بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
تحليل غير خطي هندسي و مصالح خرپاهاي فضاکار با در نظر گرفتن کمانش اعضا
خلاصه
امروز مباحث اجزاء محدود و تحليل غير خطي سازه ها توجه بسياري از محققين اين رشته را به خود جلب نموده زيرا اولا استفاده از رايانه جهت صرفه جويي در زمان تحليل ودوما بهره گيري از حداکثر توانايي مصالح از اهداف اصلي مهندسين محاسب مي باشد. سازه هايي که داراي عناصر با بار فقط محوري هستند، به خاطر رفتار دوگانه ي اين گونه اعضا در کشش و فشار، رفتار غير خطي از خود بروز مي دهند و تحليل آنها نيازمند استفاده از روشهاي تحليلي غيرخطي در اجزاء محدود است . در اين مقاله با کمک تکنيک هاي برنامه ريزي رياضي به منظور بهبود و افزايش دقت روش هاي تحليل غيرخطي ، اثر تغيير شکل هاي بزرگ کمانشي اعضاي محوري در خرپاهاي فضاکار، در تغيير سختي محوري عضو و به تبع آن ماتريس سختي کل سازه در سازه هاي داراي عناصر خرپايي با ظرفيت محدود فشاري محاسبه شده وبا ترکيب آن با تحليل ارتجاعي - خميري اين گونه از سازه ها از آن در محاسبات مربوط به نمودار نيرو تغيير شکل سازه استفاده مي شود. براي نشان دادن قابليت روش پيشنهادي يک مثال حل شده ارائه شده است .
کلمات کليدي : خرپاهاي فضاکار، تحليل غيرخطي ، کمانش ، تغيير شکل هاي بزرگ ، ارتجاعي -خميري
١. مقدمه
پايداري المان هاي خرپا و تعيين نيروي کمانشي آن ها سابقه ي بسياري در تحقيقات مهندسي سازه دارد. از سال هاي دور تلاش هايي براي کمانش ستون ها انجام شده است . مسايل الاستيکا نخستين بار توسط اولر در سال ١٧٧٠ مورد بررسي قرار گرفت [١] وي همچنين مطالعاتي را در سال ١٧٨٨ در باره ي کمانش ستون ها تحت وزن خود منتشر کرد [٢].کيرشوف تشابه معادلات ديفرانسيل منحني تغيير مکان با نوسان يک آونگ را در سال ١٨٥٩ به انتشار در آورد[٣] در سال ١٨٨٠ حالت هاي مختلف خيز هاي خيلي زياد توسط سالچوتز به چاپ رسيد[٤] در سال ١٨٨٢ گرينهيل توانست حلي براي معادلات اويلر ارائه دهد [٥]کلبش در سال ١٨٩٢ شکل اصلاح شده تئوري کيرشوف شامل ميله هايي با انحناي اوليه در لايپزينک منتشر کرد[٦].حل بسته معادلات ديفرانسيل کمانش سال ها بعد در سال ١٩٢٩ توسط دينيک به دست آمد [٧].بيوت و کارمن نيز همين کار را در سال ١٩٤٠ انجام دادند [٨]. در سال ١٩٦١ تيموشينکو معادله ديفرانسيل کمانش اعضا با مقطع منشوري و حل آن را ارائه داد [٩]. فريش في در سال ١٩٦٦ حل تحليلي براي نيروي بحراني کمانش يک المان منشوري با نيروي محوري يکنواخت تحت شرايط مرزي مختلف به دست آورد.[١٠]
جين لويس باتوز در سال ١٩٧٩در مقاله اي به نام الگوريتم جابجايي افزايشي براي مسايل غير خطي مي گويد از آنجا که اغلب از روش هاي نيوتني مانند نيوتن ، نيوتن -رافسون و افزايشي خود اصلاحي و استاندارد براي حل پايداري غير خطي سازه ها استفاده مي شود لازم است تا اين روش ها را براي پيگيري شکل پس از کمانش همراه با بار ناگهاني بهبود ببخشيم تکنيک هاي لازم جهت انجام چنين بهبودي را مي توان به طور گسترده در دو گروه کلي تقسيم بندي کرد .
(١ استفاده از جابجايي ثابت به جاي استفاده از نيرو که بيشتر در زماني که شرايط تکيه گاهي مسئله معلوم باشد از آن استفاده مي کنيم .
(٢ معرفي ضريب فنريت براي بهبود ماتريس پس از کمانش .
وي در اين مقاله با مقايسه چند روش اقدام به ارائه روشي بر مبناي افزايش جابجايي به عنوان متغيري مستقل جهت تحليل غير خطي مي کند[١١]کريسفيلد پس از انتشار مقاله اي در مورد روشي سريع براي کنترل بار هاي افزايشي در سال ١٩٨٠ [١٢]که در آن به ارائه روشي ترکيبي از همگرايي نيوتن و روشي که ريکس در سال ١٩٩٧ جهت گذر از بار حدي منتشر کرده بود پرداخت ، کتابش در زمينه تحليل غيرخطي اجزاي محدودي را در سال ١٩٨١ منتشر نمود [١٣]. وي در مقاله خود با استفاده از اجزاي محدود به بارگذاري صفحات و پوسته ها تحت باري متمرکز پرداخت و با عبور از بار حدي رفتار پس از کمانش آن ها را مورد مطالعه قرار داد.
در سال ١٩٩١لوگالاتان بار ناگهاني کمانش گنبد ها را آناليز نمود [١٤].او در مقاله خود با استفاده از روش آرک لنس متد رفتار پس از کمانش خرپاي گنبدي با ١٥٦ عضو را در روش اجزاي محدودي به دست آورد.
٢. تشابه ديناميکي کيرشوف
بار کمانشي اعضاي محوري که توسط اولر در سال ١٧٤٤ که با رابطه
به دست مي آيد، کمترين بار محوري است که ميله را به شکل خميده جزئي نگه مي دارد. اگر بار p قدري بزرگتر از بار بحراني در نظر گرفته شود تغيير مکان بزرگي در ميله ايجاد مي شود محور هاي مختصات را مطابق شکل ١ در نظر مي گيريم
شکل ١ – تغيير شکل بزرگ ستون در مختصات محلي
در اين صورت انحناي ميله خواهد بود و معادله ديفرانسيل دقيق براي منحني تغيير مکان عبارت است از :
با ديفرانسيل گيري از رابطه (٢) نسبت به s داريم :
بنابراين معادله ديفرانسيل منحني تغيير مکان مانند منحني ديفرانسيل نوسان يک آونگ مي باشد که در آن EI همان ممان اينرسي آونگ نسبت به محور چرخش ، s زمان و p حاصل ضرب وزن آونگ در فاصله مرکز ثقل آن از محور چرخش است . اين تشابه که بين تغيير مکان يک ميله لاغر که فقط در دو انتهايش بارگذاري شده است و چرخش يک جسم صلب حول يک نقطه ثابت توسط کيرشوف کشف شده که معروف به تشابه ديناميکي کيرشوف lمي باشد.[١٥]
٣. حل معادله تشابه ديناميکي
براي حل معادله ٣ مي توان با ضرب طرفين تساوي در dθ شروع کرده و سپس انتگرال گيري کنيم
در رابطه فوق مقدار
مي باشد اين رابطه را مي توان به شکل زير نشان داد:
با انتگرال گيري خواهيم داشت :
که در آن cثابت انتگرال گيري مي باشد و از شرايط حدي انتهاي فوقاني ميله تعيين مي شود . در انتهاي فوقاني داريم :
از اين شرايط خواهيم داشت :
و بنابر اين :
يا :
چون هميشه منفي است همان طوري که از شکل ديده مي شود علامت مثبت از اين معادله حذف خواهد شد. با حل آن براي dsداريم :
و طول کل ميله پس از جابجا کردن حدود انتگرال گيري برابر است با:
اين انتگرال را ميتوان با علامت گذاري
و معرفي يک متغيير جديد ∅به ترتيبي که داشته باشيم :
ساده نمود از اين روابط در مي يابيم که θاز ٠ تا αو مقدار ∅sin نيز از ٠ تا ١ تغيير مي کند. بنابر اين ∅از تغيير ميکند. با ديفرانسيل گيري از معادله ١٣ به دست مي آوريم که :
با قرار دادن عبارت فوق در رابطه ١١ و توجه به اين که :
به دست مي آوريم :
اين معادله « انتگرال نوع اول بيضوي کامل » ناميده مي شود. در محاسبه تغيير مکان ميله توجه مي کنيم که
پس تغيير مکان کلي انتهاي فوقاني ميله در جهت افقي برابر است با:
با قرار دادن معادله ١٧ در اين رابطه داريم :
و سپس :
با قرار دادن عبارت ١٤ و ١٥ و ٢٠ در معادله ١٨ و عوض کردن جاي حدود انتگرال گيري خواهيم داشت :
بنابر اين محاسبه تغيير مکان ميله را مي توان با انتخاب يک مقدار براي p شروع کرده و سپس kو بنابر اين Pرا از معادله ١٦ تعيين مي نماييم و سر انجام از معادله ٢١ مقدار ya را به دست آوريم نتايج عددي که به اين ترتيب به ازاي مقادير مختلف αيا همان Pبه دست مي آيد ، را مي توان رابطه بين تغيير مکان ya و بار Pتوصيف کرد .اين نمودار در شکل نشان داده شده است
شکل ٢ – منحني بار-تغيير شکل ستون براي تغيير شکل هاي بزرگ
فاصله xa در شکل را مي توان به روش مشابه محاسبه نمود
اين معادله «انتگرال نوع دوم بيضوي کامل » است در اين بررسي ، معادلات براي ميله اي که در يک انتها گيردار و در انتهاي ديگر آزاد است نوشته شده و نتايج حاصل را مي توان براي ميله دو سر مفصل به کار برد. در شکل ٣ در سمت راست منحني هاي تغيير شکل يافته براي ميله يک سر آزاد يک سر گيردار و در سمت چپ براي حالت دو سر مفصل نشان داده شده است . همان طور که مشاهده مي کنيد طول ميله دو سر مفصل دو برابر طول ميله يک سر گيردار يک سر آزاد است .[١٦]
