بخشی از پاورپوینت
اسلاید 1 :
حجم کنترل
در مسایل عملی زیادی در مکانیک سیالات تحلیل رفتار حجم یک ناحیه محدود در فضا (یک حجم کنترل) نیاز است. برای مثال، محاسبه نیروی لازم برای نگه داشتن موتور جت در یک مکان در مدت یک آزمایش، یا تعیین مدت زمان لازم برای پر شدن کامل یک مخزن ذخیره بزرگ، یا تخمین نیروی لازم برای جابجایی آب به یک مکان با ارتفاع بالاتر و چندین مایل دورتر را در نظر بگیرید.
در تحلیل این مسایل می توان از مفهموم حجم کنترل استفاده کرد. این مفهوم مبتنی اصول پایه فیزیک، برای مثال قانون بقای جرم، قانون حرکت دوم نیوتن و قوانین اول و دوم ترمودینامیک است. فرمول های حجم کنترل با کاربرد این قوانین برای یک مجموعه جرم (یک سیستم) به دست می آید. مفاهیم حجم کنترل و سیستم در یک فضای مشخص و استفاده از مفهوم انتقال رینولدز عوامل کلیدی در استخراج معادلات حجم کنترل هستند. معادله انتقال رینولدز به صورت زیر است:
که در آن B پارامتر یک سیستم (مثل جرم، مومنتم و . . .) و سمت چپ معادله فوق نرخ تغییرات زمانی پارمتر B در یک سیستم است. اولین ترم از سمت راست معادله، نرخ تغییرات پارامتر B در یک حجم کنترل بواسطه جریان سیال عبوری از میان آن است و ترم دوم معادله در سمت راست دبی جریان خالص عبوری از تمام سطح کنترل می باشد.
اسلاید 2 :
نکته: در این فصل برای ساده سازی فرض می شود توزیع خصوصیات جریان در مقطع عرضی در سطوح ورودی و خروجی حجم کنترل یکنواخت است. این جریان یکنواخت، جریان یک بعدی نام دارد. جریان ماندگار فرض شده، همچنین حجم های کنترل ثابت و بدون تغییر در نظر گرفته می شود.
بقای جرم – معادله پیوستگی
یک سیستم به صورت یک مجموعه از محتویات ثابت تعریف می شود. اصل بقای جرم برای یک سیستم به صورت زیر بیان می شود:
نرخ تغییرات زمانی جرم یک سیستم برابر صفر است یا به عبارتی(1)
که جرم سیستم، Msys، را می توان به صورت زیر بیان کرد:(2)
اسلاید 3 :
به عبارتی جرم سیستم برابر است با انتگرال چگالی محتویات سیستم در تمام حجم کنترل.
برای یک سیستم و یک حجم کنترل ثابت و بدون تغییر شکل که در یک زمان مشخص برهم منطبق هستند (شکل زیر)، تئوری انتقال رینولدز برای پارامتر B=M (جرم) و b=1 به صورت زیر خواهد بود:(3)
اسلاید 4 :
قانون بقای جرم برای یک حجم کنترل ثابت و بدون تغییر شکل با ترکیب معادلات 1، 2 و 3 به صورت زیر به دست می آید که اصطلاحا معادله پیوستگی نامیده می شود:(4)
دبی جرمی عبوری از مقطع یک سطح کنترل با مساحت A را می توان به صورت زیر حساب کرد:
که ρ چگالی سیال، Q دبی حجمی سیال (ft3/sec یا m3/s) و V مولفه سرعت عمود بر سطح A است.
اسلاید 5 :
حجم کنترل ثابت و بدون تغییر شکل
در مسائل زیادی از مکانیک سیالات، یک حجم کنترل ثابت و بدون تغییر شکل در نظر گرفته می شود.
مثال: مطابق شکل زیر، آب دریا از میان یک نازل مخروطی شکل در انتهای یک شیلنگ آتشنشانی خارج می شود. اگر حداقل سرعت جریان خروجی 20 m/s باشد، حداقل ظرفیت پمپاژ مورد نیاز را برحسب m3/s تعیین کنید.
حل:
با در نظر گرفتن حجم کنترلی مطابق شکل، داریم:
اسلاید 6 :
با کاربرد معادله 4 برای حجم کنترل خواهیم داشت:
در نتیجه:
سرعت مایع کم است در نتیجه می توان آن را غیرقابل تراکم در نظر گرفت، بنابراین
اسلاید 7 :
مثال: جریان هوای ماندگار بین دو مقطع مستقیم یک لوله با قطر داخلی 4 in مطابق شکل زیر است. توزیع دما یکنواخت و فشار در هر مقطع مشخص است. اگر سرعت متوسط در مقطع 2 برابر با 1000 ft/sec باشد، سرعت متوسط در مقطع 1 را محاسبه کنید.
حل:
با در نظر گرفتن حجم کنترل بین دو مقطع مطابق شکل فوق و با کاربرد معادله 4 خواهیم داشت:
اسلاید 8 :
برای جریان ماندگار معادله اسلاید قبل به صورت زیر ساده می شود:
با توجه به برابر بودن مساحت در مقاطع 1 و 2 خواهیم داشت:
طبق قانون گاز کامل داریم:
در نتیجه با توجه به معادلات فوق خواهیم داشت:
اسلاید 9 :
حرکت حجم کنترل بدون تغییر شکل
در برخی شرایط استفاده از یک حجم کنترل متصل به یک منبع محرک نیاز است. برای مثال می توان به حجم کنترل موتور یک توربین گازی متصل به هواپیمای در حال پرواز، دودکش یک کشتی در دریا و مخزن گازوئیل یک اتومبیل در حال حرکت اشاره کرد. هنگامیکه از یک حجم در حال حرکت استفاده می شود، سرعت سیال نسبت به یک حجم کنترل در حال حرکت (سرعت نسبی) یک متغیر مهم جریان است. سرعت نسبی، W، سرعت سیال نسبت به یک شاهد در حال حرکت با حجم کنترل است. سرعت حجم کنترل، Vcv، سرعت حجم کنترل نسبت به یک سیستم مختصات ثابت است. سرعت مطلق، V، سرعت سیال نسبت به یک شاهد ثابت در یک سیستم مختصات ثابت است. این سرعت ها طبق معادله برداری زیر با یکدیگر مرتبط هستند.
برای یک سیستم و یک حجم کنترل متحرک بدون تغییر شکل منطبق بر هم در یک زمان مشخص، تئوری انتقال رینولدز را می توان به صورت زیر نوشت:
با کاربرد قانون بقای جرم برای یک حجم کنترل متحرک و بدون تغییر شکل، در نهایت معادله پیوستگی به صورت زیر به دست خواهد آمد:(5)
اسلاید 10 :
مثال: مطابق شکل هواپیمایی با سرعت 971 km/hr به سمت جلو حرکت می کند. مساحت مقطع ورودی موتور جت 0.8 m2 و چگالی هوای ورودی 0.736 kg/m3 است. برای یک شاهد ثابت نسبت به زمین، گازهای موتور جت با سرعت 1050 km/hr از اگزوز خارج می شود. مساحت اگزوز جت 0.558 m2 و چگالی گاز اگزوز 0.515 kg/m3 است. دبی جرمی سوخت ورودی به موتور را برحسب kg/hr تعیین کنید.
اسلاید 11 :
حل: مطابق شکل حجم کنترل متحرک با هواپیما، شامل موتور، محتویات و سیال داخل آن است. طبق معادله 5 خواهیم داشت:
با فرض جریان یک بعدی و ارزیابی انتگرال سطح داریم:
سرعت در مقطع ورودی، W1، نسبت به حجم کنترل متحرک با سرعت هواپیما (971 km/hr) برابر است. سرعت دود خروجی، W2، نیز باید نسبت به حجم کنترل متحرک تعیین شود. نسبت به یک ناظر ثابت، سرعت گازهای خروجی از موتور 1050 km/hr و نسبت به حجم کنترل متحرک، W2 به صورت زیر تعیین می شود:
اسلاید 12 :
با کاربرد معادله دبی جرمی خواهیم داشت:
