مقاله گذار فاز پارامتر شتاب در یک مدل سری توانی از گرانش تصحیح یافته بر پایه ی انتقال به سرخ

بخشی از مقاله

مقالهنامه کنفرانس فیزیک ایران ۱۹۳۱    195چکیده
در این مقاله دینامیک کیهان در گرانش f - R - مطالعه میشود. معادلات میدان برحسب انتقال به سرخ نوشته میشود. با استفاده ازیک مدل ساده مثل سري توانی بر حسب انتقال به سرخ براي مشتق کنش تعمیم یافته، انتقال به سرخ گذار کیهانی مورد بررسی قرار می گیرد. وابستگی انتقال به سرخ گذار نسبت به پارامتر آزاد مدل، α و تعداد جملات موجود در سري توانی به صورت تابعی توانی مشخص میشود. در انتها با به دست آوردن و جايگذاري مقدار انتقال به سرخ گذار چند مدل انرژي تاریک در تابع توانی، محدودهي مجاز پارامتر آزاد α و تعداد جملات سري توانی براي معادل کردن نتیجهي حاصل از محاسبات ومدل هاي انرژي تاریک تعیین میشود.

مقدمه
مشاهدات اخیر ابر نو اخترهاي نوع Ia و تابشهاي زمینه کیهانی[1] یک فاز انبساطی شتاب دار را براي عالم نشان می دهد. این پدیده را میتوان به منزلهي گذار از فاز شتاب کند شونده - دورهي ماده غالب - به فاز شتاب تند شونده - دورهي انرژي غالب - دانست. طی سال هاي اخیر تلاش هاي فراوانی براي بیان رهیافتی توجیه کننده مشاهدات صورت پذیرفته، تعدادي از این روش ها بر پایه معرفی و استفاده از نوع جدیدي ازنرژيانرژي – تاریک – که تاکنون آشکار سازي نشده است استوارند. از سوي دیگر برخی از محققان با تلاش در تصحیح بخش هندسی معادلات گرانش قائل به حذف اثر انرژي تاریک در توجیهات هستند. یکی از این جایگزینیها با انتخاب تابع تحلیلی f - R - و قرار دادن بهآنجاي اسکالر ریچی در کنش آینشتاین- هیلبرت صورت می پذیرد.

این رهیافت قابلیت تبدیل بهصورت مدلهاي هم ارز دینامیکی ازقبیل مدلهاي اسکالر تانسوري و ... را دارد .[2] در کنش تصحیحیافته جملاتی به وجود خواهند آمد که نسبت به R غیر خطیهستند و انتظار بر این است که در توجیح شتاب انبساطی عالم در دیر زمان و تورم اولیه کیهان توانا باشد. درصورتیکه گرانش تعمیم  یافته با f - R - بتواند ناهنجاريهاي دینامیکی عالم ابتدایی و کنونی را توجیه کند، لازم است حل فضاي تهی آن، که در آن تانسور انرژي تکانه در نظر گرفته نمیشود، بررسی شود. بدین ترتیب می توان مدلی از f - R - داشت که حل فضاي تهی آن، پارامتر شتاب عالم نسبت به انتقال به سرخ، q - z - را نسبتا درست تعیین کند.

در این مقاله معادلات میدان تعمیم یافته برحسب انتقال به سرخ نوشته می شود، سپس از تابعی اختلالی که به صورت سري توانی از انتقال به سرخ و ضریب ثابت α - پارامتر اختلال - است، استفاده شده و پارامتر شتاب عالم و انتقال به سرخ گذار تحلیل می شوند. - انتقال به سرخ گذار از شتاب مثبت به شتاب منفی کیهانی در این مقاله به اختصار به صورت انتقال به سرخ گذار بیان میشود - نتیجه بررسی روي انتقال به سرخ گذار با توجه به سري توانی تعریف شده، تابعی توانی خواهد بود که به پارامتر اختلال α و تعداد جملات سري وابسته است. در انتها با بهره گیري از مقادیر انتقال به سرخ گذار چند مدل انرژي تاریک، محدوده ي مجاز پارامتر اختلال α و تعداد جملات سري براي معادل کردن مدلهاي انرژي تاریک و مدل پیشنهاد شده تعیین می شود.

معادلات میدان تعمیم یافته در فضاي تهی

با فرض همگنی و همسانگردي عالم، متریک FRWبه را صورت زیر در نظر می گیریم:همانطورکه از پیش اشاره شد حل در فضاي تهی مورد بحث است، جایی که از تانسور انرژي- تکانه صرفنظر می شود - . - T   0 معادلات فریدمن تعمیم یافته با در نظر گرفتن متریک بالا بهصورت زیر در خواهند آمد. مولفههاي زمان- زمانمکانومکان-بهترتیب عبارت است از:
 که علامت پرایم مشتق نسبت به اسکالر ریچی و دات مشتق نسبت به زمان است. با حذف f از معادلات بالا می توان آنها شکل زیر نوشت:
با اعمال تغییر و  معادله فوق به شکل زیر نوشته می شود:                        
این معادله، یک معادله دیفرانسیل زمانی مرتبه دوم است و داراي دو مجهول F  و . H براي حل چنین معادلهاي تعیین یکی ازمجهولات راه گشاي به دست آوردن دیگري خواهد بود.

حل فضاي تهی با کمک تابع عام F - z -

در این مقاله براي حل معادلهي - 5 - ، مشتق کنش - F - رابه صورت سري توانی از انتقال به سرخ به جاي زمان تعریف میاین کنیم، به دلیل که میدانیم هر انتقال به سرخ معرف یک زمان کیهانی به خصوصاست.  از اینرو با بیان تغییر متغیري به صورت زیرمشتقات زمانی را به مشتقات انتقال به سرخ تبدیل می کنیم:
که در آن از رابطهي    a0    1  z  استفاده    کردیم    و در    آن a0 مقدار فاکتور مقیاس در زمان حال است. با جایگذاري رابطه - 6 - در رابطه - 5 - و مرتب سازي جملات، شکل معادله وابسته به انتقال به سرخ به صورت زیر در خواهدآمد:
که ملاحظه میشود معادله  دیفرانسیل مرتبه اولی از H 2 - z - است که در آن P - z - به صورت زیر تعیین مس شود:    
این حل تنها وابسته به F - z - خواهد بود و تعیین آن منجر به دست آمدن H - z - و در نتیجه f - R - خواهد شد،تابعهمچنین  براي تعریف شده می توان رفتار پارامتر شتاب عالم را نیز مورد بررسی قرار داد. حال F - z - را به صورت زیر تعریف می کنیم:
که در آن z انتقال به سرخ و α پارامتر اختلال است. در ادامهبا توجه به داشتن این تعریف و دقت به این نکته شتابکهپارامترعالم در فضاي تهی به صورت q 1 HH2  تعریف میشود،    با اعمال تغییرات لازم که از قبل براي ما شناخته شده هستند q - z -  یر  را به شکل به دست می آوریم:    

با توجه به وابستگیتابع - p - zF - z - می توان نوشت: 

و با جایگذاري - 11 - در - 10 - ، پارامتر شتاب عالم براي این F - z -  به شکل عام زیر به دست می آید:                                    
بدین ترتیب بسته به تعداد جملات استفاده شدهتواناز F - z - می پارامتر شتاب عالم را مورد بررسی قرار داد.

انتقال به سرخ گذار بر پایه ي تعریف سري توانی F - z -

براي به دست آوردن انتقال به سرخ صفرگذار باید q - z - را برابر قرار داد. براي نشان دادن چگونگی فرآیند رسیدن به تابع عام انتقال به سرخ گذار باید تعریف سري توانی F - z - ، همچنین پارامترشتاب عالم به دست آمده از این تعریف در رابطهي - 12 - را موردتوجه قرار داد. به این ترتیب با برابر صفر قرار دادن آن معادلهاي بهصورت زیر نتیجه میشود: - جمع روي مقادیرهر n تا    m دلخواه -     حاصل به پارامتر اختلال α و تعداد جملات سري - m - وابسته است. فرآیند محاسبه و تعیین مقدار انتقال به سرخ گذار با دنبال کردن یک نمونه محاسبه نشان داده میاگرشود.m=5 ، معادلهي - 13 - به ازاي گام هاي 0/01 برايبین α و 0  ،1همچنین براي چند مقدار مرزي حل شده و انتقال هايبهسرخ گذار حاصل می شود.

دادهها با استفاده از ابزار curve fittingدرنرم افزار matlab برازش میشوند و نتیجه فرمولی براي انتقال به سرخ در این تعداد جملات به شکل رابطهي - - 14 است.این عمل براي مجموعهاي 20تایی از m انجام شد که در هرمرحله جدولهایی از α و z ها تشکیل شده و مورد تحلیل قرارگرفت. حاصل، مجموعهاي از انتقال به سرخها بود که با ضرایبی خاص، تابعیت مشخص از α به صورت زیر داشتند:
نتیجهي به دست آمده یک تابع توانی است اما نکتهي جالب توجه در کل فرآیند محاسبات ثابت بودن مقدار درضریب b است.همهي مراحل براي تمام m هاي مورهموارهدبحث -1  b بود، اماهر a و c براي  m مقادیر متفاوتی را به خود میگیرند.

این مشاهدات نشان میدهد که شکل کلی انتقال به سرخ گذار بهدست آمده نه تنها به α، بلکه به تعداد جملات سري توانی نیزوابسته است.  بدین ترتیب میتوان انتقال به سرخ گذار را بهصورت زیر نمایش داد:
که در آن ضرایب a وc به تعداد جملات سري توانی وابسته هستند. در ادامه با بهره گیري مجدد از ابزار fitting نرمcurve از افزار matlab براي برازش دادهها اینبار این دو ضریب مورد بررسی قرارگرفتند تا تابع انتقال به سرخ گذار به بهترین شکل مرتب شود. معادله حاصل از برازش دادهها براي a، تابعی توانی وابسته به m به صورتزیر   شد:

با انجام همین فرآیند براي c تابعی توانی به زیر حاصل گردید:
با مشخص شدن ضرایب، میتوان آنها را در رابطهي - 16 - قرار داد تا شکل عام انتقال به سرخ گذار به صورت زیر تعیین شود:

تابع بالا، تابع توانی از پارامتر اختلال α و تعداد جملات سري mکه شکل عام انتقال به سرخ گذار را با نگاه به تعریف سري توانینشان میدهد.

نگاهی به مدلهاي انرژي تاریک و معادل سازي