بخشی از پاورپوینت
اسلاید 1 :
بنام خدا
برنامه ریزی خطی پیشرفته (21715)
Advanced Linear Programming
اسلاید 2 :
هندسه روش سیمپلکس
تعریف های مقدماتی:
بردارهندسی: خطی است جهت دار که از مبدا مختصات به نقطه مورد نظر متصل می شود.
بردارجبری: متشکل از چند عدد است که مختصات نقطه انتهایی را بیان می کند.
می توان ترکیبی مانند (5,2) را هم بصورت یک نقطه و هم بصورت یک بردار در نظر گرفت.
اسلاید 3 :
جمع برداری
مجموع دو بردار، قطر متوازی الاضلاعی است که دو ضلع آن دو بردار جمع شده هستند. از دیدگاه هندسی جمع دو بردار برابر جمع مولفه های بردارها است.
اسلاید 4 :
ضرب داخلی دو بردار
هر دو بردار دلخواه n بعدی می توانند در هم بصورت داخلی ضرب شده و یک عدد واقعی با عنوان حاصل ضرب داخلی دو بردار تولید کنند. به این فرایند ضرب نقطه ای دو بردار نیز گفته می شود.
اسلاید 5 :
نرم یک بردار
نرم (اندازه) اقلیدسی یک بردار برابر ریشه دوم مجذور ضرب داخلی یک بردار در خودش است. نرم یک بردار بصورت ||a|| نمایش داده می شود.
برای هر دو بردار دلخواه با طول بعد مساوی خواهیم داشت:
اسلاید 6 :
نامساوی شوارتز
برای هر دو بردار دلخواه a و b با طول بعد یکسان همواره نامساوی زیر برقرار است:
برای هر دو بردار دلخواه غیر صفر با طول بعد مساوی نسبت |ab|/||a|| ||b|| برابر کسینوس زاویه میان این دو بردار است.
در صورتی که |ab| برابر صفر باشد به معنی این است که این دو بردار عمود بر هم هستند.
اسلاید 7 :
فضای اقلیدسی
یک فضای اقلیدسی n بعدی که بصورت Rn نمایش داده می شود فضایی است که تمامی بردارهای n بعدی در آن قرار دارند.
در این فضا جمع بردارها و ضرب داخلی آنها تعریف شده است.
اسلاید 8 :
ترکیب ها
چهار نوع ترکیب مختلف
تعدادی بردار را در فضای n بعدی و عدد حقیقی α را در نظر بگیرید:
ترکیب خطی: مجموعه محدودی از نقطه های {x1,…,xk} را در فضای n بعدی نظر بگیرید. هر یک از این نقطه ها برداری n بعدی است. ترکیب خطی این نقطه ها بصورت زیر نمایش داده می شود. در این رابطه α می تواند هر مقدار حقیقی اختیار کند.
اسلاید 9 :
ترکیب ها (ادامه):
ترکیب Affine: ترکیبی از نقطه ها که در شرایط زیر صدق کنند:
اسلاید 10 :
ترکیب ها (ادامه):
ترکیب محدب: ترکیب محدب نقطه های یک فضا مجموعه نقطه هایی است که رابطه های زیر میان آنها برقرار باشد:
اسلاید 11 :
ترکیب ها (ادامه):
ترکیب غیر منفی: ترکیب غیر منفی مجموعه نقطه هایی در فضا مجموعه ای از نقطه ها است که رابطه های زیر میان آنها برقرار باشد:
اسلاید 12 :
مثال1:
در فضای دو بعدی نقطه x را در در نظر بگیرید:
ترکیب خطی یک نقطه؟
ترکیب affine یک نقطه؟
ترکیب محدب یک نقطه؟
ترکیب غیر منفی یک نقطه؟
اسلاید 13 :
مثال1 (ادامه):
در فضای دو بعدی نقطه x را در نظر بگیرید:
ترکیب خطی این نقطه خطی است از مبدا مختصات به نقطه x متصل شده و از هر دو جهت امتداد می یابد.
ترکیب affine این نقطه همان نقطه x است.
ترکیب محدب این نقطه نیز همان نقطه x است.
ترکیب غیر منفی این نقطه نیم خطی است که از مبدا مختصات به این نقطه متصل شده و ادامه پیدا می کند.
اسلاید 14 :
مثال 2:
در فضای دو بعدی دو نقطه X1 و X2 را در نظر بگیرید:
ترکیب خطی دو نقطه؟
ترکیب affine دو نقطه؟
ترکیب محدب دو نقطه؟
ترکیب غیر منفی دو نقطه؟
اسلاید 15 :
مثال2 (ادامه):
در فضای دو بعدی دو نقطه X1 و X2 را در نظر بگیرید:
ترکیب خطی این دونقطه کل صفحه را در بر می گیرد.
ترکیب affine این دو نقطه خطی است که از این دو نقطه عبور می کند.
ترکیب محدب این دو نقطه پاره خطی است که بین این دو نقطه قرار دارد.
ترکیب غیر منفی این دونقطه پوشاننده زاویه بین این دو بردار است.
اسلاید 17 :
توجه:
همواره بعد ترکیب affine از فضای برداری مورد بحث کمتر است.
اسلاید 18 :
مثال3:
در فضای سه بعدی دو نقطه X1 و X2 را در نظر بگیرید:
ترکیب خطی این دو نقطه؟
ترکیب affine این دو نقطه؟
ترکیب محدب این دو نقطه؟
ترکیب غیر منفی این دونقطه؟
اسلاید 19 :
مثال3 (ادامه):
در فضای سه بعدی دو نقطه X1 و X2 را در نظر بگیرید:
ترکیب خطی این دونقطه صفحه ای است که از این دو نقطه و مبدا مختصات می گذرد.
ترکیب affine این دو نقطه خطی است که از این دو نقطه عبور می کند.
ترکیب محدب این دو نقطه پاره خطی است که بین این دو نقطه قرار دارد.
ترکیب غیر منفی این دونقطه زاویه مخروطی بین این دو نقطه و مبدا مختصات است.
اسلاید 20 :
پوسته خطی (Linear Hull)
زیر فضایی از Rn که دارای کمترین بعد بوده و در بر گیرنده تمام فضای ترکیب خطی چند بردار متعلق به Rn است.
مثال:
در فضای سه بعدی، پوسته خطی برای دو نقطه دلخواه مانند X1 و X2 صفحه ای است که از این دو نقطه و مبدا مختصات عبور می کند.
مثال:
affine hull برای مثال 1 یک خط (فضای یک بعدی) است.
