بخشی از پاورپوینت
اسلاید 2 :
تحلیل سازه (2)
Structural Analysis (2)
اسلاید 3 :
فصل سوم: روش سختی در تحلیل خرپاها، شبکه ها و قاب ها
اسلاید 4 :
1- مقدمه:
-گفتیم که اگر هدف اصلی تحلیل سازه، تعیین تغییر مکان های دو انتهای عضو یا به عبارت دیگر مشخص کردن تغییر مکان های مربوط به گره های سازه باشد، در این صورت تحلیل سازه به روش تغییر مکان ها (Displacement Method) یا روش سختی (Stiffness Method) انجام می گیرد.
- در روش سختی مجهولات شامل تغییر مکان های گره ها است و تعداد معادلات حاصل برابر درجه آزادی کل گره های سازه می باشد.
- بنابراین در روش سختی ابتدا تغییر مکان های نقاط مشخص به طور اخص در گره های سازه تعیین می شود و سپس نیروهای داخلی محاسبه می شوند.
- در روش سختی معادلاتی بین نیروها و تغییر مکان های سازه در دو سطح عضو و کل سازه ایجاد می شوند .
اسلاید 5 :
- پس در یک جمع بندی روش سختی شامل مراحل عمومی زیر است:
تعیین یک مجموعه از تغییر مکان های سیستم سازه ای
نوشتن روابط نیرو- تغییر مکان
ارضای شرط تعادل
ارضای شرط سازگاری
یافتن معادلات سازگاری
حل معادلات و به دست آوردن تغییر مکان های سیستم سازه ای
به دست آوردن نیروهای اعضاء و واکنش های تکیه گاهی
در تحلیل ماتریسی سازه ها به روش سختی در واقع معادلات مذکور در فرم ماتریسی استخراج می شوند و مبانی جبر ماتریسی به کار گرفته می شوند. این معادلات ماتریسی شامل بردار نیرو و بردار تغییر مکان و در ضمن ماتریس دیگری خواهد بود که به ماتریس سختی معروف است و بستگی به هندسه سازه، خواص هندسی و خواص مصالح اعضاء، نوع اتصالات موجود در سازه، تکیه گاه ها، نحوه بهم بندی اعضا و . دارد.
اسلاید 6 :
2- تعیین معادله روش سختی:
- جسم تغییر شکل پذیری (Deformable body) را در نظر بگیرید که تحت اثر نیروهای Pi قرار دارد (بارگذاری از صفر شروع شده و به طور خطی به مقدار نهایی خود Pi رسیده است) (i نقاطی از سازه می باشند که نیروهای Pi بر آن نقاط وارد می شوند).
- در اثر بارگذاری مذکور سازه تغییر مکان های Δi را متحمل می شود (Δi در راستای اعمال نیروهای Piمی باشند).
- با توجه به فرض رفتار خطی سازه، کار انجام شده توسط نیروهای وارد بر سازه (Pi) ناشی از تغییر مکان های سازه (Δi) به صورت زیر خواهد بود (کار انجام یافته مذکور معادل انرژی تغییر شکل جسم است):
اسلاید 7 :
- فرض کنید که در یکی از تغییرمکان ها (مثلاً Δ1) تغییر کوچکی داده می شود، در این صورت تغییرات انرژی تغییر شکل جسم نسبت به تغییرات در Δ1 به صورت زیر درمی آید (لازم به ذکر است که سایر تغییر مکان ها ثابت نگه داشته می شوند):
- اما با توجه به قضیه اول کاستیلیانو داریم:
- حال اگر عمل فوق را برای تمامی تغییرمکان ها (Δi) انجام دهیم به طور کلی به رابطه زیر خواهیم رسید:
اسلاید 8 :
- اگر مجموعه معادلات مذکور را به فرم ماتریسی بیان کنیم خواهیم داشت:
اسلاید 9 :
- می توان تقارن ماتریس مذکور را نشان داد (با استفاده از قضیه اول کاستیلیانو):
- بنابراین با توجه به تقارن ماتریسی مربعی می توان نوشت:
اسلاید 11 :
=P بردار نیروی تعمیم یافته (Generalized force Vector)
=K ماتریس سختی سازه (Stiffness matrix)
=Δ بردار تغییر مکان تعمیم یافته (Generalized Displacement Vector)
اسلاید 12 :
- بنابراین یک روش برای تعیین ماتریس سختی سازه بدین صورت است که در هر دفعه تغییرمکان واحد برای درجات آزادی (برحسب نوع سازه، مثلاً برای خرپای مسطح تغییرمکان واحد در جهت Xها و تغییرمکان واحد در جهت Yها- برای خرپای فضایی، تغییرمکان واحد در جهت Xها و تغییرمکان واحد در جهت Yها و تغییرمکان واحد در جهت Zها- برای قاب مسطح تغییرمکان واحد در جهت Xها و Yها و دوران واحد در جهت Zها و برای قاب فضایی تغییرمکان های واحد در جهت Z ,Y ,X و دوران های واحد در جهت Z ,Y ,X) در نظر گرفته شده و نیروی مورد نیاز برای ایجاد آن تغییرمکان و نیروهای نگه دارنده سایر درجات آزادی در مقابل تغییرمکان مذکور محاسبه می شوند.
اسلاید 13 :
مثال 1) مطلوب است تعیین ماتریس سختی سازه شکل زیر:
هنگامی که تغییر مکان تعمیم یافته Δ2=1 را به گره 2 اعمال می کنیم، نیروی K22 برای ایجاد آن مورد نیاز است و نیروهای K21 و K23 وK24 برای جلوگیری از تغییر مکان های گره های 1 و 3 و 4 مورد نیاز می باشند و تاثیری در گره های 5، 6 و 7 ندارند؛ بعبارت دیگر , K52 K62 و K72 همگی مساوی صفرند. بنابراین به روشنی دیده می شود هنگامی که بین دو گره iو jعضوی وجود نداشته باشد Kij مساوی صفر است.
ماتریس نواری قطری
اسلاید 14 :
- به نظر می رسد که تشکیل ماتریس سختی به این طریق دارای نکات ضعف عمده ای می باشد:
الف) نیاز به محاسبات زیاد و وقت گیر (خصوصاً برای سازه هایی با درجات آزادی بالا)،
ب) پیاده سازی آن در یک برنامه کامپیوتری بسیار دشوار (یا حتی غیر ممکن) است.
- بنابراین باید به دنبال روش هایی برای تشکیل ماتریس سختی سازه بود که:
الف) نیاز به محاسبات زیاد و وقت گیر نداشته باشد،
ب) قابل پیاده سازی در یک برنامه کامپیوتری باشد،
پ) به صورت ساده تر و مؤثرتر ماتریس سختی سازه را تشکیل نماید.
- باتوجه به اینکه ماتریس سختی سازه (K) از ترکیب معقول و متناسب ماتریس های سختی هرکدام از اعضای سازه(k) تشکیل شده است، به نظر می رسد که بتوان به صورت ساده تر و مؤثرتر با استفاده از ماتریس های سختی هرکدام از اعضاء و انجام عملیات ماتریسی، ماتریس سختی سازه را تشکیل داد.
اسلاید 15 :
3- تعیین ماتریس سختی عضو سازه(Member) :
- یک عضو با دو گره (Node) مشخص می شود:
- در حالت کلی (در فضای سه بعدی) هر گره عضو دارای شش درجه آزادی است. به عبارت دیگر در فضای سه بعدی فیزیکی، بردار مشخص تغییر مکان ها در یک گره دارای شش مؤلفه مستقل است، سه مؤلفه خطی و سه مؤلفه دورانی.
- دستگاه مختصات کلی زیر را در نظر می گیریم:
(Global Coordinate System)
اسلاید 16 :
- بنابراین در مجموع یک عضو در فضا دارای 12 درجه آزادی است. بنابراین ماتریس سختی یک عضو، ماتریسی 12×12 است. می توان ماتریس سختی یک عضو را به طور مستقیم در دستگاه مختصات کلی محاسبه نمود. طبیعی است که در این صورت ماتریس سختی عضو را با وارد کردن تغییر مکان ها (یک به یک) در امتداد هر یک از محورهای مختصات کلی سیستم و محاسبه نیروی مورد نیاز برای ایجاد آن تغییر مکان در امتداد آن محور خاص و نیروهای مورد نیاز برای جلوگیری از تغییر مکان در سایر امتدادها (در دو انتهای عضو) ایجاد می گردد.
- به نظر می رسد که اولاً محاسبه ماتریس سختی عضو به طور مستقیم در دستگاه مختصات کلی سیستم هم طولانی و هم وقت گیر خواهد بود.
- همچنین در این حالت نیروهای داخلی حاصل در انتهای اعضاء که در پایان محاسبات بدست می آیند در دستگاه مختصات کلی بیان شده و الزاماً نشانگر نیروی محوری، برشی و یا لنگر خمشی عضو نخواهد بود. بنابراین در انتهای عملیات برای یافتن این مولفه ها که در عمل بیشتر مورد لزوم هستند تبدیل مختصات ضروری خواهد بود.
- بنابراین برای سادگی و نیز طولانی و وقت گیر نبودن محاسبات بهتر است که ماتریس سختی عضو در یک دستگاه مختصات مخصوصی که دستگاه مختصات محلی نامیده می شود، محاسبه شود و سپس تبدیل مختصات روی آن انجام گیرد.
اسلاید 17 :
- بر این اساس دستگاه مختصات محلی عضو (Local Coordinate System) تعریف می شود. در این دستگاه محلی محور x منطبق بر محور طولی عضو ij (Longitudinal Axis) می باشد و دو محور دیگر منطبق بر محورهای اصلی مقطع عضو می باشند.
- با توجه به اینکه بر مبنای این تعریف بین دو انتهای عضو فرقی گذارده نمی شود، از اینرو مشکل مربوط به نوع نیروهای داخلی (کششی، فشاری و . ) که در دو انتهای عضو بوجود می آید از بین می رود.
- حال ماتریس سختی یک عضو را می توان نسبت به دستگاه مختصات محلی بدست آورد. به عبارت دیگر در این حالت ماتریس سختی عضو با وارد کردن تغییر مکان در امتداد هر یک از محورهـای مختصات محلی و محاسبه نیروی مورد
نیاز برای ایجاد آن در امتدادمحور محلی و نیروهای مورد نیاز برای جلوگیری از تغییر مکان در سایر امتدادها (در دو انتهای عضو) ایجاد می گردد. برای یافتن نیروهای مذکور تنها از دو روش استفاده می شود: (1) استفاده از قضایای انرژی؛ (2) استفاده از روش شیب- افت
” با توجه به سهل و جامع بودن روش شیب- افت، در استخراج ماتریس سختی عضو در مختصات محلی از این روش بهره گرفته شده است.“
اسلاید 18 :
تغییر مکان محوری (δ1) در جهت محور x
اسلاید 20 :
دوران محوری- پیچش (δ4) حول محور x
