بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
تحلیل غیر خطی و رفتار بعد از کمانش صفحات نازک کامپوزیت بر اساس المان DKT
چکیده
تحلیل رفتار غیر خطی سیستم های سازه ای حالت کاملتری نسبت به تحلیل خطی می باشد که در محاسبات دقیق سازه ها به مرور کاربرد بیشتری برای خود پیدا کرده است از جمله بررسی رفتار پس از کمانش سازه ها رفتار غیر خطی سازه ها را به دو نوع می توان تقسیم کرد؛ یکی هندسی ({C} = D]{E} و {S} = [B] {u}) و دیگری ناشی از خصوصیات غیر خطی مواد({c}={D(u)]{E}). در این مقاله به تحلیل غیر خطی هندسی صفحات نازک پرداخته شده و به این منظور از المان خمشی صفحات بر اساس فرضیات لاو کیرشهف (تئوری کلاسیک) استفاده شده است.در به کار گیری روش اجزا محدود، المان پایه مورد استفاده المان DKT میباشد که ترم های غیر خطی به آن اضافه شده و برای صفحات مرکب متقارن باز نویسی شده است. در حل غیر خطی روش نیوتن رافسون ( NGWton RaphSOn Method) به کار گرفته شده است و نتایج بدست آمده با نرم افزار های رایج مهندسی مانند AnSyS و مراجع معتبر دیگر مقایسه و ارائه شده است. واژه های کلیدی: کمانش، بمد از کمانش ، رفتار غیر خطی، صفحات کامیوریت المان صفحه ای مشاهدی کیرشهف
مقدمه
دو نوع رفتار غیر خطی از هر سازه ای می تواند سر بزند که صرفنظر از اینکه در هر دو نوع رفتار سازه وارد محدوده رفتار غیر خطی می شود رابطه کلی تنش-کرنش یا کرنش - تغییر مکان می تواند تغییر کند و دو نوع حالت خاص را پدید آورد که به شرح مختصر آنها می پردازیم.
الف- رفتار غیر خطی هندسی در سازه در این رفتار سازه بدون اینکه از نظر خواص فیزیکی دچار تغییرات شود تنها به دلیل شکل و هندسه خود وارد محدوده ARGEمل DEFORMATION می شود.در این حالت رابطه تنش کرنش همچنان یک رابطه خطی باقی می مانده، اما سازه از خود رفتار غیر خطی نشان می دهد. در مورد رابطه تنش-کرنش و کرنش تغییر مکان در این حالت می توان گفت:
کرنش ها نیز به صورت کلی زیر در می آیند
لذا ماتریس های تغییر مکان کرنش (B) و سختی (K) نیز شامل دو بخش خطی (ثابت) و غیر خطی (وابسته به تفییر مکانها) خواهد بود.برفتار غیر خطی مادی در سازه در این رفتار سازه بعداز اینکه از مرز تنش های نهایی خود گذر می کند در خواص فیزیکی خود و ماتریس [D]آن دچار تغییرات می شود، در واقع سازه تغییرات ماهیتی می دهد و ماتریس [D] به ترم های تغییر مکان وابسته می شود. مسایل مربوط به پلاستیسیته از این نوع هستند، [D]: D(u)], {a} = [D(u)){a} (የ)
حال با دانستن اینکه ویژگی های رفتاری سازه دارای چه بازه ای است و چگونه می توان آنها را دسته بندی کرد می توان به سراغ تحلیل رفتار سازه رفت طبیعی است تشخیص ایتکه از چه نوع تحلیلی استفاده شود یا باید توسط شخص اعمال شودو یا اینکه سیستم بررسی کننده در حین مراحل تحلیل با لحاظ کردن معیار های خاص به صورت خودکار نوع تحلیل را مطابق شرایط انتخاب کند. این مزیتی است که امروزه در بسته های نرم افزار های مهندسی لحاظ می شود و علاوه بر سهولت کار باعث اطمینان بیشتر به نتایج می شود.
تئوریهای مطرح در تحلیل صفحات و پوسته ها تشوری های متداول برای تحلیل صفحات و پوسته ها به کار می روند که بر حسب لحاظ کردن اثرات برش در ضخامت صفحات متفاوت اند. بعضی از این تئوری ها مربوط به صفحات نازک است و برخی برای تحلیل صفحات ضخیم . در این بخش به معرفی سه تئوری متداول در تحلیل صفحات و پوسته ها می پردازیم.
الف- تشوری صفحات تازک (لاو - کیرشهف): در این تئوری فرضیات کیرشهف در خمش صفحات را به عنوان ویژگیهای رفتار خمشی صفحه در نظر می گیریم این فرضیات عبارتند از: ۱) خط عمود یر لایه میانی، پس از خمش صفحه همچنان به صورت خط باقی می ماند. ۲) خط عمود بر لایه میانی، در هنگام تغییر شکل خمشی دچار تفییر طول نمی شود. ۳) خط عمود بر لایه میانی، در هنگام تغییر شکل صفحه چنان می چرخد که پس از تغییر شکل صفحه همچنان بر صفحه میانی عمود است.(شکل ۱)
در این تئوری که به تئوری کلاسیک خمش صفحات معروف است، انرژی تغییر شکل برشی عرضی لحاظ نمی شود، این تعریف همانطور که گفته شد به این مفهوم است که مؤلفه های کرنش Y و Yzy قابل صرف نظر کردن هستند. در نتیجه خیز صفحهها عمدتاً با کرنش های خمشی است و کرنش عمودی ez نیز قابل صرف نظر است. همچنین تنش عمود بر سطح میانی z تC در مقایسه با مؤلفههای دیگر تنش کوچک است و صرف نظر می شود. تغییر مکانهای نقطه مادی (X:y,Z) به صورت زیر خواهد بود.
که در آن داریم:
با تئوری صفحات ضخیم (میندلین): در این تئوری فرضیات میندلین در خمش صفحات را به عنوان ویژگیهای رفتار خمشی صفحه در نظر می گیریم این فرضیات عبارتند از: ۱) خط عمود بر لایه میانی، پس از خمش صفحه همچنان به صورت خط باقی می ماند. ۲) خط عمود بر لایه میانی، در هنگام تغییر شکل خمشی دچار تفییر طول نمی شود. شروط فوق در واقع همان فرضیات کیرشهف هستند و تنها فرض سوم که عمود باقی ماندن خط نرمال است در اینجا حذف شده است. در این تئوری علاوه بر تغییر مکان های (.u., V., W) زوایای چرخش ۳ آو if x نیز به مجهولات اضافه می شود. در این تئوری خطوط نرمال بر صفحه میانی بعد از تغییر شکل نرمال نیستند و بر خلاف تئوری قبلی زوایای چرخش خطوط نرمال دیگر توابعی از تفییر مکان های صفحه میانی نیستند و خود به عنوان درجه آزادی مطرح می شوند.ایسن تئوری به تئوری مرتبه اول تغییر شکل برشی شهرت دارد و در آن انرژی تغییر شکل برشی عرضی لحاظ می شود. باتوجه به فرضی (ب) می توان نتیجه گرفت که در این تئوری کرنش نرمال عرضی در صفحه صفر است ولی کرنش های برشی عرضی غیر صفر هستند. با توجه به مطالب ذکر شده تغییر مکان های نقطه مادی به صورت زیر خواهد بود:
کرنش عرضی در این تئوری به قرار زیر است:
در این تئوری برای ترم انرژی داریم:
ج- تئوری تغییر شکل برشی مرتبه بالا: در این تئوری نیز شرط عدم تغییر طول خط نرمال در هنگام تغییر شکل صفحه برقرار است و در نتیجه کرنش بر روی خط نرمال بر صفحه میانی در هنگام خمش صفر است بر اساس این تئوری، نقاطی که بر روی یک خط نرمال بر صفحه میانی قرار دارند پس از تفییر شکل برروی یک منحنی درجه سوم واقع می شوند. توابع تفییر مکان در این تئوری به قرار زیر است: [مرجع ۱]
فرمولاسیون اجزاء محدود با توجه به اینکه سازه دارای رفتار غیر خطی میباشد طبیعتاً ماتریس سختی نیز از دو بخش خطی و غیر خطی تشکیل می شود.
حال با فرض مشخص نمودن توابع شکل مناسب برای مقادیر جابجایی در نقاط مختلف هر المان خواهیم داشت:
که در آن {Un} بردار درجات آزادی و [B] ماتریسی است که شامل توابع شکل و مشتقات آن است و عملکرد تبدیل تغییر مکان ها به کرنش ها است. لذا برای تغییرات انرژی داریم:
همچنین کار نیروهای خارجی را میتوان به صورت زیر نشان داد
در بیستم کارتزین بردار تغییر مکان ها {u} و بردار نیروهای حجمی و سطحی {f} و {f} میباشند.لذا برای یک المان تغییرات کار نیروی خارجی عبارتست از:
که عبارت داخل پرانتز کل نیروهای حجمی و سطحی وارد بر المان است. لذا میتوان گفت
که اگر رابطهٔ (۲۳) را با رابطهٔ معروف سختی {K] {Un}={F] مقایسه کنیم خواهیم داشت
و با توجه به اثرات غیر خطی فرم دیگر رابطه (۲) به صورت زیر است
جایگذاری رابطه )ΥΔ( دار )Yየ( خواهیم داشت:
همانطور که گفته شد برای برای تحلیل المان محدود به بررسی المان مثلثی میپردازیم که علاوه بر اثرات کرنش های خمشی، ترمهای غشایی نیز به آن اضافه شده است یعنی المانی با ۳ گره که هر گره دارای ۵ درجهٔ آزادی به فرم ح u , V, W,00y> است، که در واقع از ترکیب درجات آزادی دو المان مثلثی غشایی (u,V) و مثلثی خمشی
(W,0,0,y) تشکیل شده است.
به دست آوردن ماتریسی های سختی المان با صرف نظر از انرژی برشی ماتریس سختی المان به سه بخشی
غشایی ، خمشی و غیر خطی تقسیم می شود که به صورت زیر محاسبه می شود:
با در نظر گرفتن توابع شکل متداول برای درجات آزادی غشایی داریم
از ترکیب روابط (۸) و (۲۷) برای حالت غشایی خواهیم داشت
ماتریس فوق همان ماتریس [Bri] میباشد و طبق رابطهٔ (۲۴) داریم
محاسبه ماتریس سختی خمشی ترمهای مربوط به اثرات خمشی در این بخش مطابق رابطه زیراست
انرژی خمشی از رابطه زیر به دست میآید
که K وابسته به کرنشهای خمشی است. و با فرضی توابع درون یابی المان DKT به فرم ارایه شده در مرجع (۳) داریم:
