حلقه را تحت شعاع خود قرار میدهند. در این مقاله برای تعیین مینیمم واریانس سیستم MIMO روش مدلسازی سری زمانی چند متغیره استفاده شده است.
در این روش از خروجیهای سیستم نمونهبرداری میشود و سری زمانی حاصل از این نمونه برداری برای تعیین مینیمم واریانس استفاده میشود. از مدل - VAR - vector Autoregressive برای مدل سازی سری زمانی چند متغیره استفاده شده است. در این تحقیق نشان داده میشود که روش سری زمانی چند متغیره بر روی سیستمهایی که دارای حداقل تاخیر زمانی صفر از دید هر خروجی باشند قابل اجراست و دقت آن با روشهای دقیقی که با مدل کار میکنند مقایسه شده است. در نهایت روش مدلسازی سری زمانی برای تعیین مینیمم واریانس سیستم سه تانک استفاده شده است.
-1 مقدمه
هدف اصلی در مهندس کنترل طراحی کنترلکنندهای است که موجب تولید خروجی با بهترین کیفیت و کمترین هزینه با در نظر گرفتن محدودیتهای موجود شود. طراحی، تنظیم و اجرای کنترلکننده قدم اصلی در این عرصه است. برای تعیین نوع مناسب کنترلکننده ابتدا باید مشخص شود که چه مواردی در کارایی سیستم تاثیر دارد یا چه کاربردی از سیستم مورد انتظار است. چندین معیار مثل مینیمم واریانس و بسیاری از معیارهای عملکردی دیگر همچون زمان جهش، فراجهش و خطای ماندگار برای ارزیابی عملکرد کنترلکننده معرفی شده است.
مشهورترین این معیارها برای ورودی تصادفی معیار مینیمم واریانس است زیرا این معیار دخالتی در روال کار صنعتی فرایند نمیکند و دادههای عملکردی برای محاسبه آن کفایت میکند. نتیجه تحقیق [1] اهمیت این معیار را بیشتر نمایان میکند. در این تحقیق بیان شده است که مینیمم واریانس حدود % 60 از CPM - تعیین بهرهوری حلقه - استفاده شده در صنعت را به خود اختصاص داده است. راه حل اصلی در مقابله با نوسانات خروجی طراحی کنترل-کنندهای است که بتواند مانع این تغییرات شود. با این وجود به علت وجود اغتشاشات نمیتوان تغییرات در خروجی را به صفر رساند از این رو مسئله اساسی در بررسی مسئله مینیمم واریانس تعیین میزان مینیمم واریانس قابل دسترسی - معیار مینیمم واریانس - است.
به عبارت دیگر با در نظر گرفتن اثر نویز و اغتشاش تا چه میزان نوسانات در خروجی را میتوان کاهش داد. بهترین روش در این زمینه، روشی است که اطلاعات کمتری از سیستم را نیاز داشته باشد و بتواند با تحلیل دادههای حلقه بسته میزان حداقل واریانس را تعیین کند. عملی بودن روشها در محیطهای صنعتی محدودیت دیگری است، بنابراین روشهای پیشنهاد شده باید قابلیت پیادهسازی در محیط صنعتی را نیز دارا باشند.
پایه و اساس معیار مینیمم واریانس - شاخص هریس - از شروع نظریه کنترلکننده مینیمم واریانس در سال 1970 توسط آستروم و بکس [2]، جنکینس [3] شروع شد. در این نظریه با دانستن مدل سیستم و مدل اغتشاش میتوان کنترلی طراحی نمود که منجر به مینیمم واریانس شود. با وجود اینکه سال-هاست از معرفی این کنترلکننده گذشته، اما هنوز این روش با چندین مشکل اساس روبهروست. از جمله اینکه این روش به مدل دقیقی از سیستم و اغتشاش نیاز دارد، به سختی قابل اجرا در محیط صنعتی است و سیگنال کنترلی خشنی تولید میکند که محرکها توانایی اجرای سیگنال کنترلی را ندارند .[1] این مشکلات محققان را بر آن داشت که به سراغ روشهایی که بتوانند این مشکلات را تقلیل دهند، باشند.
مهمترین این مشکلات، نیاز این کنترلکننده به اطلاعات کامل از سیستم و اغتشاش است. مدل سازی سیستم و اغتشاش پیچیدگیهای خاص خود را دارد زیرا که بدست آوردن مدل سیستم برای سیستمهای چند ورودی-چند خروجی کار سادهای نیست. وجود اغتشاشات بزرگ نیز بر مشکلات مدلسازی میافزاید. از طرف دیگر در صنعت روشهایی مورد نیاز است که برای محاسبات نیاز به اطلاعات سیستم و نویز نداشته باشند.
از اواسط سال 1990 تحقیقات به سمت تعیین مینیمم واریانس سیستم MIMO کشیده شد. در سال 1997 موضوعی با نام ماتریس اینترکتور توسط هانگ [4] مطرح شد که اساس کار شاخص مینیمم واریانس چند ورودی- چند خروجی قرار گرفت. این روش برای افزایش دقت در تخمین حداقل واریانس مطرح شد. در این روش دیگر نیازی به اعمال کنترلکننده برای رسیدن به مینیمم واریانس وجود ندارد و مقدار آن تخمین زده میشود.
با وجود داشتن دقت زیاد، این روش نیز به اطلاعات دقیقی از مدل سیستم و بخصوص تاخیر زمانی نیاز دارد. علاوه بر این، روش پیچیدهای بوده و نیاز به محاسبات طولانی و الگوریتمی پیچیده دارد - چندین الگوریتم برای بدست آوردن ماتریس اینترکتور معرفی شده است - ، همچنین روش محاسبه وابسته به مدل سیستم است بنابراین پیاده سازی روشهای مبتنی بر ماتریس اینترکتور در محیط صنعتی بسیار مشکل خواهد بود. تعیین مقادیر این ماتریس نیز به چالشی بزرگ در تعیین شاخص مینیمم واریانس تبدیل شد. از اینرو تلاشهای فراوان صورت گرفت تا بتوان محاسبه این ماتریس را تا حد ممکن حذف کرد. این مشکلات باعث شد که این روش چندان عملی نگردد و چندان استفادهای از آن در صنعت صورت نگیرد.
برای رفع این مشکلات، در این مقاله از روش مدلسازی سری زمانی چند متغیره استفاده شده است. در این روش از خروجی سیستم در بازههای زمانی مشخص نمونه برداری می-شود سپس از مدل خطی VAR برای مدلسازی سری زمانی چند متغیره بدست آمده، استفاده میشود. با تحلیل مدل VAR میتوان به طور مستقیم و بدون نیاز به مدل دقیق از سیستم و اغتشاش معیار مینیمم واریانس را تعیین کرد . در مرجع [5] از این روش جهت مدلسازی خطا خروجی و تعیین مینیمم واریانس به کمک مدل VAR را پیشنهاد کرده است در صورتی که در این مقاله خروجیهای سیستم جهت مدلسازی استفاده میشوند.
ویژگیهای روش استفاده شده در این است که این روش به دلیل اینکه تنها نیاز به دادههای خروجی دارد و هیچ اطلاعات دیگری از حلقه را استفاده نمیکند قابیت پیادهسازی و عملی شدن بیشتری نسبت به بقیه روشها از جمله کنترلکننده مینیمم واریانس و ماتریس اینترکتور را دارد. در این مقاله دقت روش با روش دقیق ماتریس اینترکتور بر روی چند تابع تبدیل و سیستم 3 تانک مقایسه شده است.
در ادامه، توضیحی بر سریهای زمانی چند متغیره و روش ماتریس اینترکتور داده خواهد شد. در قسمت 3 مدل VAR و نحوه تخمین پارامترهای آن توضیح داده خواهد شد. قسمت 4 شامل توضیحی بر روش تخمین معیار مینیمم واریانس با استفاده از مدل VAR است. در فصل 5 شبیهسازی و نتایج حاصل از امتحان روش سری زمانی چند متغیره بر روی توابع تبدیل و سیستم 3 تانک ارائه خواهد شد. در فصل آخر نتیجه گیری از کل مطالب ارائه خواهد شد.
-2 پیش نیازها
سری زمانی چند متغیره از چندین سری تشکیل شده که به یکدیگر وابستهاند و به همین دلیل نمیتوان آنها را به صورت جدا از هم مدلسازی و تحلیل کرد. این نوع سری در مقابل سری تک متغیره قرار دارد که در آن تنها از یک متغیر نمونه برداری میشود در حالی که در سری زمانی چند متغیره از چند متغیر وابسته به هم نمونه برداری میشود برای مثال میتوان یک سری زمانی سه متغیره حاصل از نمونه برداری از دما، فشار و رطوبت را نام برد. این سه سری به هم وابستهاند و تغییر مقادیر یکی از سریها در مقادیر بقیه سریها اثر میگذارد.
رابطه بین سری چند متغیره با سریهای تک متغیره مانند رابطه بین سیستم SISO با سیستم MIMO است. با وجود اینکه مدلسازی سیستم MIMO به صورت چند سیستم SISO جدا از هم آسانتر از نوع مدلسازی به صورت MIMO میباشد، اما مدلسازی سیستم به صورت MIMO ویژگیهای یک سیستم - MIMO را بهتر بیان میکند. به طور مشابه سادهترین راهی که برای مدلسازی سریهای چند متغیره وجود دارد جداسازی سریها و سپس مدلسازی با استفاده از روشهای تک متغیره است. بهترین گزینه برای مدل کردن این سریها، نگاه به آنها به صورت چند متغیره، بدون تلاش برای جداسازی سریهاست. یکی از روشهای پیشنهادی برای مدلسازی سریهای چند متغیره استفاده از مدلهای خطی VAR است.
-1-2 معیار - هریس - مینیمم واریانس
مینیم واریانس نامیده میشود که این شاخص مقداری بین 0 و 1 دارد. اگر شاخص به 1 نزدیک شود نشانگر عملکرد مناسب حلقه است و برعکس .[1] اگر واریانس حلقه بسیار بیشتر از مینیمم واریانس باشد باید نوع کنترلکننده را تغییر داد یا آن را دوباره تنطیم کرد. مشکل اصلی در تعیین شاخص مینیمم واریانس محاسبه مقدار مینیمم واریانس با وجود نویز و اغتشاش است.
-2-2 تعیین شاخص عملکرد سیستم MIMO
در ارزیابی شاخص عملکرد سیستم MIMO در برخی از روشهای ارائه شده نیاز به محاسبه و تعیین ماتریس اینترکتور، که معادل تاخیر زمانی در SISO است [1]، وجود دارد. تاخیر زمانی در سیستم چند ورودی-چند خروجی تاثیر مستقیم در مینیمم واریانس قابل دسترس دارد. ماتریس اینترکتور برای یک سیستم سره r m - با ماتریس تابع تبدیل - G p یک ماتریس غیر تکین از مرتبه r و یک ماتریس پایین مثلثی - D - است که در ضوابط - 2 - صدق می کند. روش محاسبه ماتریس اینترکتور پروسهای طولانی دارد و چندین الگوریتم برای محاسبه آن پیشنهاد شده است 6]و[7 که در صورت نیاز به اطلاعات بیشتر میتوان به مرجع 2]و[8 رجوع کرد.
