بخشی از پاورپوینت
اسلاید 1 :
دینامیک سیالات عددی 1
اسلاید 2 :
دستهبندی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE)
مرتبه معادله:
بالاترین مرتبه مشتق موجود در معادله، مرتبه معادله را مشخص میکند.
مثلاً معادله لاپلاس یک معادله مرتبه دوم است زیرا حداکثر دارای مشتق دوم است.
معادله برگر یک معادله مرتبه اول است زیرا حداکثر دارای مشتق اول است.
اسلاید 3 :
دستهبندی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE)
مرتبه معادله:
در مکانیک سیالات و انتقال حرارت، عموماً با معادلات مرتبه اول و دوم سر و کار داریم.
مثلاً، در معادلات حاکم جریان تراکمناپذیر لزج:
معادله پیوستگی مرتبه اول است.
معادلات مومنتوم مرتبه دوم هستند.
در معادلات حاکم جریان تراکمناپذیر غیرلزج:
ترمهای لزجت حذف میشوند.
معادلات مومنتوم هم مرتبه اول میشوند.
اسلاید 4 :
دستهبندی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE)
اسلاید 6 :
درجه معادله:
ویژگی بسیار مهم معادلات خطی اصل برهمنهی (superposition) است. این اصل بیان میکند که اگر دو تابع مختلف جواب یک معادله خطی باشند، هر ترکیب خطی آنها هم جواب معادله است.
مثال: توابع زیر هر دو جواب معادله لاپلاس هستند: (اثبات کنید.)
در نتیجه هر ترکیب خطی آنها جواب معادله لاپلاس است. مثلاً:
اسلاید 8 :
معادلات مرتبه دوم:
این معادله ممکن است دارای منحنیهای مشخصه باشد.
طبق تعریف، مقادیر مشتقات مرتبه دوم در راستای این منحنیها نامعین هستند.
مقادیر مشتقات دوم در عرض منحنیهای مشخصه ممکن است ناپیوسته باشند.
اما مقادیر مشتقات اول پیوسته هستند.
اسلاید 9 :
دستهبندی معادلات مرتبه دوم:
با توجه به پیوسته بودن مشتقات مرتبه اول، دیفرانسیل آنها در عرض منحنی مشخصه قابل بیان به شکل زیر است:
معادله PDE مرتبه دوم به شکل زیر قابل بازنویسی است:
اسلاید 10 :
دستهبندی معادلات مرتبه دوم:
معادلات Eq. 1، Eq. 2 و Eq. 3 تشکیل یک دستگاه معادلات میدهند که مجهولات آن مشتقات مرتبه دوم هستند.
این دستگاه معادلات را به فرم ماتریسی مینویسیم.
مقادیر مشتقات مرتبه دوم از حل دستگاه معادلات فوق بدست میآیند.
از قاعده کرامر برای حل این دستگاه استفاده میکنیم.
اسلاید 11 :
دستهبندی معادلات مرتبه دوم:
قاعده کرامر، جوابها را به صورت حاصل تقسیم دو دترمینان بیان میکند.
توجه کنید که مخرج هر سه کسر با هم برابر هستند.
اسلاید 12 :
معادلات مرتبه دوم:
طبق تعریف، مقادیر مشتقات دوم در عرض خطوط مشخصه نامعین هستند.
لذا مخرج کسرهای فوق باید برابر صفر باشد. (به یاد آورید که حاصل تقسیم یک عدد بر صفر نامعین است)
اگر دترمینان فوق را بسط دهیم، خواهیم داشت (اثبات کنید):
اسلاید 15 :
معادلات بیضوی:
مثال: معادله لاپلاس:
یا معادله پواسون:
این معادلات هیچ گونه منحنی مشخصه حقیقی ندارند.
اگر یک تغییر در هر نقطه میدان رخ بدهد، همه نقاط میدان بلافاصله باخبر میشوند.
اسلاید 16 :
معادلات بیضوی:
دامنه حل: یک ناحیه بسته (محصور به مرز) است. مثلاً ناحیه R در شکل زیر.
شرط مرزی: یکی از سه شرط مرزی زیر باید برای هر نقطه مرز مشخص شود.
شرط مرزی از نوع دیریشله: مقدار خود متغیر وابسته در مرز مشخص میشود.
شرط مرزی از نوع نیومن: مقدار مشتق نرمال متغیر وابسته در مرز مشخص میشود.
شرط مرزی از نوع رابین: یک ترکیب خطی از خود متغیر وابسته و مقدار مشتق نرمال در مرز مشخص میشود.
اسلاید 17 :
معادلات سهموی:
مثال: معادله انتقال حرارت ناپایا (unsteady):
این معادله یک منحنی مشخصه حقیقی دارد.
اگر یک تغییر در هر نقطه میدان رخ بدهد، همه نقاط میدان در آینده باخبر میشوند.
اسلاید 18 :
معادلات سهموی:
دامنه حل: ناحیهای است که از یک راستا (راستای افقی که بیانگر محدوده مکانی است) بسته و محصور به مرز است و از راستای دیگر (راستای عمود که بیانگر محدوده زمانی است،) نیمه باز است. یعنی ابتدای آن مشخص و انتهای آن باز است.
شرط مرزی: در طرفین محدوده مکانی، یکی از سه شرط دیریشله، نیومن یا رابین باید مشخص شود.
شرط اولیه: مقدار اولیه متغیر وابسته در ابتدای محدوده زمانی (یعنی در زمان اولیه) باید مشخص شود.
اسلاید 19 :
معادلات هذلولوی:
مثال: معادله موج مرتبه 2
این معادله دو منحنی مشخصه حقیقی دارد.
اگر یک تغییر در هر نقطه میدان رخ بدهد، فقط نقاط بین دو خط مشخصه باخبر میشوند.
