مقاله کاربست آنالیز فوریه گسسته روی داده های دارای گاف زمانی با مدل کوشی - گوسی در مطالعه ی منحنی نوری ستارگان متغیر

بخشی از مقاله

چکیده

از آنجا که داده هاي حاصل از رصد ستارگان متغیر، داراي گاف و با بازه هاي زمانی نابرابر است، کاربست آنالیز فوریه روي آنها جهت تعیین فرکانس هاي نوسان ستاره، امکان پذیر نمی باشد، مگر اینکه این گاف هاي زمانی را با در نظر گرفتن توزیع ریاضی مناسبی پر کنیم. بدین منظور می توان از توزیع کوشی-گوسی استفاده شده است. هم چنین، در اینجا به بررسی منحنی نوري حاصل از فتومتري ستاره متغیر DM Cyg می پردازیم.

مقدمه    
 

از طریق رصد ستارگان متغیر و اندازه گیري شدت تغییرات نورآنها می توان اطلاعاتی از ساختار ستارگان بدستاگر آورد.[2] شدت نور ستاره اي را طی شب هاي متوالی اندازه بگیریم منحنی نوري ستاره را بدست می آوریم، با کاربست آنالیز فوریه روي این منحنی فرکانس هاي نوسان ستاره بدستاده می آید.[5] اما د هاي نجومی همواره داراي گاف زمانی هستند. براي اینکه بتوانیم این گاف ها را حذف کنیم باید از توزیع ریاضی مناسبی براي داده ها و نیز تأثیر نوفه ها روي پراکندگی داده ها استفاده کنیم.[1]تبدیل فوریه براي داده هاي داراي گاف زمانیدر یک سري زمانی اطلاعاتی نهفته است که به تمامی در حوزهي زمان قابل دسترس نیست. براي استخراج بخشی از این اطلاعات، می توانیم سري زمانی را به حوزه ي فرکانس ببریم. فرض کنیم یک سري زمانی شامل N نقطه داریم که بازه هاي زمانی در آن یکسان است و آن را با x نشان می دهیم:

براي یکرابطهتابعي تبدیل فوریه پیوسته عبارتست از:
تبدیل فوریهي گسستهي سري زمانی مورد نظر که با نمایش داده می شود:که د  آن tبازهي زمانی بین دادههمچنینها و = kT N و T طول زمان کل سري است.بطور مشابه عکس تبدیل فوریهي گسسته بهمحاسبهصورت زیرمی شود:اما در عمل همواره با سري زمانیاي که بازه هاي زمانی بین داده ها در آن مساوي باشند، مواجه نیستیم. بسیاري از داده هاي نجومی، فاصله هاي زمانی نامساوي دارند؛ به علاوه در رصدهاي زمینی، داده ها همواره داراي گاف هاي زمانی هستند که به دلیل عدم امکان رصد در طول شبانه روز و غروب کردن جسم سماوي از افق ناظر و یا برخی عوامل محیطی، پدید می آیند.براي اینکه بتوانیم تبدیل فوریه را روي سري هاي زمانی داراي گاف اعمال کنیم، باید به گونه اي این گاف ها را حذف کنیم. دشواري کار بیشتر زمانی پیدا می شود که همیشه در اندازه گیري ها به غیر از اطلاعات مورد نیاز مقداري نوفه هم با داده هاآمیخته شده است.

براي حل این مسئله، میتوان براي توصیف نحوهي گستردگی نوفه و نیز تأثیر آن روي داده هاي اندازه گیري شده، یک توزیع ریاضی براي آن در نظر گرفت.بسته به توزیع ریاضی بکار رفته، شیوه هاي مختلفی براي تبدیل فوریهي یک سري زمانی داراي گافهاي زمانی نابرابر، وجود دارد که در اینجا به بررسی روشمی کوشی-گوسین پردازیم. حذف گاف در واقع از طریق تخمین نقاطی که در آن ها داده اي نداریم، بر اساس رفتار سري زمانی، امکان پذیر است. فرض کنیم سري زمانی x که به آن اشاره شد، داراي N نقطه با فاصله هاي نامساوي باشد. چناچه بخواهیم با افزودن تعدادي داده به داده هاي اصلی، آنها را به گونه اي مرتب کنیم که داراي فاصله هاي مساوي از یکدیگر باشند، بایستی کوچک ترین بازهي زمانی در سري اولیه را به عنوان بازه زمانی بین داده هاي این سري ساختگی، در نظر بگیریم. بنابراین اگر لازم باشدراکه M نقطه براي این سري تخمین بزنیم، سري زمانی ساختگی ما شامل سري اولیه به اضافهي یک توزیع nتایی است، n=N ,….., M-1در . نتیجه سري زمانی مورد نظر ما با اعمال عکس تبدیل فوریه روي سري جدید عبارتست از:
این رابطه را می توان به شکل ساده تري نوشت:
ماتریس NM، F شامل جمله هاي نمایی است که آرایه هاي آن عبارتند از:
با استفاده از نرم1  مرتبهي دو عبارت x-FX و افزودن جمله-ي  - X - ، که در واقع نقش تنظیم کننده را براي سیگنال، نسبت به توزیع انتخاب شده ایفا می کند، عبارت J - X - بدین صورت شکل می گیرد:
توزیع کوشی براي متغیرهايتعریف مختلط بنا به عبارتست از:        

در مدل کوشی-گوسی از توزیع کوشیمیبراي  - X - استفاده شود که براي تفکیک از سایر مدلها آن را با S - X - نشان میدهیم.با ترکیب این توزیع با داده هاي پیش بینی شده، مقدار تابع J - X - براي این مدل به این صورت است:

در اینجا S - X - تنظیم کنندهي اعمال شده است که با توزیع کوشیتعریف شده است. توصیف کنندهي نویز گوسی است و ثابت مقدار پراکندگی را با توجه به عکس تبدیل فوریه و نیزدرجهي نوفه کنترل می کند.مدل کوشی-گوسی به الگوریتمی ختم می شود که در آن بایستی معادله - 10 - کردرااز طریق کمینه سازي حلQ یک ماتریس قطري با عناصر زیر است در نتیجه داریم: 
قرار می دهیم:                                       

به این ترتیب X برابر است با: 

معادله - 17 - به صورت زیر بازنویسی می شود:
در معادلهي - - 17 عکس یک ماتریس MM و در معادلهي - - 18عکس یک ماتریسNN محاسبه می شود.  قابل ذکر استM>N می باشد.براي کمینه سازي و حل معادلهي - - 18  از روش تکراراستفاده می کنیم که شامل حل یک سیستم NN از معادلاتبهغیرخطی نسبت X است. داریم:  
الگوریتم با تبدیل فوریهي گسستهي یک سري از داده ها با طولمتناهی به عنوان مقادیر اولیه،شود - -  و - -  شروع می   . - - تبدیل فوریه بردار اولیه x به طول N و تعداد M-N صفر میباشد.در هر تکرار، عبارت زیر را محاسبه می کنیم:
 عدد تکرار است.عملیات وقتی متوقف می شود که شرط زیر ارضا شود:
در حالت کلی تعداد کمی - 10 - تکرار لازم است تا تابع کمینه شود. در هر بار تکرار کناره هاي نمودار به طور قابل توجهی باکاهش گستردگی مواجه اند و قله هاي طیفی افزایش می یابد تا زمانی که هماهنگ ها به طور دقیق پوشش داده شوند. در نتیجه بااستفاده از این روش توانایی تفکیک فرکانس ها از یکدیگرافزایش می یابد. اما بخشی از طیف به اشتباه با خطوط طیفیمتفاوتی جایگزین می شود که اگر چه شکل نوفه پیوسته را نشان می دهد، اما در تشخیص فرکانس ها اختلال ایجاد می کند. اما