بخشی از پاورپوینت
اسلاید 1 :
محاسبات عددی
خطای محاسبه توابع
در برخی مسائل با توابعی نظیر sin(x)، √x و ln(x) روبرو هستیم. چنانچه بخواهیم مقدار آنها به ازای یک مقدار مشخص به دست آوریم. به صورت زیر عمل می کنیم.
مثال: فرض کنید بخواهیم مقدار e^(1/3) را حساب کنیم. اگر تابع e^x با استفاده از بسط تیلور حول نقطه x=0 بسط دهیم.
خطای برش
اسلاید 2 :
چنانچه بخواهیم e^(1/3) را با خطای کمتر از (-3)^10 حساب کنیم.
برای محاسبه خطا معمولا اولین جمله را در نظر می گیریم.
به ازای مقادیر مختلف n رابطه فوق را بررسی می کنیم. برای n>=4 رابطه فوق برقرار است. در نتیجه مقدار زیر را حساب می کنیم.
نکته: هرگاه بخواهیم نتیجه یک عبارت را تا n رقم اعشار حساب کنیم.
محاسبات میانی را تا n+1 انجام می دهیم و نتیجه را تا n رقم گزارش می کنیم.
نکته: در محاسبات عددی هنگام محاسبه توابع مثلثاتی از
Mode رادیان ماشین حساب استفاده کنید.
اسلاید 3 :
مثال: مقدار تقریبی sin(x) را به ازای x=π/7 را با خطای کمتر از(-3)^10 حساب می کنید.
برای n>=2 نامساوی فوق برقرار است.
اسلاید 4 :
حل معادلات f(x)=0
هدف از حل معادلاتی به فرم f(x)=0 یافتن x هایی است که به ازای آن ها مقدار تابع f صفر گردد، به این x ها ریشه تابع گویند. برخی از معادلات نظیر معادلات درجه 2 دارای راه حل تحلیلی هستند اما حل تحلیلی برخی معادلات امکان پذیر نیست، در چنین شرایطی استفاده از راه حل عددی راهکاری مناسب است.
برای تعیین تقریبی از ریشه های یک معادله، باید نکات زیر را مد نظر قرار داد:
فاصله ای حاوی ریشه موجود باشد.
ریشه باید در فاصله مورد نظر یکتا باشد.
برای برقراری شرط اول باید تابع f(x) در فاصله a تا b پیوسته باشد.
f(a) وf(b) مختلف العلامه باشند یعنی f(a)*f(b)<0 باشد.
در این شرایط عددی مانند α در فاصله a تا b موجود است که f(α)=0.
برای برقراری شرط دوم به ازای هر x عضو بازه a تا b باید 0≠f'(x) باشد.
برای تعیین ریشه ها با دقت مورد نظر برقراری یکی از شروط زیر کافی است.
برای یک مقدار ɛ مشخص، در صورتی که ɛ>Ιf(xn)Ι باشد، xn ریشه معادله خواهد بود.
برای یک مقدار ɛ مشخص، در صورتی که Ιxn-xn-1Ι<ɛ باشد، xn ریشه معادله خواهد بود.
هرگاه تعداد تکرار یا به عبارتی n از یک مقدار مشخص بیشتر شود، xn را به عنوان ریشه معادله در نظرمی گیریم.
اسلاید 5 :
روش های عددی حل معادله f(x)=0
1. روش تنصیف یا دوبخشی
در این روش پس از بررسی شروط وجود ریشه، به صورت زیر عمل می کنیم. با توجه به شکل زیر:
نکته: این روش همگرایی تضمین شده دارد یعنی همواره با دقت مورد نظر به جواب می رسد.
مثال: تقریبی از ریشه معادله f(x)=3x-e^(-x) را که در فاصله (0.25,0.27) به دست آورید. طوری که داشته باشیم
|f(xn)|<0.001 باشد.
اسلاید 6 :
چون 0/0005<0/001 است، در نتیجه 0/2575 به عنوان ریشه در نظر گرفته می شود که تا سه رقم اعشار به صورت 0/258خواهد بود.
2. روش نابجایی
فرض کنید نمودار y=f(x) به صورت زیر باشد.
معادله خط AB به صورت زیر خواهد بود.
با جایگذاری مختصات
اسلاید 7 :
با جایگذاری مختصات نقطه x1(x1,0) در رابطه قبل خواهیم داشت:
با توجه به رابطه فوق الگوریتم روش نابجایی به صورت زیر خواهد بود
نکته: این روش نیز مشابه روش دو بخشی همگرایی تضمین شده دارد.
اسلاید 8 :
مثال
تقریبی از ریشه معادله x^2-2^x=0 را که در فاصله (-1,0) دارد به روش نابجایی تا چهار رقم اعشار (4D) به دست آورید به طوری که داشته باشیم .|f(xn)|<10^(-2)
چون |0.00179|<0/01 است در نتیجه -0.76574 تقریبی از ریشه معادله است که تا چهار رقم اعشار برابر با -0.7657 خواهد بود.
