پاورپوینت ترسیمهای هندسی در عالم اسلامی

بخشی از پاورپوینت

اسلاید 2 :

ترسیمهای هندسی در عالم اسلامی

اسلاید 3 :

آپولونیوس
آپولونيوسِ پِرگايي (262ـ190قم،( ریاضیدان و ستاره شناس یونانی که مقاطع مخروطی و حرکات سیارهای از زمینههای موردتوجه او بودند.
نام وي در منابع اسلامي بيشتر به صورت بَلينوس يا بَليناس و نيز به صورتهاي اَبُولُونْيوس، اَفُولُونيوس، اَبْلينَس، اَبُولوس، اَبُلُّونيوس آمده است . معاصرانش او را (مهندس بزرگ) ميناميدند. برخي از دانشمندان اسلامي لقب نجّار به وي دادهاند. او به تکمیل نوعی ساعت آفتابی که خطوط ساعتی آن روی یک سطح مخروطی کشیده شده بودند هم پرداخت.

اسلاید 4 :

وی در زمینه هندسه مقاطع مخروطی کار کرد و این هندسه کمک زیادی به اختر شناسان نمود . اواز همان برهانهای یونانی استفاده نمود اما به نتایج تازه و جالبی درمورد هندسه مقاطع مخروطی دست یافت.
مشهورترين اثر وي كتاب مخروطات است كه در نوع خود مهمترين اثر علمي زمان وي به شمار ميرفته و تا قرنها مورد استفاده بوده است. وي مبحث مقاطع مخروطي را كه در پژوهشهاي هندسهدانان گذشته ناقص مانده بود، تكميل كرد و اصطلاحات Parabola) ) شلجمي يا سهمی ،( Hyperbola)هُذلولي و Ellips ))بيضي را وارد دانش مخروطات ساخت.

اسلاید 5 :

بخش مهمي از اثار آپولونيوس در سدههاي نخستينِ هجري به زبان عربي ترجمه شده است، ولي اكنون نه از اين ترجمهها چيزي به جاي مانده است نه از اصل يوناني آنها. عنوان عربي قسمتي از اين آثار چنين است: رساله في قطع السّطوح علي النّسبه، رساله في النّسبه المحدوده، رساله في الدّوائر المماسّه.

اسلاید 6 :

آپولونیوس اغلب ازخطوط مرجع برای مطالعه راجع به مقاطع مخروطی استفاده می کرد. برای مثال اوبیضی را به وسیله اندازه گیری فاصله درطول قطرویک خط مماس دربیضی که عمود برقطررسم می شود مطالعه می کرد.

اسلاید 7 :

سیستم اندازه گیری آپولونیوس بسیار شبیه ؟کار می کند.اما چندین تفاوت مهم با آن وجوددارد:
اول:
خطوط مرجع آپولونیوس همیشه زاویه ندارد گاهی مایلند.

اسلاید 8 :

دوم:
آپولونیوس از اعداد منفی استفاده نمی کرد .او تنها از یک راه می توانست در طول خطوط مرجع حرکت کند .
تفاوت عمده:
آپولونیوس ابتدا همیشه منحنی را رسم می کرد وسپس خطوط را به آن اضافه می کرد اما امروزه ما ممکن است محورهای ؟ را کشیده و سپس سهمی یا هذلولی را رسم کنیم اما برای این کار نیاز به معادله ی سهمی یا هذلولی داریم.
آپولونیوس از جبر استفاده نمی کرد بنابراین می بایست در مورد هندسه بدون رسم مطالعه می کرد.

اسلاید 9 :

نظریۀ مقاطع مخروطی آپولونیوس
قاعده
یک سطح مخروطی دو پارچه از خطوط مستقیمی که بر نقاط محیط یک دایره، به نام قاعده، و نقطۀ ثابتی غیر واقع بر صفحۀ قاعده می گذرند، تشکیل می شود.
هر یک از خطوط مستقیم را، یک مولد سطح،
نقطۀ ثابت را رأس آن،
و خط مستقیمی مار بر رأس و مرکز قاعده را محور می نامند.
یک مخروط جسمی است که توسط بخشی از
سطح مخروطی دو پارچه که بین رأس و قاعده
قرار دارد، محصور می شود.
مولّد
رأس
محور

اسلاید 10 :

اقلیدس و ارشمیدس هر دو پیش از آپولونیوس دربارۀ مقاطع مخروطی چیز نوشتند، اما در بحثهای آنان از مقاطع مخروطی، مخروط همان به اصطلاح مخروط قائم بود که در آن، محور بر دایره قاعده عمود است. سپس این مخروط قائم به وسیلۀ صفحه ای عمود بر یک مولد قطع داده می شد، و به این ترتیب یک مقطع مستوی به دست می آمد، و نوع مقطع به زاویۀ رأس مخروط بستگی داشت. بنابراین در دنیای باستان، مقاطع مخروطی اشکال مسطحه بودند، در حالی که ما به مرزهای این اشکال مسطحه نظر داریم و مقاطع  مخروطی را منحنی تلقی می کنیم.

اسلاید 11 :

آپولونیوس این روش تولید مقاطع مخروطی را با در نظر گرفتن مقاطع مسطحه ای از یک مخروط دو پارچۀ دلخواه که محور آن ممکن است نسبت به قاعده مایل باشد، تعمیم داد و نشان داد که به این ترتیب صرف نظر از دایره، تنها سه سطح مخروطی شناخته شده می توانند به وجود آیند.
آپولونیوس در شروع کتاب مقطع مخروطی اش،
از این حقیقت استفاده کرد که این شکلها مقطعهای
یک مخروطند و منظور او تنها آن بود که
خواص مقدماتی این مقاطع را،
که آنها را «علائم» نامیده، اثبات کند.
قاعده
مولّد
رأس
محور
نظریۀ مقاطع مخروطی آپولونیوس

اسلاید 12 :

بنابر گفتۀ آپولونیوس، یک سهمی مقطع مشترک یک
مخروط و یک صفحه است
وقتی که صفحه با یکی از مولدهای مخروط موازی باشد.

و هذلولی هر یک از دو مقطع مشترکی است
که وقتی صفحه با هر دو قسمت مخروط دو پارچه
تلاقی می کند، تشکیل می شود.
در هر یک از دو مقطع مخروطی،
خطی که دو نقطه بر مرز را به هم وصل می کند،
وتر نامیده می شود.

اسلاید 13 :

آپولونیوس نشان داد که اواسط همۀ وترهای موازی با وتری ثابت، بر خط مستقیمی واقعند و اگر این خط مستقیم مرز را در A قطع کند،
مماس در A با همۀ وترها موازی است.
این خط مستقیم، قطر مقطع و محل تلاقی یک قطر با مرز، رأس مقطع مخروطی نامیده می شود.
نیم وترهایی که در یک طرف قطر قرار دارند، عرضهای این قطر نامیده می شوند.
وقتی عرضها بر این قطر عمود باشند،
چنین قطری منحصر به فرد است
و محور نامیده می شود.

اسلاید 14 :

در شکل روبرو، EF یکی از قطرهاست، YZ و UV با EF موازی اند.
AB قطر مار بر اواسط این قطرهاست.
XY یکی از این عرضها برای قطر AB ،
و خط CD محور است.

اسلاید 15 :

در مورد سهمی قطرها همه با محور CD موازی اند. فرض کنید AB قطری مفروض، Xنقطه ای دلخواه بر AB و XY عرض در X باشند.
آپولونیوس نشان داد که با قطر AB پاره خط ثابتی مانند p متناظر است به طوری که ضلع دیگر مستطیلی که با مربعی به ضلع XY مساوی و یکی از اضلاع آن با AX برابر است،
دقیقاً با p یکی است پاره خط p پارامتر(ضلع قائم)
متعلق به قطر AB نام دارد.
اگر قرار دهیم AX=x و XY= y ،
آنگاه علامت آپولونیوس به
صورت معادلۀ نوین p.x=y2 در می آید.
علائم سهمی

اسلاید 16 :

در اینجا منحنی دارای یک مرکز است که همان نقطه واقع بر محور است که در وسط خط واصل بین رأسهای دو مقطع قرار دارد.
هر خط مار بر این مرکز، یک قطر است و مرکز آن، بخشی از یک قطر را که بین دو شاخۀ مقطع قرار دارد، نصف می کند.

فرض کنید c و c’ دو سر بخشی از یک قطر
بین دو شاخه منحنی باشند،
و a=CC’ که ضلع مایل نامیده می شود.
علائم هذلولی

اسلاید 17 :

آپولونیوس ثابت کردکه ، متناظر با a پاره خطی مانند p با خصوصیّت زیر موجود است:
مستطیلی به ضلع CX که با مربعی به ضلع XY، یکی از عرضها برابر باشد، ضلع دیگرش از p بیشتر خواهد بود.
بعلاوه، مستطیلی که اضلاع آن زیادتی این ضلع از p و CX است(مستطیل آبی رنگ) با مستطیلی که اضلاع آنa و p هستند، متشابه است.
بنابر این s ، ضلع دیگر ،
در تناسب a : CX=p :s ،
یعنی s=(p/a).CX صدق می کند.

اسلاید 18 :

برای اینکه بفهمیم معنی هندسی علامت هذلولی چیست، فرض کنید که C’ سر قطر و CP پارامتر باشد.
همچنین فرض کنید که عمود بر CX در X خط C’P را در E قطع کند.
در اینصورت، علامت آپولونیوس ایجاب می کند که
مستطیل به اضلاع CX و XE برابر (xy)2 باشد.

باز، اگر قرار دهیم CX=x و XY=y،
علامت به صورت
Y2=(p+s)x=px+(p/a)x2
در می آید،
که معادلۀ نوینی برای هذلولی است.

اسلاید 19 :

موارد عمدۀ کاربرد مقاطع مخروطی (به جز دایره) هم در دنیای یونان و هم در دنیای اسلام در ترسیمهای هندسی، نظریۀ ساعتهای آفتابی، و آینه هایی بود که نور را برای سوزانیدن در نقطه ای متمرکز می کردند.
استفاده از بیضی در نجوم برای طرحریزی مسیرهای سیارات در اوایل سدۀ هفدهم میلادی به وسیلۀ کپلر معمول شد.
کاربردهای مقاطع مخروطی

اسلاید 20 :

ارشمیدس کار را با مربع ABDG و قطر BG آن شروع می کند.
رسم هفت ضلعی توسط ارشمیدس