بخشی از پاورپوینت
اسلاید 1 :
تحقیق در عملیات جنگل Forest Operation Research
اسلاید 2 :
شخصی 70 میلیون سرمایه دارد و میخواهد در بخشهای گوناگون سرمایهگذاری کند؛ زمینههای سرمایهگذاری عبارتند از اوراق قرضه با 8/5 درصد بازده سالانه، سپرده بانکی با 5 درصد بازده سالانه، اسناد خزانه با 6/5 درصد بازده سالانه و خرید سهام با 13 درصد بازده سالانه. زمینههای سرمایهگذاری همگی پس از یک سال قابل ارزیابی و بازنگری هستند. هر زمینه سرمایهگذاری دارای ریسک مختص به خود است. بنابراین به منظور کاهش ریسک درصدد تقسیم سرمایۀ خود بین بخشهای گوناگون سرمایهگذاری است. برای گریز از ریسک، سرمایهگذار سیاست خود را بدین صورت مشخص کرده است:
1ـ مجموع سرمایهگذاری در اوراق بیشتر از 20 درصد کل سرمایه نباشد.
2ـ مبلغ سرمایهگذاری در سپرده بانکی بیش از مجموع سرمایهگذاری در سه زمینۀ دیگر نباشد.
3ـ مجموع سرمایهگذاری در اسناد خزانه وسپرده بانکی حداقل 30 درصد کل سرمایه است.
4ـ به منظور ایجاد حاشیۀ اطمینان، نسبت مجموع سرمایهگذاری در سپرده بانکی و اسناد خزانه به مجموع سرمایهگذاری در اوراق قرضۀ و خرید سهام ½ به 1 باشد.
اسلاید 3 :
متغیرهای تصمیم: چهار متغیر تصمیم برای این مسئله وجود دارد که هر یک از آنها مبلغ سرمایهگذاری را در هر زمینۀ خاص نشان میدهد:
X1 مبلغ سرمایهگذاری در اوراق قرضه
X2 مبلغ سرمایهگذاری در اوراق سپرده
X3 مبلغ سرمایهگذاری در اوراق اسناد
X4 مبلغ سرمایهگذاری در اوراق سهام
تابع هدف: هدف سرمایهگذار حداکثر کردن بازده سالانه ناشی از سرمایهگذاری در چهار زمینۀ گوناگون است.
کل بازده از مجموع بازده هر یک از زمینههای سرمایهگذاری حاصل خواهد شد.
Max Z = 0/085 X1 + 0/05 X2 + 0/065 X3 + 0/130 X4
اسلاید 4 :
محدودیتهای مدل:
اولین سیاست این است که مبلغ قابل سرمایهگذاری در اوراق قرضه بیش از 20 درصد سرمایه نباشد. کل سرمایه 70 میلیون ریال است، پس 20 درصد آن چهارده میلیون خواهد بود. که به صورت ریاضی زیر بیان میشود.
X1≤ 14000000
دومین محدودیت آن است که سرمایهگذاری در بانک بیش از کل مبلغ سرمایهگذاری در سه زمینۀ دیگر نباشد. از آنجا که میزان سپرده بانکی، X2 است و کل سرمایهگذاری در دیگر زمینهها، X1 + X3 + X4 است محدودیت به صورت زیر در میآید.
X2≤ X1 + X3 + X4
برای به کارگیری روش حل در برنامهریزی خطی لازم است مدل به صورت استاندارد نوشته شود. پس کلیۀ متغیرها به سمت چپ محدودیت انتقال مییابد و سمت راست به صورت مقدار عددی تعریف میشود. بنابراین محدودیت دوم به صورت زیر نوشته میشود.
X2 - X1 - X3 - X4 ≤ 0
اسلاید 5 :
سومین محدودیت مجموع مبلغ سرمایهگذاری در سپرده بانکی و اسناد خزانه حداقل 30 درصد کل سرمایه باشد. از آنجا که 30 درصد 70 میلیون مساوی با 21 میلیون خواهد بود پس میتوان به صورت زیر نوشت
X2 + X3 ≥ 21000000
X2 + X3 / X1 + X4 ≥ ½
این محدودیت در برنامهریزی خطی یک محدودیت غیراستاندارد است؛ چون به صورت کسری تعریف شده است و باید به صورت زیر درآید.
چهارمین محدودیت بیانگر نسبت سرمایهگذاری در سپرده بانکی و اسناد خزانه به مجموع سرمایهگذاری در اوراق قرضه و سهام است. این نسبت باید حداقل ½ به 1 باشد یعنی:
X2 + X3 ≥ ½ (X1 + X4)
X2 + X3 - ½ X1 - ½ X4) ≥ 0
پنجمین محدودیت این است که سرمایهگذار تمایل دارد کل سرمایه 70 میلیونی خود را سرمایهگذاری کند، بنابراین مجموع سرمایهگذاری در چهار زمینه باید مساوی 70 میلیون باشد.
X1 + X2 + X3 + X4 = 70000000
عنوان درس: تحقیق در عملیات جنگل دورۀ دکتری مهندسی منابع طبیعی ـ جنگلداری مدرس: علی مهدوی
اسلاید 6 :
خلاصۀ مدل:
با افزودن محدودیتهای غیرمنفی، مدل کامل مسئله سرمایهگذاری چنین خلاصه میشود:
Max Z = 0/085 X1 + 0/05 X2 + 0/065 X3 + 0/130 X4
X1 ≤ 14000000
- X1 + X2 - X3 - X4 ≤ 0
X2 + X3 ≥ 21000000
- ½ X1 + X2 + X3 - ½ X4 ≥ 0
X1 + X2 + X3 + X4 = 70000000
X1 , X2 , X3 , X4 ≥ 0
اسلاید 8 :
کشاورزی زمینی دارد به مساحت 2000 هکتار که به سه قطعۀ مجزا تقسیم شده است. قطعۀ اول 500 هکتار، قطعۀ دوم 800 هکتار و قطعۀ سوم 700 هکتار مساحت دارد. زمین کشاورز برای کشت ذرت، پیاز و لوبیا مناسب است. حداکثر زمین قابل کشت برای هر یک از محصولات و سود حاصل از هر هکتار بر حسب نوع محصول قابل کشت در جدول زیر آمده است.
هر یک از محصولات را میتوان در هر کدام از قطعات سه گانه کشت کرد، اما با در نظر گرفتن شرایط زیر:
1ـ حداقل 60 درصد هر قطعه زمین باید زیر کشت برود
2ـ کشاورز میخواهد در هر سه قطعه زمین نسبت مساحت زیر کشت به کل مساوی باشد.
اسلاید 9 :
متغیرهای تصمیم: این مسئله شامل هر محصول کشت شده در هر قطعه زمین است به عبارت دیگر:
مساحت کشت شده برای محصول i برابر 1و 2و 3 و در قطعه زمین j برابر 1، 2 و 3 و 0 Xi,j≥ است. برای مثال X1,3 بیانگر مساحت کشت محصول ذرت در قطعه سوم است بنابراین این مسئله دارای 9 متغیر تصمیم خواهد بود.
+ 45000 (X2,1 + X2,2 + X2,3) Max Z = 60000 (X1,1 + X1,2 + X1,3 )
+ 30000 (X3,1 + X3,2 + X3,3)
300 ≤ X1,1 + X2,1 + X3,1 ≤ 500 ha برای قطعه زمین شمارۀ 1
تابع هدف: هدف این مسئله حداکثر کردن سود ناشی از کشاورزی است. تابع هدف از حاصل ضرب سطح زیر کشت هر محصول در سود هر هکتار به دست میآید. پس به صورت زیر نوشته میشود.
محدویتهای مسئله: محدویتهای این مسئله بیانگر محدودیت مساحت هر قطعه زمین و شرایط مشخص شده از سوی کشاورز است. مجموعۀ اول محدودیتها معرف حد بالا و پایین زیر کشت در هر قطعه زمین است. حد بالا به طور طبیعی همان مساحت قطعه زمین j است و حد پایین به 60 درصد مساحت هر قطعه زمین محدود خواهد شد. در نتیجه به صورت زیر درمیآید.
480 ≤ X1,2 + X2,2 + X3,2 ≤ 800 ha برای قطعه زمین شمارۀ 2
420 ≤ X1,3 + X2,3 + X3,3 ≤ 700 ha برای قطعه زمین شمارۀ 3
اسلاید 10 :
محدودیتهای فوق همگی غیراستاندارد دارند. پس تمام محدودیتهای فوق تبدیل به استاندارد میشوند؛ یعنی همۀ متغیرها به سمت چپ محدودیتها انتقال مییابند و سمت راست شامل مقادیر ثابت خواهد بود. پس هر یک از محدودیتهای فوق به دو محدودیت خاص تبدیل میشود یعنی به این صورت:
X1,1 + X2,1 + X3,1 ≥ 300 ha برای قطعه زمین شمارۀ 1
X1,1 + X2,1 + X3,1 ≤ 500 ha برای قطعه زمین شمارۀ 1
X1,2 + X2,2 + X3,2 ≥ 480 ha برای قطعه زمین شمارۀ 2
X1,2 + X2,2 + X3,2 ≤ 800 ha برای قطعه زمین شمارۀ 2
X1,3 + X2,3 + X3,3 ≥ 420 ha برای قطعه زمین شمارۀ 3
X1,3 + X2,3 + X3,3 ≤ 700 ha برای قطعه زمین شمارۀ 3
از دادههای جدول مشخص شد که مساحت زیر کشت هر محصول محدود و مشخص است؛ پس باید سه محدودیت دیگر برای محدود کردن مساحت زیر کشت هر محصول تعریف کرد؛ که به صورت زیر بیان میشود:
X1,1 + X1,2 + X1,3 ≤ 900 مساحت زیر کشت ذرت ـ هکتار
X2,1 + X2,2 + X2,3 ≤ 700 مساحت زیر کشت پیاز ـ هکتار
X3,1 + X3,2 + X3,3 ≤ 1000 مساحت زیر کشت لوبیا ـ هکتار
اسلاید 11 :
آخرین دسته از محدویتهای این مسئله به سیاست کشاورز مربوط میشود که میخواهد نسبت مساحت زیر کشت هر قطعه به کل مساحت آن برای هر سه قطعه مساوی باشد یعنی:
X1,1 + X2,1 + X3,1 / 500 = X1,2 + X2,2 + X3,2 / 800 = X1,3 + X2,3 + X3,3 / 700
واضح است که مدل استاندارد برنامهریزی خطی نمیتواند شامل محدودیت فوق باشد؛ پس باید آن را به محدودیتهای زیر تبدیل کرد:
X1,1 + X2,1 + X3,1 / 500 = X1,2 + X2,2 + X3,2 / 800
X1,1 + X2,1 + X3,1 / 500 = X1,3 + X2,3 + X3,3 / 700
X1,2 + X2,2 + X3,2 / 800 = X1,3 + X2,3 + X3,3 / 700
اگرچه محدودیت اولیه تساوی نسبتها، به یک فرم متعارف تبدیل شده است باید آنها را به شکل استاندارد LP تبدیل کرد:
800 (X1,1 + X2,1 + X3,1 (– 500 ( X1,2 + X2,2 + X3,2 )=0
700(X1,1 + X2,1 + X3,1 (_ 500 (X1,3 + X2,3 + X3,3 )=0
700(X1,2 + X2,2 + X3,2 (_ 800 ( X1,3 + X2,3 + X3,3 )=0
اسلاید 12 :
خلاصۀ مدل: مدل کامل برنامهریزی خطی مسئله با افزودن محدودیتهای غیرمنفی برای مسئلۀ فوق بدین صورت خواهد بود:
800 (X1,1 + X2,1 + X3,1 – 500 ( X1,2 + X2,2 + X3,2 )=0
700(X1,1 + X2,1 + X3,1 _ 500 (X1,3 + X2,3 + X3,3 )=0
700(X1,2 + X2,2 + X3,2 _ 800 ( X1,3 + X2,3 + X3,3 )=0
X1,1 + X2,1 + X3,1 ≥ 300
X1,1 + X2,1 + X3,1 ≤ 500
X1,2 + X2,2 + X3,2 ≥ 480
X1,2 + X2,2 + X3,2 ≤ 800
X1,3 + X2,3 + X3,3 ≥ 420
X1,3 + X2,3 + X3,3 ≤ 700
X1,1 + X1,2 + X1,3 ≤ 900
X2,1 + X2,2 + X2,3 ≤ 700
X3,1 + X3,2 + X3,3 ≤ 1000
+ 45000 (X2,1 + X2,2 + X2,3) Max Z = 60000 (X1,1 + X1,2 + X1,3 )
+ 30000 (X3,1 + X3,2 + X3,3)
