بخشی از پاورپوینت
اسلاید 2 :
روش عناصر محدود
(برای دوره کارشناسی ارشد مکانیک سنگ)
Finite Element Procedures
اسلاید 3 :
فصل اول
مقدمه ای بر روش عناصر محدود
اسلاید 4 :
1- تاريخچه روش عناصر محدود
اگرچه نام عناصر محدود اخيرا به اين روش اطلاق گرديده است، اما اين مفهوم چندين قرن پيش نيز مورد استفاده قرار گرفته است.
براي مثال رياضي دانان قديمي محيط دايره را با تقريب آن به يك چند ضلعي (محاطي يا محيطي) بدست مي آوردند. بر حسب نامگذاري امروزي هر ضلع اين چند ضلعي را مي توان يك المان محدود ناميد. با در نظر گرفتن چند ضلعي هاي تقريبي به صورت محاطي و محيطي مي توان به ترتيب يك حد پايين يا يك حد بالا براي مقدار كامل (Exact) محيط به دست آورد.
مشخص است كه با افزايش اضلاع چند ضلعي، دقت جواب ها (Accuracy) افزايش يافته و مقادير تقريبي به مقدار كامل محيط همگرا مي شوند ( Convergence).
بحثی در مورد Exact solution یا Analytical solution یا Closed Form Solution و Approximate Solution یا Numerical Solution
بحثی در مورد Convergence و Accuracy
اسلاید 5 :
روش عناصر محدودي كه به صورت شناخته شده امروزي است، در سال 1956 به وسيله Clough، Turner، Top و Martin در مقاله مشهور زير ارائه شده است:
“Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures”, Journal of Aeronautical Sciences, 23, 805-825 (1956).
اين مقاله كاربرد عناصر محدود ساده (ميله هاي مفصل شده و ورق مثلثي) براي تحليل سازه هواپيما را نشان مي دهد و به عنوان يكي از پيشرفت هاي كليدي در توسعه روش عناصر محدود در نظر گرفته مي شود.
همراه با توسعه كامپيوترهاي ديجيتالي با سرعت هاي بالا، كاربرد روش عناصر محدود هم با نرخ فزاينده اي پيشرفت نمود.
اسلاید 6 :
- موجودیت یافتن روش های کامپیوتری تحلیل سازه ها مدیون دو عامل مهمی می باشد که در طی دهه های 1955-1945 به وقوع پیوستند:
الف) نیاز روزافزون به روش های بهتر و مطلوب تر تحلیل سازه ها
طراحی های سازه ای در بسیاری از زمینه های مهندسی به حدی پیچیده شدند که روش های موجود ناکارایی خود را برای تحلیل آن سیستم های پیچیده به اثبات رساندند.
ب)پیدایش کامپیوترهای دیجیتالی (در اواخر دهه 1940)
- از طرف دیگر مدت های مدیدی بود که مفاهیم و سیستم علائم جبر ماتریسی به عنوان ابزارهای استاندارد تحلیلی در ریاضیات کاربردی (Applied Mathematics) مورد استفاده قرار می گرفتند. در سال های قبل از 1940 مقالاتی چند منتشر شدند که در آنها از مفاهیم مزبور در حل مسائل مربوط به سازه ها استفاده شده بود، ولی به علت عدم وجود کامپیوتر در آن زمان، این عمل از طرف مهندسین کمتر مورد استقبال قرار گرفت، زیرا احتیاج به عملیات ماتریسی زیاد و ماهرانه داشت.
اسلاید 7 :
- پیدایش کامپیوتر، معیارهای قضاوت درباره «خوب» یا «بد» بودن یک روش تحلیلی را تغییر داد. در مواجهه با یک روش تحلیلی، دیگر سئوال این نبود که «آیا این روش حجم عملیات عددی را به حداقل می رساند یا نه؟»، بلکه مسأله به این صورت در ذهن ها شکل گرفت که « آیا این روشی است که بتوان آن را به سادگی به صورت یک برنامه کامپیوتری تنظیم کرد یا نه؟»
- حقیقت این است که روش های مبتنی بر جبر ماتریسی (Matrix Algebra) از این نظر در حد ایده ال هستند.
- روش های تحلیل ماتریسی سازه ها (از جمله روش عناصر محدود) براین مفهوم بنا شده اند که سازه واقعی را با مدلی ریاضی، شامل اجزایی با خواص مشخص، که بتوان آنها را به فرم ماتریسی درآورد، جایگزین می نماییم.
- به عبارت دیگر وجه تمایز «روش های تحلیل ماتریسی سازه ها ( از جمله روش عناصر محدود)» و روش های کلاسیک تحلیل سازه ها در دو عامل است:
نحوه مدل سازی ریاضی (با استفاده از ماتریس ها)
نحوه حل مدل ریاضی (با استفاده از کامپیوتر)
اسلاید 8 :
بعد از اينكه روابط عناصر محدود در حالت استاتيكي خطي توسعه يافت، كاربرد روش عناصر محدود در زمينه هاي ديگر نيز ادامه يافت. براي مثال مي توان زمينه هايي مانند پاسخ ديناميكي و ارتعاشي، كمانشي، غيرخطي هندسي و مادي، اثرات حرارتي، اندركنش سازه و سيال، اندركنش سازه و اكوستيك، شكست، مواد مركب لايه اي، انتشار موج، ديناميك سازه هاي فضايي و هواپيما را نام برد.
اسلاید 9 :
2- مدل هاي رياضي و روش عناصر محدود
مراحل كلي تحليل يك سيستم مهندسي عبارتند از:
مدل هاي رياضي :
1- مدل پارامتر متمركز (Lumped parameter model)
يا مدل گسسته سيستم (Discrete system model)
2- مدل مبتني بر مكانيك محيط پيوسته
(Continuum mechanics-based model)
يا مدل پيوسته سيستم ( Continues system)
انتخاب يك مدل رياضي براي يك مساله فيزيكي،
فرمول بندي مدل رياضي و حل آن و يافتن و تفسير نتايج.
اسلاید 10 :
در يك مدل رياضي پارامتر متمركز يا گسسته سيستم:
پاسخ واقعي سيستم مستقيما به وسيله حل تعداد محدودي متغير حالت (State Variable) توصيف مي گردد (بحثی در مورد متغیر حالت).
براي يافتن متغيرهاي حالت مجهول، مجموعه اي از معادلات جبري بدست مي آيند.
مثال: مدل رياضي يك سازه اسكلتي، يك مدل رياضي پارامتر متمركز يا گسسته سيستم است.
2- مدل هاي رياضي و روش عناصر محدود
اسلاید 11 :
در يك مدل رياضي پيوسته سيستم :
پاسخ واقعي سيستم به وسيله بينهايت متغير حالت توصيف مي گردد.
براي يافتن متغيرهاي حالت مجهول، به جاي يك مجموعه از معادلات جبري، معادلات ديفرانسيل بر پاسخ سيستم حاكم مي باشد.
مثال: مدل رياضي يك سازه پيوسته صفحه اي يا پوسته اي يك مدل رياضي پيوسته سيستم است.
- حل كامل معادلات ديفرانسيل كه همراه با ارضاء تمامي شرايط مرزي باشد، تنها براي مدل هاي رياضي نسبتا ساده امكان پذير است.
روش هاي عددي
اسلاید 12 :
روش هاي عددي، مدل هاي رياضي پيوسته سيستم را به صورت يك ايده آل سازي گسسته در مي آورند كه مي تواند به طريق مشابه مدل هاي پارامتر متمركز حل شود.
روش هاي مهم كلاسيك عددی:
روش Ritz
روش Galerkin به عنوان يك روش باقيمانده وزن دار
روش تفاضلات محدود
روش هاي فوق در واقع شالوده اصلي روش هاي نوين عناصر محدود را فراهم مي آورند.
روش عناصر محدود يك روش عددي است براي گسسته سازی مدل ریاضی پیوسته به مدل ریاضی گسسته (تبدیل معادلات دیفرانسیل به معادلات جبری).
اسلاید 13 :
3- حوزه هاي كاربرد روش عناصر محدود:
اسلاید 14 :
4- فرآيند تحليل عناصر محدود
اسلاید 15 :
- روش عناصر محدود يك روش عددي است و بايد دقت حل آن مورد ارزيابي قرار گيرد. اگر معيارهاي دقت ارضا نشوند، در اين صورت روش عددي عناصر محدود با پارامترهاي حل تظريف شده بايد تكرار شود، تا اينكه دقت كافي حاصل گردد.
- روشن است كه روش عناصر محدود، تنها مدل رياضي را به دقت حل خواهد كرد و تمامي فرضيات در پيش بيني پاسخ انعكاس خواهد يافت.
- بنابراين انتخاب مدل رياضي، نقش بنيادي و كليدي در يك روش عناصر محدود ايفا مي كند.
اسلاید 16 :
- يك نكته مهم اين است كه نمي توان پاسخ يك مساله فيزيكي را به طور كامل (Exact) پيش بيني نمود.
- ولي مي توان يك مدل رياضي كاملا جامع ( very comprehensive mathematical model) را تعريف كرد و سپس پاسخ مدل رياضي انتخابي را با آن مقايسه كرد (مثلا مدل رياضي بسيار جامع مي تواند يك مدل سه بعدي به همراه اثرات غير خطي باشد).
4- فرآيند تحليل عناصر محدود
تعريف موثر بودن و قابلیت اطمینان يك مدل رياضي : يك مدل رياضي بسيار موثر و قابل اطمینان مدلي است كه منجر به پاسخ مورد نياز با دقت كافي و با هزينه حداقل شود.
- مدل رياضي بسته به پديده مورد پيش بيني انتخاب مي شود و داراي دو مشخصه اصلي موثر بودن (Effectiveness) و قابليت اطمينان ( Reliability) آن مدل است.
اسلاید 17 :
سلسله مراتب مدل ها: دنباله اي از مدل ها كه به طور فزاينده اثرات پيچيده تر را در بر دارند.
مثال 1
سازه تيري:
تحليل با استفاده از نظريه تير یک بعدی Euler-Bernoulli ( با اثرات غيرخطي)
تحليل با استفاده از نظريه تير یک بعدی Timoshenko( با لحاظ برش و اثرات غيرخطي)
نظريه تنش مسطح دو بعدي ( با اثرات غير خطي)
مدل سه بعدي (با اثرات غير خطي)
اسلاید 18 :
مثال 2
مدل تیر یک بعدی
مدل تنش مسطح دوبعدی
اسلاید 19 :
نكات عمده اي كه در يك تحليل عناصر محدود بايد در نظر گرفت
(چالش هاي روش عناصر محدود):
نحوه انتخاب مدل رياضي با توجه به نوع مساله و خواسته هاي آن (فرضيات مورد استفاده در مدل سازي ها)،
انتخاب نوع عناصر محدود و هندسه آن،
ميزان تظريف شبكه عناصر محدود،
تعيين ماتريس سختي المان،
معيارهاي ارزيابي دقت ( بررسي موثر بودن و قابليت اطمينان مدل رياضي).
اسلاید 20 :
معيارهاي بررسي دقت حل عناصر محدود:
حل كامل معادله ديفرانسيل حاكم،
مدل رياضي كاملا جامع،
نتايج آزمايشگاهي،
بررسي همگرايي جواب ها،
تجربيات و قضاوت مهندسي در محدوده تحليل.
