بخشی از پاورپوینت
اسلاید 2 :
تئوری الاستیسیته
Theory of Elasticity
اسلاید 3 :
فصل چهارم:
روش هاي انرژي
اسلاید 4 :
فصل چهارم: روش هاي انرژي
1) تعاريف بنيادي
الف) كار (Work)
ب) كار مجازي (Virtual Work)
اسلاید 5 :
فصل چهارم: روش هاي انرژي
پ) كار مكمل مجازي (Complementary Virtual Work)
اسلاید 6 :
2) اصل تغيير مكان های مجازي (Principle of Virtual Displacements)
فصل چهارم: روش هاي انرژي
جسم الاستيك شكل زير را در نظر مي گيريم كه محدوده حدي يا خارجي اين جسم كاملاً به دو قسمت عمده مجزا تقسيم مي شود:
قسمت اول كه با St نشان داده مي شود، قسمتي است كه بر روي آن نيروهاي خارجي اعمال شده است. البته محدوده نيروي صفر نيز به عنوان محدوده نيرو يا وضعيت حدي نيرويي تلقي مي شود.
قسمت دوم كه با Su نشان داده مي شود و منظور قسمتي است كه به عنوان تكيه گاه از آن نام برده مي شود و عموماً داراي تغيير مكان صفر يا جابجايي از پيش تعيين شده مي باشد.
اسلاید 7 :
فصل چهارم: روش هاي انرژي
حال چنانچه صحبت از يك ميدان تغييرمكان مجازي در جسم فوق باشد، اين ميدان را به صورتي مجسم مي كنيم كه در روي مرز حدي Su كه قيود تكيه گاهي سيستم قرار گرفته است، شرايط حدي سينماتيكي ارضاء شود. چنين ميدان تغييرمكان مجازي را ميدان مجاز يا قابل قبول (admissible) نامند.
اسلاید 8 :
فصل چهارم: روش هاي انرژي
هرگاه عنصري از جسم شكل بالا را درنظر بگيريم، با پديد آوردن ميدان تغييرمكان مجازی، تنش هاي واقعی موجود در روي اين المان به دليل تغييرشكل مجازي پديد آمده، مقداري كار مجازي انجام مي دهند. چنانچه كل جسم را تحت اثر نيروهاي اعمالي خارجي در حال تعادل فرض كنيم، كار مجازي صورت گرفته شده كل، به دليل صفر بودن منتجه تنش در روي هر الماني از آن صفر مي باشد. به عبارت دیگر کار مجازي كل كه با نمايش داده مي شود، به صورت زير به دست مي آيد:
معادله مذكور را مي توان به صورت زير نوشت:
اسلاید 9 :
فصل چهارم: روش هاي انرژي
با استفاده از قضيه ديورژانس، جمله اول سمت راست را می توان به انتگرال روی سطح تبدیل کرد. به عبارت دیگر داریم:
St مساحت قسمتي از سطح جسم است كه در روي آن نيرو تعريف شده است.
معادله بالا را مي توان به صورت زير نيز نوشت:
اسلاید 10 :
فصل چهارم: روش هاي انرژي
اگر دقت كنيم كه نيروهاي خارجي اعمالي به سيستم، متشكل از نيروهاي سطحي qi و نيروهاي حجمي Bi است، كار مجازي خارجي را مي توان به صورت زير فرموله كرد (كار مجازي توسط نيروهاي خارجي اعم از نيروهاي سطحي و نيروهاي حجمي):
بنابراين داريم:
اسلاید 11 :
فصل چهارم: روش هاي انرژي
هرگاه يك جسم الاستيك تحت اثر نیروهای وارده در حال تعادل باشد و تغيير مكان اختياري مجازي سازگار با شرايط تكيه گاهي خود را تجربه نمايد، در اين صورت كار مجازي انجام يافته توسط نيروهاي خارجي اعمالي به آن، مساوي كار مجازي انجام يافته توسط نيروهاي داخلي آن مي باشد.
چنين اصلي مستقل از خواص ماده است و در طي تحمل تغيير مكان مجازي، نيروها ثابت هستند.
شرط لازم و كافي براي تعادل يك جسم الاستيك، برابر بودن كار خارجي مجازي صورت گرفته شده توسط نيروهاي اعمالي به آن با كار داخلي مجازي انجام يافته توسط ميدان تنش آن در طي تجربه كردن يك ميدان تغیير مكان مجازي قابل قبول است.
اسلاید 12 :
فصل چهارم: روش هاي انرژي
3) اصل نيروهاي مجازي (Principle of Virtual Forces)
با ارائه اصل تغيير مكان های مجازي، به وضوح ديديم كه چگونه مي توان با در نظر گرفتن يك ميدان تغيير مكان مجازي قابل قبول و استفاده از اصل مزبور، به حل مسائل ارتجاعي پرداخت.
شكل زير يك جسم ارتجاعي را نشان مي دهد كه اين جسم علاوه بر اينكه تحت اثر يك سيستم نيروي حقيقي قرار دارد كه اين سيستم نيرو باعث يك ميدان تنش كاملاً متعادل مي شود، تحت اثر يك سيستم نيروي مجازي نيز قرار گرفته است كه اين سيستم نيز متعادل بوده و منجر به يك ميدان تنش مجازي متعادل مي شود (سیستم نیروی حقیقی در شکل نشان داده نشده است):
اکنون شکل دیگری از اصل کار مجازی را که تحت عنوان اصل نیروهای مجازی شناخته می شود، مورد دقت قرار می دهیم و نشان خواهیم داد که چگونه با در نظر گرفتن یک سیستم نیروی مجازی متعادل در روی یک جسم ارتجاعی می توان به یک میدان تغییرمکان سازگار دست یافت.
اسلاید 13 :
فصل چهارم: روش هاي انرژي
اسلاید 14 :
فصل چهارم: روش هاي انرژي
كه در آن داريم:
اسلاید 15 :
شرط لازم و كافي براي سازگار بودن ميدان تغيير شكل يك سيستم الاستيك، مساوي بودن كار مجازي مكمل انجام يافته بر روي آن توسط يك سيستم نيروي مجازي در حال تعادل، با كار داخلي مجازي مكمل انجام يافته توسط تنش هاي مجازي در طي تحمل ميدان كرنش واقعي است. در مرحله تحمل نيروهاي مجازي، تغيير شكل سيستم ثابت است.
بنابراين اصل نيروهاي مجازي به صورت زير است:
اسلاید 16 :
4) قانون بتي
در يك جسم الاستيك خطي با دو سيستم متفاوت بارگذاري، كار انجام يافته توسط سيستم اول نيروها در طي تغيير مكان هاي حاصل از سيستم دوم مساوي است با كار انجام یافته توسط سيستم دوم نيروها در طي تغيير مكان هاي حاصل از سيستم اول.
اسلاید 17 :
اکنون تغییرمکان حاصل از اعمال سیستم اول نیروها را به عنوان تغییرمکان مجازی برای سیستم دوم نیروها و برعکس تغییرمکان حاصل از اعمال سیستم دوم نیروها را به عنوان تغییرمکان برای سیستم اول نیروها تلقی کرده و اصل تغییرمکان مجازی را به کار می بریم.
برای سیستم اول نیروها و تغییرمکان متناظر این نیروها که از سیستم دوم نیروها حاصل می شود، معادله اصل تغییرمکان مجازی به صورت زیر در می آید:
برای سیستم دوم نیروها و تغییرمکان متناظر این نیروها که از سیستم اول نیروها حاصل می شود، معادله اصل تغییرمکان مجازی به صورت زیر در می آید:
اسلاید 18 :
با در نظر داشتن رابطه کلی تنش-کرنش و متقارن بودن تانسور Cijkl نسبت به دو اندیس اول و آخر می توان نوشت:
بنابر این سمت راست معادلات اصل کار مجازی در دو حالت مذکور عبارتند از:
مشاهده می شود که طرفین سمت راست این روابط یکسان می باشند. بنابر این داریم:
اسلاید 19 :
معادله فوق تحت عنوان قانون بتي به صورت زير بيان مي شود:
در يك جسم ارتجاعي خطي با دو سيستم بارگذاري متعادل متفاوت 1 و 2 که تغيير مكان هاي حاصل نيز به ترتيب با 1 و 2 علامت گذاري مي شود، كار انجام يافته توسط سيستم نيروهاي 1 در طي تغيير مكان هاي حاصل از سيستم بارگذاري 2، مساوي است با كار انجام يافته توسط سيستم نيروهاي 2 در طي تغيير مكان هاي حاصل از سيستم بارگذاري 1.
حالت خاص قانون بتي، به عنوان معادله متقابل ماكسول شناخته مي شود كه به صورت زير تعريف مي گردد:
در يك جسم ارتجاعي خطي، تغيير مكان نقطه iبراثر اعمال نيروي واحد در نقطه j مساوي است با تغيير مكان نقطه j بر اثر اعمال نيروي واحد در نقطه i (تغيير مكان ها در راستاي نيروهاي تعميم يافته اندازه گيري مي شوند).
اسلاید 20 :
5) اصل انرژي پتانسيل مينيمم
در این قسمت به معرفی تابعک (تابع تابع) انرژی پتانسیل کلی می پردازیم و سپس نشان خواهیم داد که این تابعک در حالت تعادل، دارای کمترین مقدار نسبت به حالت های تصوری دیگر خواهد بود. این بیان تحت عنوان قضیه انرژی پتانسیل مینیمم مشهور است و یکی از مهمترین قضایای انرژی است که از آن در حل مسائل ارتجاعی استفاده می گردد.
جسم ارتجاعی زیر را در نظر می گیریم:
