بخشی از پاورپوینت
اسلاید 1 :
The creation of the calculus
ساخت حساب دیفرانسیل و انتگرال
اسلاید 3 :
ساخت حساب دیفرانسیل و انتگرال
در پی تلاشهایی که برای پیدا کردن مفهوم تابع انجام گرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال به وجود آمد.
این بزرگترین یافته بشر در تمام طول تاریخ بوده است.
تا حدی به مسائلی که توسط یونانیان مطرح شده بود پاسخ داد.
حساب دیفرانسیل و انتگرال مقدماتی برای مسائل بزرگ قرن 17 طراحی شد.
اسلاید 4 :
در آن زمان (قرن 17) چهار مسئله مهم وجود داشت:
اسلاید 5 :
مسئله اول:
پیدا کردن فرمولی برای جابهجایی یک جسم به عنوان تابعی از زمان
یافتن سرعت و شتاب لحظهای
از فرمول شتاب یک جسم به عنوان تابعی از زمان بتوان سرعت و جابهجایی آن جسم را به دست آورد.
این مسئله مستقیماً به مطالعه حرکت برمیگردد و وقتی دشوار میشود که سرعت و شتاب هر دو متغیر با زمان باشند.
در محاسبه سرعت لحظهای در یک لحظه مشخص هم جابهجایی و هم زمان صفر هستند و 0/0 بی معناست در حالی که واضح است که هر جسم متحرک دارای سرعت است.
یافتن جابهجایی وقتی که سرعت لحظهای را داشته باشیم.
اسلاید 6 :
مسئله دوم (یافتن مماس بر منحنی):
اگرچه مفهوم مماس به عنوان خطی که منحنی را تنها در یک نقطه قطع کند و در یک سمت منحنی قرار میگیرد توسط یونانیها مطرح شده بود اما این تعریف در منحنیهای پیچیدهتری که در قرن 17 استفاده میشد قابل استفاده نبود.
یافتن مماس بر منحنی از دو نظر اهمیت دارد:
از مسائل هندسه محض است.
از نظر عملی کاربرد فراوان دارد.
اسلاید 7 :
مسئله دوم:
کاربرد اول (طراحی لنز):
اپتیک از مسائل مهم قرن 17 بود. طراحی لنز از علایق فرما، دکارت، هویگینز و نیوتن بود.
با یافتن مماس برمنحنی عمود هم پیدا می شود.
اسلاید 8 :
مسئله دوم:
کاربرد دوم (مطالعه مسیر حرکت):
جهت حرکت در طول مسیر در هر لحظه بر مسیر مماس است.
اسلاید 9 :
مسئله سوم :
پیدا کردن حداکثر برد پرتابه
برد به زاویه پرتابه بستگی دارد.
در ابتدای قرن 17 گالیله دریافت که ماکزیمم برد پرتابه در خلأ در زاویه 45 درجه رخ میدهد.
پیدا کردن حداکثر و حداقل فاصله سیارهها از خورشید
اسلاید 10 :
مسئله چهارم :
مسافت طی شده توسط سیاره در یک محدوده زمانی مشخص
مساحت محصور توسط چند منحنی
حجم محصور توسط چند سطح
یافتن مرکز ثقل اجسام
یافتن نیروی گرانش بین اجسام
اسلاید 11 :
حساب دیفرانسیل و انتگرال در اوایل قرن 17
اسلاید 12 :
در اوایل قرن 17 دانشمندان زیادی روی حساب دیفرانسیل و انتگرال کار کردند. حد نهایی موفقیت این دانشمندان در کارهای نیوتن و لایبنیز خلاصه می شود.
روبروال (Roberval) در کتاب Traite des indivisibles روش ارشمیدس را در پیدا کردن منحنی مارپیچ ارشمیدس تعمیم داد. همانند ارشمیدس روبروال یک منحنی را به عنوان مکان هندسی یک نقطه متحرک که تحت تاثیر دو سرعت یکی در راستای افقی و دیگری در راستای قائم است در نظر گرفت.
اسلاید 13 :
روبروال راستای PM را به عنوان مماس بر منحنی در نقطه P در نظرگرفت.
اسلاید 14 :
تریسلی (Torricelli) از روش روبروال برای به دست آوردن مماس بر منحنیهایی که معادلات آنها به فرم است استفاده کرد.
هنگامی که تریسلی روش روبروال را ادامه می داد از این قانون استفاده کرد که سرعتهای افقی و عمودی مستقل از یکدیگر عمل می کنند. این قانون توسط گالیله اثبات شده است.
اسلاید 15 :
روش فرما (Fermat) در سال 1629 ساخته و در سال 1637 در دست نوشته ای با عنوان Methodus ad Disquiredam Maximam et Minimam (روشهای پیدا کردن مقدار ماکزیمم و مینیمم) پیدا شد.
اسلاید 16 :
TP را به عنوان مماس بر منحنی در نقطه P در نظر می گیریم. طول TQ را Subtangent می نامیم. روش فرما راهی برای پیدا کردن طول TQ است. در صورتی که مکان T را بدانیم میتوان مماس TP را رسم کرد.
اسلاید 17 :
اگر QQ1 را نمو TQ به اندازه E در نظر بگیریم مثلثهای TQP و PRT1 متشابه اند. لذا :
اما فرما RT1 را تقریباً مساوی RP1 در نظر گرفت:
اسلاید 18 :
PQ در نامگذاری مدرن F(x) نامیده می شود:
به سادگی واضح است که می توان صورت و مخرج را بر E تقسیم کرد. فرما در ادامه با حذف E توانست TQ را بدست آورد.
اسلاید 19 :
با اضافه کردن تئوری حد به روش فرما به فرم استاندارد محاسبه مشتق در حال حاضر می رسیم.
پیدا کردن مماس بر منحنی برای دکارت هم مهم بود زیرا او را قادر می ساخت خصوصیات منحنی (به عنوان مثال زاویه تقاطع دو منحنی) را بدست آورد.
دکارت روش خود را در جلد دوم کتاب La Géométrie بیان کرد. این کتاب جبر خالص بود و شامل هیچ مفهومی از حد نبود.
اسلاید 20 :
مقایسه روش فرما و دکارت :
در حقیقت روش دکارت مشابه روش فرما است با این تفاوت که روش دکارت به شدت فرمول بندی شده است.
روش دکارت تنها برای معادلات به فرم y=f(x) که f(x) یک چندجملهای ساده است مفید بود.
هرچند روش فرما عمومیت داشت اما دکارت تصور می کرد روش او بهتر است.
دکارت مدعی بود حذف کردن پارامتر E در روش فرما توجیه ریاضی ندارد.
فرما هم مدعی بود روش او بهتر است و حذف نمو کوچک E مزایای زیادی دارد.
